Matematik Atölyesi: Sayılar #2

Piyango Fiyaskosu

Gün olur, eksi sayıları kullanmaktan başka seçeneğiniz kalmaz. 2007’de İngiltere’de bir piyango şirketi yeni bir kazı-kazan oyununu piyasaya sürdüğünde olduğu gibi. Cool Cash ismi verilen bu oyunda kartın sol alt köşesinde günün sıcaklığı veriliyordu. Kartın sağ tarafında kalan alan kazındığında ise çıkan dört dereceden hangisi ya da hangileri günün sıcaklığından daha düşükse ödülü kazanıyordunuz.

Bu kazı-kazan kartına göre günün sıcaklığı -8 derecedir. Kartta şansımıza çıkan derecelerse -4, -6, -7 ve yine -7’dir. -8, bu sayıların hepsinden daha küçük olduğu için kartımıza bir ödül çıkmamıştır.

Fakat İngiltere’de bu kazı-kazan oyunu büyük sorunlara yol açtı. Oyunu oynayan insanların büyük çoğunluğu kartlarına bir ödül çıkmadığı halde piyango şirketinden parasını istiyordu. Ödül kazanan bir kısım insan ise kazandığından habersiz kartlarını çöpe atmıştı. Bunların tek sebebi matematik bilgisi eksikliğiydi. İnsanlar örneğin -8’in -7’den büyük olduğunu düşünüyordu, çünkü “8 sayısı 7’den büyüktü”. Gelen şikayetlerin artması yüzünden piyango şirketi insanlara matematik öğretmekle oyunu piyasadan çekmek arasında kalmış, ve kolay olanı yapıp kazı-kazan kartlarını toplatmıştı.

En Küçük Sayı

Tarih boyunca matematikçilerin açıklamakta en çok zorlandığı kavramların başında eksi sayılar gelmiştir. Bugün eksi sayı ile karşılaşınca çoğu öğrencinin özellikle dört işlem yaparken zorlanması hiç garibime gitmiyor. Müfredata göre 11-12 yaşlarında öğrenilmesi gereken eksi sayılar konusunda problem yaşayan lise öğrencisi sayısı gerçekten azımsanmayacak kadar çok. Çünkü eksi sayılar matematiğin en çok şüpheyle yaklaşılan konularından biridir. Biraz tarih araştırması yapılınca modern bilimin temelinin atıldığı 17. yüzyılın Avrupa’sında dahi eksi sayıların gerçek olmadığı düşüncesinin hakim olduğu görülüyor. Avrupalı bilim insanlarına göre 0(sıfır) hiç demekse, hiçten daha küçük bir sayının olması mümkün değildi.

İnsanlık tarihinde eksi sayıların ilk kullanımlarına bakılırsa şu an günlük hayatta kullandığımız bir çok örneğe rastlanılacaktır. Mesela antik Çin’de sayıları ifade etmek için kırmızı ve siyah renge boyanmış çubuklar kullanırdı. Çinliler kırmızı çubuklarla artı sayıları, siyah çubuklarla ise eksi sayıları gösteriyordu(Bugün muhasebe hesapları yapılırken siyah artı, kırmızı eksiyi ifade eder.). Fakat antik Çin’de matematikle uğraşanlar diğer uygarlıklarda olduğu gibi bir problemin ya da denklemin çözümünün eksi sayı olamayacağını düşünmüştü.

Kelime Eklemek

Başta antik Çin ve antik Mısır olmak üzere bir çok uygarlık bu konuya bir çözüm getirmişti: İfadeye ek yapmak. Yani insanlar bir problemle uğraşırken, problemin anlatılış şeklini terse çevirecek kelimeler ekleyerek eksi sayı ihtiyacını ortadan kaldırmıştı. Gelin basit bir örnekle ne yapıldığını açıklayalım.

Örnek 1: Cebinde 50 lirası olan biri 70 liralık alışveriş yaparsa geriye 50 – 70 = -20 lirası kalır.

Örnek 1*: Cebinde 50 lirası olan biri 70 liralık alışveriş yaparsa geriye 70 – 50 = 20 lira borcu kalır.

İfadeye eklenen borç kelimesi eksi bir sayıyı artıya çeviriyor. Eksi sayılar günümüzdeki gibi rahatça kullanılana dek bu tür ifade değişimleriyle matematik yapılmıştı.

Zıtlık

İnsanların eksi sayılardan kurtulmak için başvurduğu bir başka yöntem de zıt kelimelerin seçilmesidir.

Örnek 2: Bir denizaltı deniz seviyesine göre 2400 metre derindedir.

Örnek 2*: Bir denizaltı deniz seviyesine göre -2400 metre yüksekliktedir.

Aşağı-yukarı, ileri-geri, borç-alacak, çok-az, artan-azalan… gibi zıtlıklar eksi sayı kullanma mecburiyetini giderir.

Asıl Sorun

Eksi sayılarla ilgili temel soru, doğada eksi sayıda bir şeyin var olmadığıdır. Öğrencilik zamanında üzerine pek düşünülmeyen sayı kavramı aslında çok önemli bir felsefeyi barındırır. Örneğin eksi sayıların kullanılmaması gerektiğini ileri sürülürken doğada -3 sayısının bulunmadığı söylenir. Halbuki aynı düşünceyle doğada artı bir sayı olan 3’ü de göstermek mümkün değildir.

3 sayısına örnek verirken “3 inek, 3 armut, 3 laptop” deriz. Bunu yaparken aslında bir yandan 3 sayısının gözle görülüp, dokunulabilen bir şey olmadığını kabul etmiş oluruz. Yani sayıları aklımız yaratır, ve onların gerçek halleri yaşadığımız dünyada “işte bu!” diye işaret edilemez. Örnek verirken muhakkak başka bir kavram kullanılır. “Biraz önce yürüyüş yapıyordum ve ormanda 3 sayısını gördüm.” şeklinde bir cümle hiç kurulmamıştır. Olsa olsa “3 tavşan” görülmüştür.

Bir eksi sayıya örnek verirken de, aynı artı sayılarda olduğu gibi başka bir kavrama ihtiyacımız vardır. Biraz düşünürseniz çocuklara sayıları öğretirken neredeyse hep parmaklarla ve elmalarla başlarız. Eksi sayılarda da borç kavramı akla gelen ilk örnektir. Bunun nedenlerinden biri, eksi sayılarla dört işlemin nasıl yapılması gerektiğini ilk yapan kişi olan Hint matematikçi Brahmagupta’nın eksi sayıları “sıfır sayısının borç kısmında olan sayılar” diye açıklamasıdır.

Araştırma

+2 elmanın fotoğrafı budur. Peki -2 elmanın fotoğrafı çekilebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu