Bir önceki yazıda Hippasus’un sonunu getiren sayılardan bahsetmiştik. Bu sayılar ne ölçülebiliyor, ne de iki sayının oranı şeklinde gösterilebiliyordu.
İrrasyonel, yani mantıksız diye adlandırılması da bu nedenledir: Uzunluk elimizin altında ama ölçemiyoruz, sayı karşımızda ama belirtemiyoruz.
√2: En ünlü irrasyonel sayılardan biri.
Farkında olalım ya da olmayalım; bahsettiğim uzunluğa kare şeklinde olan her şeyde rastlıyoruz. Eğer bir kareyi çapraz köşelerinden ikiye bölersek karşımıza bir ikizkenar dik üçgen çıkar.
Diyelim ki elimizde dik kenarları 12’şer cm uzunlukta olan bir dik üçgen var. Pisagor teoremine göre dik üçgenin uzun kenarının karesi, dik kenarların karelerinin toplamıdır. O halde:
olur. Yani uzun kenar irrasyonel bir sayı çıkmıştır.
Bu kenarı ölçmeye çalıştığımızda ise 16,97056… sayısıyla karşılaşırız.
Eğer 16,97056… yerine 17 dersek ne olur?
√2 Sonunda Mantıklı
12√2=17 dersek;
sonucuna ulaşırız. √2 iki sayının oranı şeklinde yazılabildiği için artık rasyoneldir! Bundan sonra √2 gördüğümüz her yere 17/12 yazabiliriz.
Fakat, dik üçgen üzerinde biraz oynadığımızda hemen bulduğumuz sonucun ne kadar sıkıntılı olduğunu görebiliriz.
Çelişki İle İspat
12 cm uzunluğundaki dik kenarlardan altta kalanını 5 ve 7 cm olacak şekilde ayıralım ve tam bu noktadan uzun kenara bir çizgi indirelim.
Bu durumda uzun kenara inen çizgi diktir ve uzunluğu 5 cm’dir. (Bunun doğru olup olmadığını görmek için kendi üçgeninizi çizip yapılan işlemi tekrarlayın. Cetvel uzunluğu, açıölçer ise dikliği doğrulayacaktır.)
Elimizdeki ikizkenar dik üçgenin içinde üç adet dik üçgen elde etmiş olduk: A, B ve C. A ve B dik üçgenleri birbiriyle özdeştir, bu yüzden de büyük üçgenin uzun kenarı 12 ve 5 cm olarak ikiye ayrılmıştır. C ise ikizkenar dik üçgendir. Gelin C’yi daha yakından inceleyelim.
Dik kenarları 5 cm, uzun kenarı ise 7 cm uzunluğunda olan bir ikizkenar dik üçgenimiz var. Öğrendiğimiz üzere böyle bir durumda Pisagor teoremi bize uzun kenarın uzunluğunun dik kenarın √2 katı olduğunu söyler. O halde uzun kenar 5√2 cm olmalıdır.
Fakat az önce √2 yerine 17/12 yazabileceğimizi söylemiştik. Yani uzun kenar
5*(17/12) cm
85/12 cm
olur. Fakat fotoğrafta görüldüğü üzere uzun kenar 7 cm‘dir.
7 = 85/12 sonucu bir çelişkidir.
Bu yüzden bizim en başta yaptığımız kabul yanlıştır. √2 rasyonel değildir.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
- Aynı işlemi C üçgeni için tekrarlayıp √2’nin rasyonel olmadığını gösterin.
- İkizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğu 12 yerine 10 cm olsaydı ne olurdu?
M. Serkan Kalaycıoğlu
kmatematikatolyesi.com 