Matematik Atölyesi: Geometri #6

Antik Yunanlardan önce matematik insanlar için hayatiydi. Bu yüzden matematikle ilgili gelişmeler hep gündelik hayatta karşılaşılan problemlere yanıt bulmak içindi. Antik Yunanlar ise matematiği zevk için yapıyordu. Onlar için ortaya attıkları soruların illa gündelik hayatta bir karşılığı olması gerekmiyordu.

Bu sorulardan biri, en zeki antik Yunan bilim insanlarını dahi çaresiz bırakmıştı. Bugün Delos Problemi, veya Küpün Hacmini İki Katına Çıkarmak diye bilinen problemin başlangıcı için iki farklı hikaye vardır. Hangisini daha çok seviyorum diye aralarında bir seçim yapamadığım için her iki hikayeyi de kısaca anlatacağım.

Vebadan Kurtuluş

Bu hikaye İzmirli Theon’a göre Eratosthenes‘in kaybolan bir eserinde yer alıyordu.

Eratosthenes-1-259x300

Tahmini olarak milattan önce 430 yılında Atina’da bir veba salgını baş göstermişti. Şehri yönetenler büyük bir paniğe yol açan salgını durdurma konusunda çaresiz kalmıştı. Tam bu durum içindeyken Tanrı bir kahin üzerinden vebayı sona erdirmek için insanlara bir görev verir. Söylentiye göre Tanrı şehirde bulunan bir altarın iki katı büyüklüğünde yeni bir altar yapılmasını, ancak bu inşaatın yapılmasıyla veba salgınının son bulacağını emretmişti. (Altar: Adak adanan ve kurban kesilen alan.)

Atinalı bilim insanları en başta kolay görülen bu işi bir türlü becerememişti. Antik Yunanlar geometri konusunda çok başarılıydı ve sadece pergel ile ölçüsüz cetvel kullanarak her şeyi yapabileceklerini düşünüyordu. Fakat uğraşlar sonuç vermiyor, altarın hacminin iki katı olan yeni bir altarın boyutları bulunamıyordu. Sonunda zamanın ünlü ismi Plato’ya danışılmıştı. Plato’ya göre Tanrının bu soruyu göndermesinin nedeni altarın inşa edilmesi değil, Yunanların aslında geometri konusunda ne kadar cahil olduğunu göstermek istemesiydi.

plague-of-athens
MÖ 430-426 arasında Atina’da yaşanan veba salgınını anlatan bir tablo.

Glafkos’un Mezarı

Bu hikayeyse Arşimet’in kitaplarından birinde yer alır. Buna göre Eratosthenes Yunan kralına bir mektup yazmış ve aşağıdaki durumdan bahsetmişti.

Hikayenin baş kahramanları Zeus ile Europa’nın oğlu olan Minos ve onun oğlu Glafkos’tur. Anlatılana göre Minos, çocuk yaşta kaybettiği oğlu için bir mezar yapılmasını emretmiş, fakat inşa edilen mezarın bir soyluya yakışmayacak derecede küçük olduğunu düşünmüştü. Küp şeklinde yapılan mezarın iki katı büyüklüğe çıkarılmasını isteyen Minos, bunun için her bir kenarın uzunluğunun iki katına getirilmesini emretmişti.

Minos
Minos

Buradaki sorunu bir küpün hacmini bulmayı bilen herkes kolaylıkla görebilir. Eğer bir küpün her kenarı iki katına çıkarılırsa, küpün hacmi iki değil sekiz katına çıkar. Hikayeye göre ne Minos, ne de emrindeki adamlar sorunu çözememişti.

kc3bcp2.jpg
a küpünün hacmi 1 iken, bir kenar uzunluğu iki katına çıkarılarak oluşturulan b küpünün hacmi 8 olur.

Çözülemeyen Üç Soru

Herhangi bir küpün hacmini iki katına çıkarma problemi sadece pergel ve cetvel kullanarak çözülemeyen üç problemden biridir. (Diğer iki probleme daha sonra değineceğim.) Bunu ilk ortaya atan Gauss olsa da iddiasını destekleyen bir ispat sunmamıştı. İlk ispat 1837’de Pierre Wantzel’den gelmişti. Yani problemin ortaya çıkışından en az 2250 yıl önce!

Gelin soruyu modern matematik sembolleriyle bir de biz çözmeye çalışalım.

Her bir kenarı 1 birim uzunlukta olan bir küpü ele alalım. Küpün hacmi;

1x1x1 = 1 br3

olur. Bu küpün hacminin iki katı 2 br3‘tür. O halde elde edilmesi gereken şey, hacmi 2 brolan bir küpü çizmektir. Böyle bir küpün bir kenarının uzunluğu;

a= 2

a = 3√2 olur. Yani soruyu çözdük… mü acaba?

Antik Yunanların problemi ellerinde ölçüsüz bir cetvel ve pergelden başka bir şey olmamasıydı. Çünkü sadece bu ikisini kullanarak 3√2 boyutunu belirlemek imkansızdır. Her ne kadar onlar bunun imkansız olduğunu ispatlayamamış olsa da, gerçeğin farkındaydılar.

Nasıl Çözülür?

Bir küpün hacminin iki katı hacme sahip başka bir küp çizmek için Neusis Çizimi ismi verilen bir yöntem kullanılır.

Fakat ben origami sanatının gücünü kullanarak bunun nasıl başarılabileceğini göstereceğim.

Önce bir kenarı 9 cm olan bir kare şeklinde kağıt parçasını origami yöntemleri kullanarak 3 eşit parçaya böldüm.

Daha sonra karenin sağ kenarında bulunan B noktasını, sol kenarda bulunan C noktasının hizasına getirdim. Bunu yaparken A noktasının karenin sol kenarına denk gelmesine de özen gösterdim.

A’nın karenin sol kenarına dokunduğu yere D noktası dedim. İşte D ile F noktaları arasında kalan mesafe, D ile E noktaları arasındaki mesafenin  3√2 katıdır.

Peter Messer’in çözümünde kullandığı çizimler aşağıdaki gibidir. CB arası 1 birim ise, AC arasındaki mesafe  3√2 olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

2000 yıldan uzun bir süre insanları meşgul eden bir soru, origamiyle nasıl oluyor da bir dakikanın altında bir sürede çözülebiliyor? Cetvel&pergel yönteminin origamiden eksiği nedir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

1 Comment

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s