Matematik Atölyesi: Örüntü #3

Serkanus Problemi

Oyuna katılanlar yuvarlak bir masanın etrafına oturur. En sona kalan pastayı alır.

Kurallar:

• Masanın etrafına saat yönünde 1’den başlanıp oyuna katılan kişi sayısı kadar sayılar yazılır.
• Herkes bir sayı seçerek masadaki yerini alır.
• Elemelere 1 numaralı yerde duran kişiden başlanır.
• Sırada olan kişi hep kendisinden sonra geleni eler.

Oyun 1: Bir kişi.

Tek numara ve tek kişi demek oyunun başlamadan bittiği anlamına gelir.

Kazanan: 1.

Oyun 2: İki kişi.

Oyunu iki kişi oynarsa yuvarlak masanın etrafında 1 ve 2 numaraları yazılır. Oyuncular yerlerini alır ve 1 numaralı oyuncu kendisinden sonra gelen 2 numaralı oyuncuyu eleyerek oyuna başlar.

Geriye kimse kalmadığı için 1 numaralı oyuncu pastayı eve götürür.

Kazanan: 1.

Oyun 3: Üç kişi.

Oyunu üç kişi oynarsa, yuvarlak masanın etrafında 1-2-3 numaraları yazılı olur demektir. Oyuna 1 numaradan başlanır; bu oyuncu kendisinden sonra gelen yani 2 numaralı oyuncuyu eler.

Sıra 3 numaralı oyuncuya gelmiştir. O da kendisinden sonra gelen oyuncu olan 1 numaralı oyuncuyu eler.

Masada en son kalan kişi 3 numaradır. Pastayı hak eden sıra budur.

Kazanan: 3.

Oyun 4: Dört kişi.

Oyunda dört kişi varsa, yuvarlak masanın etrafına 1-2-3-4 numaraları yazılır ve oyuncular bu numaralardan birine geçer. 1 numaralı oyuncu 2 numaralı oyuncuyu eler.

Sıradaki 3 numaralı oyuncu, kendisinden sonra gelen 4 numaralı oyuncuyu eler.

Şimdi sıra yine 1 numaralı oyuncuya gelir. Kendisinden sonra gelen 3 numaralı oyuncuyu eler ve oyunda en son kalan kişi olur.

Kazanan: 1.

Oyun 5: Beş kişi.

Masada 1-2-3-4-5 numaralarına geçen oyunculardan 1 numara 2’yi eler.

3 numara 4’ü eler.

5 numara, kendisinden sonra gelen 1 numarayı eler.

Sıradaki 3 numaralı oyuncudur. O da 5 numarayı eler ve oyunu kazanır.

Kazanan: 3.

Oyun 6: Altı kişi.

1-2-3-4-5-6 numaralı yerlere geçilir. 1 numara 2’yi eler.

3 numara 4’ü, 5 numara ise 6’yı eler.

Sıra 1 numaraya gelmiştir, o da 3 numarayı eler.

Bir sonraki elemeyi yapacak kişi olan 5 numaralı oyuncu 1 numarayı eler ve pastayı alır.

Kazanan: 5.

Oyun 7: Yedi kişi.

1-2-3-4-5-6-7 numaralı yerlere geçilir. 1 numara 2’yi, 3 numara 4’ü, 5 numara ise 6’yı eler.

Sıradaki 7 numaralı oyuncu kendisinden sonra gelen 1 numarayı, 3 numara ise 5’i eler.

Sıra yine 7 numaralı oyuncuya gelmiştir ve son kalan 3 numarayı eleyerek oyunu kazanır.

Kazanan: 7.

Oyun 8: Sekiz kişi.

1-2-3-4-5-6-7-8 numaralarında bulunan oyunculardan 1 numara 2’yi, 3 numara 4’ü, 5 numara 6’yı ve 7 numara 8’i eler.

Sıradaki 1 numara 3’ü, 5 numaraysa 7’yi eler.

Sıra tekrar 1 numaraya gelir ve o da kalan son oyuncu olan 5’i eleyerek oyunu kazanır.

Kazanan: 1.

Oyun 9: Dokuz kişi.

1-2-3-4-5-6-7-8-9 numaraları yazılır ve 1 numara 2’yi, 3 numara 4’ü, 5 numara 6’yı, 7 numara 8’i eler.

Sıradaki 9 numara 1’i, 3 numara 5’i eler.

Eleme sırasındaki 7 numara 9’u eler.

Son iki kalan sayı 3 ve 7’dir. Sıradaki 3 numara 7’yi eler ve pastayı kazanır.

Kazanan: 3.

Oyun 10: On kişi.

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 numaralarından 2, 4, 6, 8 ve 10 ilk turda elenir.

Sıradaki turda 1 numara 3’ü, 5 numara ise 7’yi eler.

Eleme sırası 9’a gelmiştir, o da 1 numarayı eler. Geriye 5 ve 9 kalır.

Sıradaki 5 olduğu için elenen 9 olur. Pasta 5 numaralı oyuncun olur.

Kazanan: 5.

Örüntü

Buraya kadar kaç kişilik grupta hangi sıradaki oyuncunun kazandığına bir göz atalım:

Fark etmişsinizdir: Çift sayılarda bulunan oyuncular oyunu kazanamaz. Hatta daha ilk turda hep elenir.

Ayrıca dikkat ederseniz oyuna katılan kişi sayısı ile kazanan kişinin numarası aynı olduktan sonra, oyuncu sayısı bir artırılınca kazanan 1 numaralı oyuncu oluyor. Sonraki turda 1’den sonra gelen ilk tek sayı, yani 3 numaralı oyuncu kazanıyor. Ondan sonraki turdaysa bu sefer 3’ten sonra gelen ilk tek sayı olan 5 numara oyunu kazanıyor.

Bu örüntü ta ki oyuncu sayısıyla kazanan kişinin numarası eşitlenene dek devam ediyor.

Genelleştirirsek; kişi sayısı ile kazananın numarası aynı olduktan sonra oyunu kazananlar sırasıyla tek sayılar oluyor.

O halde 11 kişiden devam edersek oyunun kazananları şöyle olmalıdır:

15 kişilik oyunda kazanan 15 numaralı olduğuna göre, fark ettiğimiz örüntü 16 kişilik oyunda kazananın 1 numara olacağını söyler. Gelin deneyerek bunun doğru olup olmadığını kontrol edelim:

İlk turda 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ve 16 elenir.

İkinci turda 3, 7, 11 ve 15 elenir.

Üçüncü turda 1, 5, 9 ve 13 sayıları kalmıştır. Sıradaki 1 numara 5’i, 9 ise 13’ü eler.

Dördüncü turda geriye 1 ve 9 numaralı oyuncular kalmıştır. Eleme sırası 1’de olduğu için kazanan 1 numaralı oyuncu olur.

Kısacası bulduğumuz örüntü çalışıyor!

Josephus Problemi

Adını 1. yüzyılda Musevi tarihi hakkında bir çok önemli çalışma yapmış olan Flavius Josephus’dan (MS 37- MS 100) alan ünlü bir problemdir.

Hikaye 1. yüzyılda geçer. Rivayete göre Roma ile Yahudi krallıkları arasındaki savaşta yenik düşen Josephus, 40 askeriyle birlikte bir mağaraya sığınmak durumunda kalmıştı. Bu 41 adamın iki tercih hakkı vardı: Teslim olmak ya da intihar etmek.

Askerler intihar etmekte karar kılınca Josephus, yakın arkadaşının ve kendi canını kurtarmak için hemen bir plan düşünmüştü: Tüm askerler bir çember olacak şekilde dizilecek ve son adam kalana dek sırayla herkes solundaki ikinci adamı öldürecekti.

Cin Josephus

Bir çemberde belli bir sırayla intihar edilmesini teklif eden Josephus eğer doğru sırada olursa kendisinin ve arkadaşının sağ kalan son iki kişi olacağını biliyordu.

Peki Josephus ve arkadaşı çemberin kaçıncı sıralarında olmalıydı?

M. Serkan Kalaycıoğlu