Matematik Atölyesi: Geometri #3

“Sizin için bile olsa, krallara özgü bir geometri öğrenme yolu yoktur.” – Kendisine geometriyi kolay yoldan öğretmesini isteyen krala Öklid’in verdiği söylenen cevap.

Şu ana dek Öklid’den ve onun yazdığı Elementler’den bir kaç defa bahsettim. 13 kitaptan oluşan bu eser binlerce yıl boyunca geometrinin tek kaynağı olarak görülmüştü. Hatta uzun bir süre boyunca (Newton, Leibniz, Ömer Hayyam vb. dahil olmak üzere) tüm bilim insanları, matematiği Öklid’in Elementler’inden öğrenmişti.

Elementler’in birinci kitabı ilk bakışta çok basit görünen 23 adet tanımla başlar. Bunlardan bir kaçı aşağıdaki gibidir.

Elementler Kitap 1

Tanım 1: Nokta, büyüklüğü olmayandır.

Tanım 2: Çizgi, eni olmayan uzunluktur.

Tanım 3: Bir çizginin uçları noktalardır.

Tanım 4: Doğru, üzerindeki noktalara göre eşit olarak yatan çizgidir.

Tanım 8: Düzlem açısı, aynı doğru üzerinde olmayan ve birbirine dokunan çizgilerin birbirine göre eğimidir.

Tanım 15: İçindeki bir noktadan, üzerindeki her noktaya çizilen doğruların birbirine eşit olduğu düzlem şekline çember denir.

Bu tanımlar için bazı sorularım var.

Birinci tanıma göre nokta, büyüklüğü olmayandır. Peki bir noktayı nasıl göstermemiz gerekir?

Büyüklüğü olmayan bir şey gösterilebilir mi?

Noktayı hangisi gösterir? Sağdaki daha küçük diye daha makul olan mıdır? Tabi ki her ikisi de nokta belirtir ve her ikisi de gerçek nokta değildir.

Bu bağlamda ikinci tanımın da birinciden pek farkı yok. Eni olmayan bir uzunluk çizmemiz mümkün müdür?

çizgi
A’dan B’ye çizilen çizginin eni olmamalı. Yani kalınlığı olmaması gerekir. Bu da maalesef mümkün değil.

Sekizinci tanım, açıdan bahseder. Bir açıyı gösterebilmek için çizgilere, çizgiler için doğruya, bu ikisini gösterebilmek için de noktalara ihtiyacımız var. O halde bir açıyı göstermek mümkün müdür?

açı
Çizilecek açı için gereken nokta ve doğru parçaları tanıma uygun değildir. Yani bir açıyı göstermek de imkan dahilinde değil.

Bir mimar olduğunuzu varsayın. Evin planını çizerken noktalar, çizgiler, doğru parçaları ve açılar kullanmanız kaçınılmaz değil mi? Ama biraz önce verdiğimiz tanımlara göre bu kavramları çizerek göstermemiz imkansız.

Matematiğin soyut ve somut kısımları olduğu söylenir. Özellikle öğretmenlerden istenen somut örneklerdir. Ne zaman bir konuda zorlanılsa, hemen işin kolayını gösteren bir yol istenilir. Halbuki matematiğin en basit kavramlarını dahi tam olarak göstermek mümkün değildir.

Elementler’deki Sihir

Öklid’in Elementler’inde ilk kitabın birinci önermesi şunu söyler: Verilen bir doğru parçası üzerine eşkenar üçgen çizmenin yolu.

Yani Öklid bize, rastgele bir doğru parçası verildiğinde bir kenarı o parçanın uzunluğunda olan bir eşkenar üçgeni sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizebileceğimizi gösteriyor.

Yazının devamına bakmadan önce kendinize biraz süre verin ve bunu nasıl yapabileceğinizi düşünün. Unutmayın, Öklid’in kullanabileceği herhangi bir uzunluk aygıtı (açı ölçer ve ölçülü cetvel gibi) yoktu.

  1. Uzunluğumuz A noktasında B noktasına çizilen bir doğru parçası olsun.
    çem
  2. A noktası merkez olmak üzere, AB uzunluğunda yarıçapa sahip olan bir çember çizilsin.
    çem1
  3. B noktası merkez olmak üzere, BA uzunluğunda yarıçapa sahip bir çember çizilsin.
    çem2
  4. İki çemberin kesiştiği noktalardan biri C noktası olsun.
    çem3
  5. A merkezli çemberde AB ve AC doğruları yarıçap olur. Yani AB ile AC aynı uzunluktadır.
    çem4
  6. B merkezli çemberde BA ile BC yarıçap olur. Yani BA ile BC uzunlukları birbirine eşittir.
    çem5
  7. AB ile AC, BA ile de BC eşittir. AB ile BA aynı doğru parçası olduğu için AC ile BC de birbirine eşittir. Yani AB, AC ve BC doğruları birbirine eşittir.
    çem6
  8. Bu üç doğru bir eşkenar üçgeni oluşturur. Böylece verilen rastgele bir AB doğrusunun üzerine eşkenar üçgeni çizmiş oluruz.
    çem7

Oturduğumuz Yerden

Eşkenar üçgeni elde etmek için kullandığım adımların tamamı Öklid’in direktifleridir. Yapılan işin en güzel tarafı ise şu: Biz bir noktayı dahi göstermekten aciz olmamıza rağmen hayal gücümüz bugün matematik dilinin gücünü kullanarak uzaya uydular fırlatıyor ve hatta evrenin sırlarını ortaya çıkarmaya çalışıyor. Hem de oturduğumuz yerden!

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Rastgele verilmiş bir doğrunun eşitini sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizersiniz? İpucu: Öklid’in Elementleri, Kitap 1’deki ikinci önermeyi inceleyin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

1 Comment

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s