Matematik Atölyesi: Geometri #1

Sabunlu su kabarcığı ile matematiğin nasıl bir ilişkisi olabilir?

Belli ki matematik profesörü Michael Dorff sabunlu su hazırlayıp içine bir şeyler daldırmayı çok seviyor. (Profesör Dorff’un videosu için tıklayın) Matematiğin hayatın her alanında karşımıza çıktığını söyler dururuz. Bunlardan birine sabunlu suya iki kez daldırdığı bir küp sayesinde ulaşan profesör Dorff, böylece içi boş bir küpün içinde kabarcıktan bir başka küp oluştuğunu gösteriyor.

Matematikçiler küp içinde küp olan şekle “hiperküp” der.

Peki hiperküp nedir?

Maalesef algılarımız üç boyutun ötesini anlamayacak şekilde oluşmamış. Fakat matematik ve fizik sayesinde yüksek boyutların varlığı malumumuz. İşte hiperküp de dördüncü boyutta küpün aldığı şekildir. Yani üç boyutlu bir küp, içine dolan sabunlu su kabarcığı sayesinde dört boyutlu bir küpün şeklini alır. Matematiğin bu güzel yönünü gösteren örneğe rağmen kabarcıkların bize gösterdiği tek şey dördüncü boyut değil. Diğer özellikleri anlayabilmek için biraz geriye gitmemiz gerekiyor.

tesseract
Hiperküp

2400 Yıl Önce

Antik zamanlar ve bilimden bahsederken Yunan isimler havada uçuşur. Eğer bir antik Yunan eseri okuduysanız bunun nedenini biliyorsunuzdur. Tarihte beni en çok etkileyen eser de bir antik Yunan olan Öklid’e aittir. Bu ismi büyük ihtimalle lisede geometri dersinde bir teorem olarak biliyorsunuz. Halbuki Öklid’in milattan önce 400 civarında yazdığı ve 13 ayrı kitaptan oluşan Elementler, sadece matematiğin değil, uygarlık tarihinin en önemli eserlerinden biridir.

Öklid’in Elementleri’nin ne kadar önemli olduğunu anlatmak için bir kıyas yapalım: İnsanoğlunun sıfır(0) sayısını tam olarak açıklamasından beri 1350 yıl, Elementler’in yazımından beriyse 2400 yıldan fazla zaman geçmiştir.

Elementler’de Ne Var?

Bu soruya vereceğim çok fazla cevap var. Şimdilik sadece başlangıçtan bahsedeceğim. Kullanacağım tercüme Ali Sinan Sertöz hocanın çalışmasından geliyor. Elementler için tercüme arıyorsanız işinize kesinlikle yarar.

Elementler’in ilk kitabı verilen yirmi üç adet tanımla başlar. İlk tanım şudur: Nokta, büyüklüğü olmayandır. Yani Elementler’de Öklid en baştan başlayarak tüm geometriyi açıklamaya koyulmuştu. Bunu yaparken ilk kitapta nokta, çizgi, doğru, yüzey… gibi tanımlarla başlayıp, bunların ardına beş adet aksiyom koymuştu.

Aksiyom: Doğruluğu ispat edilmesine gerek kalmadan kabul edilen önerme.

Öklid’in Birinci Aksiyomu: Bir noktadan herhangi başka bir noktaya bir doğru çizilebilir.

IMG_4469

Bir noktadan diğerine sonsuz sayıda eğri çizilebilirken, sadece bir tane doğru çizilebilir. Bu doğru aynı zamanda iki nokta arasındaki en kısa yoldur.

Sabunlu Su Kabarcığı

Öklid, iki nokta arasındaki en kısa yolun bir doğru olduğunu belirtmişti. Peki dört nokta arasındaki en kısa yol neydi?

İşte Profesör Dorff bu sorunun cevabını kabarcıklarda gördüğünü söylüyor. Yazının başında bir küpü sabunlu suya iki kez batırınca dördüncü boyuttan bir şekil olan hiperküpün bulunduğundan bahsetmiştim. Küp bir defa sabunlu suya batırıldığında ise küpün içinde H ile X harflerinin karışımı bir şekil oluşur. İşte bu şekil dört nokta arasında kalan en kısa yolu verir.

ShortestRoadOnSquareWithDotsAndDims-Revised2
Mavi çizgiler dört nokta arasındaki en kısa yolu gösteriyor.

Bakış Açısını Değiştirmek

Özellikle 1990’larda çok popüler olan 3-boyutlu resimlere aşinasınızdır. İlk bakışta anlamsız gözüken bu resimlerin içinde bulunanı bir kez fark edince onu bir daha görmemeniz mümkün değildir.

crater

Matematikçilerin bir kısmı 3-boyutlu resme bakanlar gibidir; bir olayın içinde gizlenmiş matematiği gördüler mi, etraflarındaki her şeye farklı açıdan bakmaya başlar. Matematiği anlamak için ilk şartlardan biri de budur: Bakış açısını değiştirmek.

M. Serkan Kalaycıoğlu

1 Comment

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s