Modern çağı yaşadığımız bu dönemde bile insanlık tarihiyle ilgili bir çok konu üzerine hala konuşuruz: ateşin ve yazının bulunması gibi. Nedense insanlık tarihinin en önemli olaylarından birinden bahsetmeyi ihmal ediyoruz: sayıların bulunmasından. Dikkat ederseniz ateş ve yazı gibi sayılar da bulunmuştur, icat edilmemiştir. Tekerlek ile bilgisayar icat edilmişken, ateş ile sonsuz boyutlu uzay ise bulunmuştur. Bir başka deyişle tekerlek ve bilgisayarı biz yaratmışken, ateş ve sonsuz boyutlu uzayın doğada kendiliğinden var olduğunu keşfetmişizdir.
Matematik denince akla gelen ilk şey sayılardır. Herhangi bir ortamda matematikçi olduğunuzu söylediğinizde en çok duyduğunuz şeylerden biri “o halde sayılarla aran çok iyi” cümlesidir. Peki matematiğin bel kemiği olduğunu düşündüğümüz sayılar hakkında neler biliyoruz? Sayılar nereden gelmiştir? Bugün kullandığımız sayı sembollerini ve sayı sistemini kimler bulmuştur ve bunların bize şu an faydası var mıdır?
Babil’den Hindistan’a: Modern Bilim Öncesi Sayılar
Çentik:
Bugün filmlerde hapishane duvarına çizilmiş olarak karşımıza çıkan bu semboller, aslında insanlık tarihinde bilinen ilk sayı sembollerinden birisidir. Her türlü gelişmede olduğu gibi, insanların ihtiyaçları sonucunda çentik sistemi de evrilmek zorunda kalmıştır.
Sümer ve Babil: Tarihte Mezopotamya uygarlığın doğduğu yer olarak geçer. Mezopotamya uygarlıklarının bu denli önemli olmalarının bir çok nedeni vardır. Örneğin bu uygarlıklarda sulama sistemleri, hukuk sistemleri ve hatta posta kurumları dahi bulunuyordu. Bunların yanı sıra yerleşik hayata geçtikten sonra ihtiyaç olan matematik konusunda da çok özel uygarlıklar burada yaşamış.
Kayıt tutulmaya başlanması ile sayılara ihtiyaç duyulmuştu. Önce semboller ve bazı kurallar icat edildi. Bu sembollerin belli kurallarda ilerlemeleri lazımdı ki toplama-çıkarma-çarpma-bölme yaparken kolaylıklar sağlansın. Uygarlıklar artık tarım için tarlaların alanlarını hesaplamak zorundaydılar. Kurulan pazarlarda alışveriş yaparken belli ölçüm sistemleri ve matematiğe ihtiyaçları vardı. Durum bu iken yaklaşık 5500 yıl önce yaşamış olan Sümerlilerin bulduğu sayı sistemini 1500 yıl sonrasında Bağdat civarında var olan Babil uygarlığı da kullanmış, hatta bugün dünyanın her yerinde modern insanlar Mezopotamya’da bulunan sayı sistemini kullanıyor.
Sümer ve Babillilerden günümüze kalan tabletler incelenince, sayıları göstermek için 60 tabanını baz aldıklarını görüyoruz. Tarihteki ilk sayı sistemi olan 60’lık sayma sistemi zamanla büyük sayıları göstermek için kullanışsızdı. El ile yapılan tüm işlemler, özellikle sayı büyüdükçe çok uzun zaman almıştı.
Neden 60?
İskenderiyeli Theon’a göre 1,2,3,4 ve 5 sayılarıyla tam bölünebildiği için 60.
Moritz Cantor’a göre Sümerliler bir yılı 360 gün olarak düşündükleri için 60.
Kimisine göre bir senedeki ay sayısı ile gezegenlerin (Merkür, Venüs, Mars, Jüpiter, Satürn) sayısının çarpımı olduğu için 60.
60 bugün ne işimize yarıyor?
Her ne sebepten olursa olsun Mezopotamya topluluklarının bulduğu 60 sayı tabanı gündelik hayatımız için de, matematiğin gelişmesi için de çok önemli. Bugün 1 saat=60 dakika, 1 dakika=60 saniye eşitlikleri bu sistem sayesindedir. Aynı zamanda bir çemberin merkezinin 360 derece kabul edilmesi de yine 60 tabanlı sayı sistemi sayesindedir.
Bugünden 5500 yıl önce bulunan bu sayı sistemi sayesinde insanın zamanı belli olmuştur. Ayrıca matematiğin geometri kısmının ilerlemesi için çok kilit bir yer tutan çember için de bir baz oluşturan yine 60 tabanlı sayı sistemidir.
Mısır: İnsanlık tarihinin en önemli uygarlıklarından biri olan Mısır uygarlığında matematik sosyal hayatta önemli bir rol oynamıştır. Bugün elimizde bulunan en eski matematik dökümanları olan Papirüsler sayesinde Mısır’da matematiğin nasıl geliştiği hakkında fikir sahibi olabiliyoruz.
Mısırlılar bugün kullandığımız 10 tabanlı sayı sistemini ilk kullanan uygarlıktır. Ellerimizdeki parmak sayısını düşünerek geliştirilen bu sistem, hızlı saymayı da kolaylaştırmıştır.
M.Ö. 1800’lerde Mısır uygarlığı sayıları göstermek için bazı semboller kullanmışlar. Görece ufak sayılar için kullandıkları sembollerden bazıları yandaki gibidir. Sayılar büyüdükçe yazımda kolaylık yapmak için ise yeni sembollere ihtiyaçları olmuş. Örneğin 100.000 sayısını göstermek için kuş çizimlerini kullanmışlar. Fakat şekilde de gördüğümüz üzere, özellikle kesirli sayıların gösterimi yeterince karışık ve de uzun olmuştur. Medeniyetlerin büyümesi ile daha kolay sayı gösterimi ihtiyacı devam etmiştir.
Helenistik dönem ve Roma:
Bugün çoğu zaman geometride veya felsefede isimlerini duyduğumuz Antik Yunan düşünürleri aslında matematiğin gelişmesine bir çok alanda yardımcı olmuşlardır. Yunan matematikçileri, Mısırlılara benzer bir şekilde 10 tabanını baz alan bir sayı sistemi düşünmüşlerdir. Sonrasında gelen Roma imparatorluğunda kullanılan ünlü Roma rakamlarının sembollerinin öncüsü olarak düşünülebilirler.
Yunan ve Romalıların kullandıkları sayı sistemleri, basit cebirsel işlemleri yaparken dahi insanların zaman ve enerjilerini tüketiyordu. Hala sıfır sayısını gösteren bir ifadenin olmaması ise uygarlıklarda stok, nüfus sayımı, asker alımı ve benzeri işlemlere ihtiyacı olan devletleri zorluyordu. Bu zorlukları aşmak için uzun bir zaman beklenecek ve haritanın doğusuna kaymak gerekecekti.
Brahmagupta ve Sıfır: Onbinlerce yıl önce atılan çentiklerden, M.S. 600 yılına dek insanoğlu sayılar ile ilgili sürekli bir gelişme içindeydi. Fakat bir sorun hala giderilemiyordu; rakam sistemleri kuran toplumlar sayıları yazarken sıfır(0)ın eksikliği dolayısıyla karışıklıklar yaşıyordu. Örneğin Çinli bürokratlar aldıkları notlarda 27 ile 207 sayılarını aynı şekilde yazmak zorunda kalıyorlardı, çünkü sıfırı gösterebilmek için bir sembolleri yoktu. Bir süre sonra sıfır yerine boşluk kullanmaya çalışsalar da yaşadıkları karışıklık bir türlü giderilmemişti.
Mısırlılar ise sıfır için göz resmetmeyi seçmişlerdi. Fakat Mısırlılar sıfırı değersiz düşünüyorlardı. Tıpkı Babilliler gibi. Roma ve Antik Yunanlılar için ise sıfır sayısı “sayısızlığı ifade eden bir sembol”den başkası değildi. Çinlilerin boşluk kullanması gibi, 600’lü yıllara kadar sıfır demek “hiçlik” ile aynı manaya geliyordu. Örneğin İngilizce’de sıfır için (artık kullanılmayan bir kelime olan) “nought” kelimesi kullanırdı. Nought’un anlamı ise “hiç”tir.
7. yüzyılda ise herşey değişecekti. Hindu Brahmagupta’nın yazdığı “Brahmasphutasiddhanta” adlı kitap matematiği durduralamaz bir yükselişe geçirecekti. Rivayetlere göre Bhaskara I sıfır sayısını ilk kez açıklayan insan olsa da, Brahmagupta bunu kitaplaştırıp açıklayan ilk matematikçidir. Brahmagupta’nın ilk kez açıkladıkları arasında: 1+0=1, 1-0=1, 1*0=0, 0-0=0 gibi aksiyomlar var.
Bunların yanı sıra eksi sayıları da ilk kez açıklayan yine o olmuştur. O güne kadar 3-4=? sorusuna cevap yoktu. Brahmagupta’ya göre ise cevap sıfırın “borç” tarafında 1’dir, Hindu matematikçi eksi/negatif ortaya çıkmadan önce terim olarak “borç” kelimesini kullanmıştı. Bugün hiç düşünmeden kabul ettiğimiz ve cebirin temelini oluşturan bu açıklamalar yaklaşık 1300-1400 yıl önce insanlığın bilgi dağarcığına girmişti. Brahmagupta sayesinde ilk kez 10 tabanlı sayı sistemimiz tamamlanmış ve açıklanmıştı. Yine bugün kullandığımız rakam sembollerinin de temeli o günlerde atılmıştı.
Brahmagupta sıfırın anlamını çözdükten sonra eksi sayıları açıklayarak yeni bir sürü probleme neden olmuştu. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerle (örneğin x^2 +3=12 için) ilgili olarak bilinmeyenin iki tane cevabı olması gerektiğini ortaya çıkarmıştır. Brahmagupta bununla da yetinmeyip ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler, lineer iki bilinmeyenli denklemler gibi problemleri çözmüştür ki 1657 yılında Pierre de Fermat’a kadar bunları çözmeye hiç bir batılı bilim insanı yeltenememiştir bile. Tam 1000 yıl!
