Stanford Üniversitesi’nden Thomas M. Cover’in 1987’de yayımladığı bir makale, imkansız denilen bir sonucu gösteriyordu. Cover’in sorusu şöyleydi:
İki oyuncu: A oyuncusu ve B oyuncusu.
A: İki kağıda 0 ile 10100 arasında birbirinden farklı iki sayı yazıyor ve masanın üzerine kağıtlardaki sayılar görünmeyecek şekilde koyuyor.
B: Kağıtlardan birini seçip onu ters çeviriyor. Yazan sayıyı göz önünde bulundurarak hangi kağıtta daha büyük sayı olduğunu tahmin etmeye çalışıyor.
B’nin şansı doğal olarak %50’dir. Hatta kağıdın birini seçip sonra hangisinin daha büyük olduğuna karar vermesine gerek bile yoktur. Seçtiği kağıt diğerinden ya daha büyüktür ya da daha küçüktür… mü acaba?
Matematiğin Büyüsü
B’nin oyunu kazanma ihtimalinin %50’den daha fazla olduğu bir strateji var mıdır?
İnanılmaz ama gerçekten B’nin %50’den daha fazla şansının olabileceği bir strateji vardır.
Strateji: B oyuncusu aklından bir T sayısı tutar. Her seferinde T’yi göz önünde bulundurarak seçimini yapar.
- Seçilen T’den büyükse, büyük sayı olarak seçilen kağıdı göster.
- Seçilen T’den küçükse, büyük sayı olarak diğer kağıdı göster.
Teorik
Kağıtlarda X ve Y sayıları yazıyor olsun ve X sayısı Y’den büyük olsun. Seçilen T sayısı için üç durum vardır.
- T sayısı X ve Y’den küçüktür. Bu durumda çekilen kağıt hep T’den büyük olur ve oyuncu çektiğinin büyük olduğunu iddia eder. O halde oyuncunun kazanması için en başta X’i seçmesi gerekir. Bu ihtimal de tam olarak %50’dir.
- T sayısı X ve Y’den büyüktür. Bu durumda çekilen kağıt hep T’den küçük olur ve oyuncu diğer kağıdın büyük olduğunu iddia eder. O halde oyuncunun kazanması için en başta Y’yi seçmesi gerekir. Bu ihtimal yine tam olarak %50’dir.
- T sayısı X ile Y’nin arasındadır. O halde oyuncu X’i seçerse X T’den büyük olduğu için X’i, Y’yi seçerse T Y’den büyük olduğu için yine X’i seçer. Yani oyuncunun büyük olan X’i bulma ihtimali %100’dür!
Pratik
Kafanız karışmış olabilir. Pratik sayesinde ne zaman B’nin kazanma şansının arttığını daha kolay görebilirsiniz.
B oyuncusu aklından 80 sayısını tutsun. (Yani T=80) A oyuncusuysa;
- 120 ve 287,
- 1 ve 2,
- 64 ve 15000
sayılarını yazmış olsun. (Yani X-Y ikilileri yukarıda gösterilenlerdir.)
Çözümler:
- B oyuncusu ya 120 ya da 287’yi seçer. Her iki sayı da 80’den büyük olduğu için B oyuncusu seçtiği kağıdın büyük olduğunu iddia eder. Burada 287’yi seçme ihtimali %50’dir.
- B oyuncusu ya 1 ya da 2’yi seçer. Her iki sayı da 80’den küçük olduğu için B sayısı seçmediği kağıdın küçük olduğunu iddia eder. Burada 2’yi seçme ihtimali yine %50’dir.
- B oyuncusu ya 64’ü ya da 15000’i seçer. B’nin aklından tuttuğu sayı kağıttaki sayılardan birinden büyük, diğerinden küçüktür.
Eğer B oyuncusu 64’ü seçerse, seçilen 80’den küçük olduğu için oyuncu diğer kağıdın (yani 15000’in) daha büyük olduğunu iddia eder.
Eğer B oyuncusu 15000’i seçerse, bu sayı 80’den büyük olduğu için oyuncu seçtiği kağıdın (yani 15000’in) daha büyük olduğunu iddia eder.
Her iki durumda da B oyuncusu doğruyu bulmuştur. Yani bu durumda B’nin oyunu kazanma ihtimali %100′dür.
M. Serkan Kalaycıoğlu
kmatematikatolyesi.com 