Matematik Atölyesi: Sayılar #4

Sayılarla ilgili önceki yazılarda bahsettiğim bir şeyi tekrarlamak istiyorum: Sayılar maalesef hafife alınıyor. Halbuki çok kolay olduğu düşünülen sayılar konusuyla ilgili bilinenler binlerce yıllık çalışmanın ürünüdür ve bu bilgiler insanlık tarihiyle karşılaştırılınca çok yakın zamanda tamamlanmıştır.

Örneğin kesirli (konu başlıklarında rasyonel diye geçse de ben kesirli demeyi tercih ediyorum) sayılar bugün kullandığımız şekliyle 17. yüzyıl dek Avrupa’da kullanılmamıştı. Aslında insanlar çok uzun bir zaman boyunca kesirli sayıları sayı olarak değil, iki tam sayının birbirine oranı olarak düşünmüştü.

Rhind

Kesirli sayıları ilk kullanan uygarlıklardan biri antik Mısırlılardı. Yaklaşık 4000 yıl önce papirüs ağacından elde edilen kağıtlara bazı kayıtlar yapan antik Mısırlılar, tarihin en eski belgelerinden bazılarına imza atmıştı. Günümüze dek ulaşan en eski matematik belgelerden biri de milattan önce 1800 civarında yazıldığı düşünülen Rhind Papirüsü’dür. İçinde kesirli sayılarla ilgili harikulade bilgiler barındıran Rhind papirüsü sayesinde antik zamanlarda insanların nasıl düşündüklerini anlayabiliyoruz.

440px-Rhind_Mathematical_Papyrus
Rhind’den bir parça.

Rhind papirüsünün bize bahsettiği çok ilginç şeyler vardır. Bunlardan en popüler olanı antik Mısırlıların kesirleri bolca kullandığıdır. Fakat bunu yaparken birim kesir kavramına neredeyse takıntılı seviyede önem vermiş olan Mısırlılar, bu sayede binlerce yıl boyunca matematikçileri uğraştırmıştı.

mısırke

Antik Mısırlılar ağza benzer bir sembolle kesirleri gösteriyordu. Ağzın altında kalan sayı ise kesrin payda kısmıydı.

Birim Kesir: Payı 1 olan, yani 1/n şeklinde gösterilen kesirlerdir.

Rhind papirüsünde yer alan bir tablo, antik Mısırlıların kesirleri 1/n şeklinde yazabilmek için ne kadar çok uğraştığını gösteriyor.

2/n Tablosu

Rhind’deki tablo n’nin tek sayı olduğu durumlar için 2/n sayısını iki tane farklı birim kesirle yazmayı öğretiyor. Tablonun başlangıcı 2/3, bitişi ise 2/101’dir. Papirüse göre 2/3 kesri (1/2) + (1/6) toplamına eşittir. Tablonun geri kalanında 2/3k şeklindeki (yani paydası 3’ün katı olan) kesirlerin açılımları için (1/2k) + (1/6k) formülü uygulanmış.

Formülü 2/9 için denersek, 9=3k yani k=3 olur. Böylece 2/9 = (1/6) + (1/18) eşitliğine ulaşılır.

Rhind’deki tabloda sonraki sayı 2/5 = (1/3) + (1/15) olarak gösterilmiş. Bir önceki sayı gibi genelleştirildiğinde 2/5k şeklindeki sayıların açılımı (1/3k) + (1/15k) olmuş.

Kesir Çizgisi

Antik Mısır dışında Babilliler de kesirleri kullanmıştı. Fakat sembolleri o kadar karışıktı ki, hangi sayı tam hangi sayı kesirli ilk bakışta ayırt etmek imkansızdı.

babilke1215

Babil’de 60 tabanlı sayı sisteminde soldaki 12, sağdaki 15 sayısının sembolüdür. Fakat bu şekil aynı zamanda 12+(15/60) ve 720+15 anlamına da gelebilir. Babillilerin ondalık ve kesirli sayıları gösterirken sembol kullanmaması bu sorunlara neden olmuştu.

Milattan sonra 500’lere gelindiğindeyse Hint matematikçiler kesirli sayıları alt alta yazarak göstermeye başlamıştı. Kesir çizgisini çeken ise Müslüman matematikçiler olmuştu. Yani günümüzde kullandığımı kesirli sayı gösterimini Hint ve Müslüman bilim insanlarına borçluyuz.

hintke

Hintlerin 7/15 sayısını gösterişi.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Rhind papirüsünde bulunan bilgilere ek olarak şu soruları yanıtlamaya çalışın.

  1. Neden kesirlerin paydalarında çift sayılar dikkate alınmamış?
  2. 2/7 ve 2/11 için açılımları bulun.
  3. 11’den sonra ne oluyor?
  4. 3,5,7 ve 11 için kullanılan genel formülü bulun.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s