Matematik Atölyesi: Graf #2

Yazıyı okumadan önce Bulmaca I başlıklı yazıyı okumanız gerekir. Yine de kısaca hatırlatmamızı yapalım: Yanınızda keçi, kurt ve lahana ile evinize dönerken karşınıza büyük bir nehir çıkıyor. Şansınıza nehirde terk edilmiş bir sal görüyorsunuz. Salın kapasitesi çok küçük ve karşıya her seferinde keçi, kurt ve lahanadan birini geçirebiliyorsunuz.

Fakat burada bir sorun var çünkü keçiyi kurt ile yalnız bırakmak istemezsiniz. Siz lahanayı bırakıp gelene dek keçiden geriye pek bir şey kalmayabilir. Aynı şekilde keçi ile lahanayı da yalnız bırakmamak gerekir, çünkü lahana keçinin en sevdiği yemeklerden biridir. Üçlü arasında sadece kurt ile lahanayı yalnız bırakabiliyorsunuz.

Peki herkesi nehrin karşısına nasıl geçireceksiniz?

Graf Kullanarak Bulmaca Çözmek

Bu basit görünümlü bulmacayı graf haline getirip çözümü bulabiliriz. Bunun için nehrin sol tarafı 1, sağ tarafı ise 2 rakamı ile gösterilsin. İlk durumda herkes nehrin sol, yani 1 numaralı tarafındadır. Bunu 111 (Kurt-Keçi-Lahana) ile gösterebiliriz.

O halde bu üçlü için sekiz farklı konum vardır: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221 ve 222. Örneğin 112 demek kurt ve keçi nehrin solunda, lahana ise nehrin sağında demektir. Nihai amaç ise 222 konumuna gelmektir.

Grafı Çizmek

Biz bu sekiz konumun her birinin bir nokta ifade ettiğini varsayalım. Noktalar arasında geçişler ise çizgilerle gösterilsin. Noktalarımız ve bu noktalar arasında geçişi gösteren çizgilerimiz var. O halde şimdi helva yapabiliriz! Pardon, graf çizebiliriz demek istemiştim.

Başlangıç noktamız olan 111’den hareket edilebilecek üç nokta vardır: 112, 121, 211. (Örneğin 211’e gitmek demek kurdu sağa götürüp, keçi ve lahanayı solda yalnız bırak demektir.) Grafa döküldüğünde tüm ilişkiler şu şekilde gösterilir:

111

Eğer bu bağlantıların hepsini istediğimiz gibi kullanabilseydik, 111’den 222’ye ulaşmak çok basit olurdu. Fakat bulmaca bize iki kural vermiş ve bunlara göre bazı noktalar arasındaki bağlantılar (ya da çizgiler) kullanılamaz.

Çözüm

Yapılacak ilk hareket, çözümün kalanını belirler. Biliyoruz ki keçi ile lahana, kurt ile de keçi yalnız bırakılamaz. Bu yüzdendir ki ilk hamlede kurt ya da lahana karşı tarafa götürülemez. Grafikte bunun karşılığı şudur: İlk hareket 211 ve 112 yolundan yapılmamalıdır.

IMG_5358

O halde 111’den gidilebilecek tek yol kalır: 121 yolu. Bu da keçinin karşıya taşınması anlamına gelir. Böylece nehrin 1 tarafında kurt ve lahana yalnız kalır ki bulmacaya göre bu bir sorun teşkil etmez.

IMG_5359

İkinci harekete 121’den başlanacağına göre gidilebilecek üç nokta vardır: 111, 122 ya da 221. Zaten 111’den geldiğimiz için buraya geri dönmenin bir anlamı yoktur. Bu yüzden 122 ya da 221 noktalarından biri seçilmek zorundadır. Yani kurt ya da lahanadan birini nehrin 2 tarafına taşımalıyız.

122 yönünden gidersek:

Eğer 122 noktasına gidersek (ki bu lahanayı nehrin 2 tarafına götürmek demektir) keçi ile lahana yan yana kalmış olur. 122 noktasından sonra yine üç noktaya gitme şansımız vardır: 222, 121, 112.

  • 121: Bu noktadan geldiğimiz için geri dönmemizin bir anlamı olmaz. Yani 121’ye doğru gidilmez.
  • 222: En doğru seçim bu gibi görünür. Zaten amacımız herkesi nehrin 2 numaralı tarafında geçirmektir. Fakat 122’den 222’ye geçmek demek, lahanayı keçi ile yalnız bırakıp kurdu almak için nehrin 1 numaralı tarafına gitmek demektir. Bunu yaparsak biz kurdu alana dek keçi lahanayı hunharca katleder. Yani 122’den direk 222’ye gidemeyiz.
  • 112: O halde 122 noktasından gidebileceğimiz tek yer burasıdır. Bir diğer deyişle lahanayı karşıya bırakıp keçiyi geri götürmek.

112 noktasından gidilebilecek üç nokta vardır: 122, 212, 111. 111’e gitmek hem sorunun başına dönmek hem de keçiyi kurda teslim etmektir. 122 noktası ise bir önceki noktadır: Geri dönmenin bir anlamı olmadığını söylemiştik. O halde 112’den gidilebilecek tek yer 212 noktasıdır. Bu da keçiyi nehrin 2 numaralı kısmına geçirmek anlamına gelir.

212 noktasından direk 222 noktasına gidebiliriz. Çünkü 212 durumunda kurt ile lahana yalnız bırakılabilir. Böylece nehrin diğer kısmına gidip keçi alınabilir.

221 yönünden gidersek:

121 noktasından hareket edebileceğimiz iki farklı yön vardı. Bunlardan 221 yönünü seçseydik bulmacanın çözümüne ulaşabilir miydik?

221’den gidilebilecek noktalar 222, 211 ve 121’dir. Geri dönmek yok; bu yüzden 121 seçeneği devre dışı kalır. 221’den 222’ye direk geçip bulmacayı çözmüş olurduk ama bunu yapmak demek kurt ile keçiyi yalnız bırakıp lahanayı almaya gitmek demektir. O halde 221’den sonra gidilmesi gereken tek yön vardır: 211.

211’den gidilebilecek noktalar: 111, 221 ve 212’dir. 111 ve 221 noktalarına gitmek, geri dönmek manasına geleceği için buradan gidilmesi gereken nokta 212’dir. 212’den sonra 222, 211, 212 noktalarından birine doğru hareket edilmelidir. 212 noktasının anlamı şudur: Kurt ve lahana nehrin 2 numaralı tarafında, keçi ise 1 numaralı tarafta. Kurt ve lahana yalnız bırakılabileceği için keçiyi almaya gidebiliriz. Bu yüzden 212’den 222’ye geçip bulmacayı çözmüş oluruz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu üçlü arasına yeni hayvan ve bitkiler koyun. Kendi kendinize kurallar yaratın ve bu kurallara göre graf çizmeye çalışın. Sonucun olup olmadığını ve neden/nasıl sorularını graf ile açıklayın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s