Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #1

Tarikat Kurbanı Hippasus

Pisagor matematikte en çok bilinen isimlerden biridir. İsmiyle anılan teorem ile üne kavuşmuşsa da, basit bir teoremden çok daha fazlasını yapmış biriydi. Ayrıca o, tarihte bilinen ilk bilim tarikatının başıydı.

Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, dik olmayan kenarın uzunluğunun karesine eşittir.

Milattan önce 6. yüzyılda Kuşadası’nın karşısında bulunan Sisam adasında dünyaya gelen Pisagor, saf bir matematikçi olarak antik Yunanistan’da önemli bir üne sahipti. Onu takip edenler (Pisagorcular), tıpkı liderleri gibi yaşamayı seçmişti. Pisagorcular birbirlerine sıkıca bağlı, kapalı bir gruptu. Et ve fasulye yemeyen bu grup, mal ve mülk sahibi olmaktan kendilerini soyutlamıştı.

Pisagor’a göre evren sayılar üzerine kurulmuştu. Her sayının bir karakteri vardı ve evrendeki tüm oluşlar sayıların birbirine oranlarıyla açıklanabilirdi. Sayılar güzel, çirkin, maskülen, feminen, harika ya da eksik olarak gruplara ayrılmıştı. Örneğin 10 en iyi sayıydı; çünkü ilk dört sayıyı içinde barındırıyordu (1+2+3+4=10).

Pisagorcular tüm sayıların başka herhangi iki sayının birbirine oranı şeklinde gösterilebileceğini iddia etmişti. (Örneğin 5=10/2) Hatta temel felsefeleri bu düşünceye dayanıyordu. Bu tür sayılar “rasyonel” yani “mantıklı” sayılardı.

Günün birinde Pisagor’un bir müridi yeminini bozmuş ve sorulması yasak olanı sormuştu: Dik kenarları birbirine eşit ve bir birim uzunluğunda olan dik üçgenin (yani ikizkenar diz üçgenin) dik olmayan kenar uzunluğu kaç birimdir?

diküç1
Şekildeki üçgende uzun kenarın 1,41 birim olduğu gösteriliyor. Fakat bu tam değil, yaklaşık değerdir. Bu kenarın uzunluğu bir cetvel ile ölçülemez.

Hippasus ismindeki mürit, Pisagorcu kardeşleriyle denize açılmıştı. Yolculuk sırasında matematik üzerine çalışan Hippasus rasyonel (mantıklı) olmayan sayılar bulduğunu iddia etmişti. Pisagor’a karşı gelmenin cezası büyüktü. Pisagorcuların anayasasına aykırı davranan Hippasus suya atılarak idam edilmişti. Pisagorcular ise mantıklı olmayan sayıların varlığını sır olarak saklamaya devam etmişti.

Ölçülemeyen Sayı Var mı?

kök2

Pisagor teoremine göre dik kenarları birer birim olan üçgenin uzun kenarının uzunluğu.

Eğer Hippasus yanıldıysa, √2 mantıklı bir sayıydı. Yani √2, iki sayının oranı şeklinde yazılabilirdi. Bunu doğru kabul edelim ve √2’nin a/b olduğunu kabul ederek işe başlayalım.

Not: a ve b sayıları birbirine asal olur. Yani a/b oranı sadeleşemez durumdadır. Bu yüzden de sonuca varınca a/b’den daha küçük bir orana ulaşılmaması gerekir.

kök21

Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak, sol tarafı karekökten kurtarırız.

kök22

Paydayı eşitliğin sol tarafına atarsak;

kök23

olur. Bu da aslında bir karenin alanının iki katının, başka bir karenin alanı ettiğini gösterir.

kök24

Yani bir kenar uzunluğu b birim olan karelerden iki tanesi, a kenarlı bir kare yapmalı. O halde iki özdeş karenin alanları toplamı, başka bir karenin alanı etmeli. Bir diğer deyişle, bir karenin alanının iki katı büyüklükte alana sahip olan başka bir kareye ihtiyacımız var.

karekök1

Sağdaki özdeş karelerin alanları toplamı soldaki kare yapıyorsa bu iki küçük kareyi büyük olanın içine yerleştirmeye çalışalım.

karekök2

Küçük karelerden birini büyük karenin sol alt köşesine, diğerini ise sağ üst köşeye sabitlersek, ortada kesişen bölge iki defa sayılmış olur. Eğer özdeş kareler, büyük kareyi tam olarak kaplamak zorundaysa kesişen bölgenin alanı kenarlarda boş kalan bölgelerin alanların toplamı kadardır.

Şekilde görüldüğü üzere A alanına sahip iki özdeş kare, ortada kalmış taralı alanlı kare yapmalı. Eğer küçük karelerin bir kenar uzunluğu c birim, taralı karenin bir kenar uzunluğu d birim olursa

kök25

sonucu elde edilir. Yani problemin başındaki duruma dönmüş olduk: İki özdeş karenin alanları toplamı bir başka kare etmeli! (Bu da a/b’den daha küçük bir orana erişildiği anlamına gelir.) Bu sonuç hem sadeleşemez a/b oranından daha küçük bir oran verir, hem de sonsuz bir döngünün içinde bulunduğumuzu gösterir.

O halde baştaki kabulümüz yanlıştır√2 sayısı a/b şeklinde yazılamaz. Yani √2 mantıklı bir sayı değildir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. √2’nin irrasyonel (mantıklı olmayan) bir sayı olduğunu kağıt-kalem-cetvel kullanarak ispatlayın.
  2. √3’ün rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu nasıl anlarız? (İpucu: İspatı geometrik şekilde yapmaya çalışın.)

M. Serkan Kalaycıoğlu

2 Comments

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s