Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #3

Kirene’li Teodorus

Günümüzün Libya’sında kalan antik Kirene kenti MÖ. 5. yüzyıl civarında Yunanların kontrolü altındaydı. Burada doğan Teodorus (MÖ 465 – MÖ 398) hakkında bildiklerimiz Platon’un hocası olduğuyla Sokrates ile tanışıp bir süre için Atina’ya gitmiş olduğundan ibaret.

Platon’a göre Teodorus irrasyonel sayılarla önemli harikulade çalışmalar yapmıştı. Daha önce antik Yunan bilim insanlarının sayıları uzunluk olarak düşünmüş olduğundan bahsetmiştim. Pisagorcular tüm sayıların rasyonel (mantıklı/iki tam sayının birbirine bölümü) olduğunu iddia etmişti. Fakat ne ilginçtir ki Pisagor teoremi diye adlandırdığımız geometrik bilgi, Pisagorcuların iddiasını çürütmüş ve rasyonel olmayan sayıların da var olduğunu göstermişti.

indir (3)
Platon

Teodorus da bir Pisagorcu idi ve doğal olarak sayı teoremi ile ilgilenmişti. Yine Platon sayesinde biliyoruz ki Teodorus 2, 3, 5, … gibi sayıların kare köklerinin rasyonel olmadığını ispat etmişti.

Bu yazının konusu Teodorus’un Spirali diye bilinen ve içinde inanılmaz bilgiler barındıran basit ama bir o kadar da gizemli bir geometrik şekildir.

Teodorus’un Spirali

Aynı zamanda “Einstein Spirali”, “Pi Spirali”, “Kare Kök Spirali” isimleriyle bilinen spiral, Pisagor teoremini bilen herkes tarafından oluşturulabilir.

Öncelikle dik kenarları 1’er birim uzunlukta olan bir ikizkenar dik üçgen çizin. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun Pisagor teoremi sayesinde √2 birim olduğunu biliyoruz.

IMG_5384

Daha sonra bir önceki üçgenin hipotenüsü olan √2 birimlik kenara dik ve 1 birim uzunlukta bir doğru parçası çizilerek yeni bir dik üçgen oluşturulur. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu (yine Pisagor teoreminden) √3 birim olur.

Bu sefer √3 birim uzunluğuna dik ve 1 birim uzunlukta bir doğru parçası çizilir ve yeni bir dik üçgen daha yaratılmış olur. Bu dik üçgenin hipotenüsü √4 birimdir.

Teodorus bu yöntemi √17 birim uzunluğunda bir doğru parçası bulana dek devam ettirmiştir. Oluşan şekil görüldüğü üzere bir spiraldir.

IMG_5379

Teodorus’un neden √17’de durduğunu kesin olarak bilemiyoruz. Oluşan şeklin √17’den sonra üst üste bindiğini gördüğü için durmuş olması en kuvvetli ihtimal.

Spiral Gibisi Yok

Peki Teodorus’un spiralinin ne özelliği var?

  • Hipotenüs uzunluklarına bakıldığında tam kare olanlar hariç kalan uzunlukların tamamı irrasyoneldir. Tam kare olanlar √1, √4, √16, √25 … diye devam eder.
  • Spiral sonsuza dek uzatıldığında dahi (yani sürekli yeni üçgenler eklendiğinde) herhangi iki hipotenüs birbiriyle çakışmaz.

    IMG_5380
    Çok yakın olanlar varsa da herhangi iki hipotenüs birbiriyle çakışmaz.
  • Yeni üçgenler ekleyip spiral büyütüldüğünde, spiral kolları arasındaki boşluğun uzunluğu π sayısına yakınsar.

    IMG_5383
    30 tane üçgenle 3,1 cm’ye geldim. Eğer sabırla üçgen eklemeye devam etseydim π’ye daha da yakın olurdum.
  • Peşi sıra gelen iki tam kare uzunluklu hipotenüs arasındaki açı 360/π dereceye yakınsar. 360/π = 114,591559026… yapar. Benim çizimim henüz ilk üç tam kare sayıdayken bile gerçekten bu değere çok yakın çıktı. Şanslıydım.

Katil Eğri

Sıra Teodorus’un spiraliyle ilgili en sevdiğim özelliğe geldi. Spirali oluşturan üçgenleri kesip çıkaralım ve koordinat düzleminde yan yana dizelim.

Üçgenlerin uç noktalarını birleştirince karşımıza y=√x eğrisi çıkar. Eğer irrasyonel sayılara katil sayılar diyorsam, bu eğriye de katil eğri demem gerekir.

Bir de GeoGebra isimli programla çizmeyi denedim.

teodorusgeo

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

İlk üçgeni şekildeki gibi alıp Teodorus’un yöntemini aynen uygulayın.

IMG_5394

Teodorus’un spiraline göre neler daha farklı? Ne gibi yenilikler görüyorsunuz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s