Brahmagupta’nın çözemediği ve anlamlandıramadığı en önemli sorulardan bir başkası da açıklanmak için 1000 yıl beklemek zorunda kalacaktı: herhangi bir sayının sıfıra bölümü bize hangi sonucu verirdi acaba?
Modern Çağda Sayılar
Değeri Bilinmeyen Dahi: Leibniz
7. yüzyılda sıfırın da işin içine girmesinden sonra 10 tabanlı sayı sistemi, tüm matematiğin temelini oluşturmuştu. 17. yüzyılın ikinci yarısında matematiğin en eski dalı olan sayı kuramıyla alakalı gelişmeler inanılmaz bir hızda devam ediyordu. 1650-1700 arası dönemde iki bilim adamı herkesin önüne geçiyordu: Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz. Birini duymayanımız yok iken, diğeri hak ettiği ünü maalesef hiç bir zaman kazanamayacaktı.
İngiliz Newton, yer çekimi yasasını bulmasının yanı sıra güneş sistemindeki gezegenlerin eliptik bir yol ile hareket ettiklerini keşfederken, yazdığı Principia adlı kitap ile matematikte integral calculusu(yani hesaplama) icat etmiştir. Onunla aynı zaman zarfında yaşayan Leibniz ise Almanya’nın Hannover kentinde, yine aynı anda integral calculusunu kitap haline getirmiştir.
Bilim dünyasında calculusu ilk icat edenin kim olduğuna karar verilmesi için Leibniz İngiltere’de bilimin üretildiği yer olarak kabul edilen Royal Society’e davet edilmiş, Newton’un başkanlığını yaptığı kurul sonuç olarak calculusu ilk bulanın Isaac Newton olduğunu kabul etmiş, Leibniz’in ise calculusu ilk kez yazılı hale getirdiğe karar vermiştir. Gerçek olan ise tüm Avrupa calculus kelimesini ilk önce Leibniz’in 1684 yılında bastırdığı kitabında duymuştu. Newton’un calculus ile ilgilenmesi 1660’lara kadar gidiyorsa da 1693’e kadar calculus ile alakalı hiç birşey yayınlamamıştı. Bugün integral ve türevin calculusunda kullandığımız sembollerin tamamı ise ilk olarak Leibniz tarafından ortaya konmuştu. Calculusu ilk kimin icat ettiği ise başka bir günün konusu.
Binary
Leibniz’in hepimiz için ne kadar önemli bir figür olduğunu sadece soyut matematiğinin yaratıcılarından biri olmasıyla açıklayamayız. Alman filozofun bir başka buluşu bize teknolojinin kapılarını açmıştır.
Yi-Çing, bir tarih kitabı olmasının yanı sıra günümüzde dahi hala sahiplenilen bir yaşam felsefesidir; içinde karşıt ikilileri barındırır. Leibniz’e göre bu felsefedeki iyi sayı olarak 1, kötü ise 0 olarak gösterilebilir. Sonuçta Leibniz, Antik Çin’den beri binlerce yıllık felsefeyi de barındıran Yi-Çing üzerine uzun uzun düşünmeleri sonucunda “binary number system”i icat etmiştir.
Türkçe’de ikili sistem adını verdiğimiz “binary number system”, bugün 10 sayı tabanı dışında en çok kullandığımız sayı sistemidir. 2 sayı tabanını bulan Leibniz’in amacı, sadece 0 ve 1 rakamlarını bulunduran bu sistemi mekanikleştirmekti. İlk düşüncesine göre 0 ve 1 çok kullanışlıydı. 0 yanlış, 1 ise doğru anlamına gelebileceği gibi 0’ı kapalı, 1’i ise açık olarak da kullanabilirdik.
Leibniz, tarihteki ilk 10 tabanını 2 tabanına dönüştürebilen makinenin çizimlerini yapmıştır. O’nun sayesinde 2’li sistem var olmakla birlikte, kurduğu hayaller şu an dünyamızın birer gerçeği. Bugün kullandığımız tüm teknolojik ürünlerde on/off(açık/kapalı) mantığını kullanıyoruz. Tüm bilgisayarlar 0 ve 1 mantığına göre programlanmıştır. Yani artık ceplerimizde taşır hale geldiğimiz akıllı telefonlar da dahil olmak üzere, tüm teknolojik aletlerin çalışma mantığı Leibniz’in ikili sistemi sayesinde ortaya çıkmıştır. Bilgisayar kodlamasının da ötesine geçelim; elektrik devrelerinin tamamı 0/1 mantığı üzerine kuruludur. Elektrik barındıran tüm eşyalarımızı düşünürsek Leibniz’in hayatımıza ne kadar çok alanda girdiğini görebiliriz…
M.Serkan Kalaycıoğlu
kmatematikatolyesi.com 