Matematik Atölyesi: Geometri #5

En çok bilinen antik Yunan isimlerden bir liste yapılsa, Pisagor muhakkak ilk 10’da kendine yer bulurdu. (Ünlü Pisagor ve onun tarikatından bahsettiğim yazı için tıklayın.) Pisagor’un ünü ismiyle anılan bir geometri özelliğinden gelir. İşin garibi bugün bu özelliğin ondan en az 1000 yıl önce kullanılmış olduğu bilinmesine rağmen hala özelliğe Pisagor’un adını veriyoruz.

Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, dikliğin karşısında bulunan uzun kenarın karesine eşittir.

Peki bunun ispatı nedir?

Pisagor teoreminin 367 tane farklı ispatı olduğu söylenir. Fakat bunlardan bazıları birbirine o kadar benzer ki, bir matematikçi dahi ispatlar arasındaki fark/farkları görmekte zorlanır.

Gelin bunlardan birkaçına göz atalım.

İspat 1

Elisha Loomis “The Pythagorean Proposition” isimli kitabının 49-50. sayfalarında bir lise öğrencisi olan Maurice Laisnez’in bulduğu ispattan bahseder.

Bu ispatı kontrol ederken çizim yapmak yerine kağıtları kesmeyi seçtim.

Öncelikle ihtiyacımız olan dört tane dik üçgen ve bir kenar uzunluğu bu üçgenlerden birinin dik kenarlarının toplamı kadar olan bir karedir.

Üçgenleri fotoğraftaki gibi yerleştirince karşımıza bir kenar uzunluğu dik üçgenlerin uzun kenarı kadar olan bir kare çıkıyor.

pissa2
Ortada kalan beyaz alan bir karedir.

Bu karenin bir kenarı c olsun. O halde alanı cyapar.

Şimdi üçgenleri büyük karenin içinde fotoğraftaki gibi dizelim.

pissa3
1 ve 2 ile işaretlenen alanlar birer karedir ve toplamda bir önceki fotoğrafta ortada kalan kare kadar alanları vardır.

Karşımıza bu sefer iki kare çıktı. Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla üçgenin dik kenarları olan a ve b’dir.

Karelerin alanları a2 ve b2 olur. Toplamları ise bir önceki şekilde gördüğümüz üzere c2 olmalıdır. Yani sonuç

a2+b2=c2

olur.

İspat 2

İkinci ispat için antik Çin’e gideceğim.

Zhoubi Suanjing tahminen 2500-2200 yıl önce antik Çin’de yazılmış bir kitaptır. Loomis’in kitabında 253. ispat da bu kitaptan alınmıştır.

Şekil 3
Suanjing’de bulunan Pisagor teoremi ispatı.

İspatı yaparken yine kağıt parçalarından yararlanacağım.

Öncelikle dik kenarları sırasıyla 3 ve 4 birim uzunluğunda olan dik üçgenlere ihtiyacım var.

pisasaads

Bu dik üçgenleri fotoğraftaki gibi dizdiğimde karşıma içinde ufak bir kare boşluk olan bir kare çıkıyor.

pisasa

Ortada kalan ufak kareye A diyelim. A’nın bir kenar uzunluğu 1 birimdir. Bu yüzden de A alanı 1 br2 olur.

Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı alınarak bulunur. O halde üçgenlerden biri (3×4)/2 = 6 br2 olur. Toplam 4 üçgen 4×6=24 br2 yapar. Ortadaki A karesiyle toplanınca tüm şeklin alanı 25 br2 eder.

Tüm şekil bir kareyi ifade eder. Alanı 25 yapan karenin bir kenar uzunluğu ise 5 birimdir. Yani üçgenin uzun kenarının uzunluğunu bulmuş olduk:

pasdpfsdf

Böylece antik Çin’de hem 3-4-5 dik üçgeninin hem de Pisagor teoreminin bilindiğini öğrenmiş olduk.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Emekliliğe ayrılmak isteyen çiftçi bir baba, evininin arazisine bitişik olan üç tarlasını iki oğluna eşit olarak paylaştırmak istiyor. Tarlaları bozmak istemeyen baba, nasıl bir yöntem izlemelidir?

pppp

Geometrik şekillere bağımlılığı olan baba, evini bir dik üçgen şeklinde arsaya yaparken üç tarlayı da kareler olacak şekilde ayarlamıştı.

Adil bir dağıtım olması için çocuklar tarlaları hangi şekilde almalıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s