Matematik Atölyesi – Geometri #9

Pi’yi Bulmak

İnsanlar yaklaşık 4000 yıl önce herhangi bir çember ile çemberin içinden geçen en uzun doğru parça (ya da nam-ı diğer çap) arasında bir bağlantı olduğunu keşfetmişti. Pi sayısı ismini verdiğimiz bu bağlantı ilk keşfedildiği andan itibaren matematik ve mühendislikle uğraşan herkesi etkisi altına almıştı.

Bu bağlantının tam olarak hangi sayı olduğunu, en azından yakın değerini bulmaya çalışanlar arasında aşina olduğumuz önemli tarihi figürler de yer alıyordu. Bunlardan biri antik Yunan Arşimet idi.

Arşimet öncesi pi sayısıyla ilgili değer bulma çalışmaları hep tek düzeydi: Belli bir çemberin alanını veya çevresini ona benzer bir çokgen ile karşılaştır. Buna gösterilen en popüler örneğe bir göz atalım:

Bir çember çizin ve onu 12 eşit parçaya ayırın.

Parçalardan birini ortadan ikiye bölün ve tüm parçaları kesip yan yana dizin.

Karşılaşılan şekil bir dikdörtgene benzer. O halde bu dikdörtgenle başta çizdiğimiz çember aynı kabul edilebilir.

IMG_5838

Çemberin çevresi yarıçap ile pi’nin iki katı alınarak bulunur. Çizilen dikdörtgende çevre alt ve üst kenarların toplamıdır. Buradan pi sayısı için aşağıdaki yakınsak sonuç bulunur.

Aynı işlemi farklı çapı olan çemberle deneyince aşağıdaki sonucu buldum.

IMG_5841

Bulduğum sonuçların ortalamasını alırsam pi için kendi yakınsak değerimi bulmuş olurum.

IMG_5842

Arşimet’in Yakınsak Değeri

Kendisinden önceki yöntemlerle mühendislik harikaları yapılmasına rağmen bulunan değerlerden memnun olmayan Arşimet kendi yöntemini bulmuştu. Bu tekrarlayan bir yöntemdi. Arşimet bir çemberin içine ve dışına bir çokgen yerleştirip zamanla çokgenin kenar sayısını arttırarak çembere en yakın şekli bulmaya çalışmıştı.

Yani Arşimet’in gördüğü ilk çokgeni yakınsak değer bulmak için kullanmamıştı. O, en doğru çokgeni bulana dek sürekli denemişti. Arşimet’in bu yöntemine “tüketme metodu” denir. Tüketme metodu kalkülüsün bilinen en eski örneğidir.IMG_5843

Arşimet’in yöntemini denemek isterseniz başlangıç noktanız bu olabilir. Birim çemberin içine ve dışına birer kare yerleştirin. Pi’nin değeri 2,8 ile 4 arasında bir yerde olacak. Arşimet’in yakınsak değerinin bir başka özelliği de buydu: Pi için tek bir değer değil de, hangi değerler arasında olduğunu bulmuştu.

Onun orijinal yöntemi altıgen ile başlamış, 96-kenarlı ile bitmişti. Bir çemberin içine ve dışına yerleştirdiği 96-genler sayesinde Arşimet şu harikulade sonuca ulaşmıştı:

d27014a4f9d58cfc4bfaefca7e93f8bf

Küçükken okulda pi için kullandığınız 22/7 değeri aslında Arşimet’in bulduğu pi değerinin üst sınırıdır.

Bu aralığın ortası 3,14185 eder ki bu değer pi’ye %99,9’u kadar yakındır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s