Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #2

Bu Hangi Şekil?

Uzun süredir bu günü bekliyordum: Uzaylılar tarafından kaçırıldım! Evet, tarafından!

Neyse ki uzaylılar Türkçe biliyor. En sevdikleri içecek Rize çayı. İnce belli bardakta açık bir çay verdiler. Sakinleşmeye başladığımı gördüklerinde liderleri bana seslendi:

-Dünyalı! Üzerinde deneyler yapmak için seni kaçırdık ama sana karşı adil olmak istiyoruz. Çayını bitirdikten sonra gözlerini bağlayacağız ve seni rastgele bir gök cismine bırakacağız. Eğer üzerinde olacağın bu gök cisminin hangi şekilde olduğunu bilirsen seni evine geri götüreceğiz.

Kristof Kolomb Yöntemi

Gök cismine bırakıldım. Uzay gemisi üzerimde; beni izliyorlar. Düşün Serkan, düşüün! A, evet buldum galiba. Eğer Kolomb gibi yapıp sürekli aynı yöne doğru ilerlersem, yuvarlak bir gezegende isem, başladığım yere dönmem gerekir.

Uzaylılardan sprey istedim. Böylece yolumu işaretleyip başladığım yere varıp varmadığımı görebileceğim. Günler, haftalar geçti ve sonunda başladığım yere vardım!

Demek ki bu gezegen tıpkı evim Dünya gibi küreye veya topa benzer bir şekilde. Cevabımı hazırladım ve uzaylılarla konuşmaya gidiyorum. Fakat… Aklıma bir şüphe düştü. Ya bu gezegen bir simit şeklindeyse?! Sonuçta simit de yuvarlak bir şekle sahip.

Çünkü eğer simit şeklindeyse ve ben de simidin bir tarafında düz ilerledi isem, başladığım yere dönmem normal. İzlediğim yol yuvarlaklığı gösteriyor ama ya simit gibi ortası boş bir şeklin üzerinde isem?!

Ne yapacağım şimdi?

Topun mu üzerindeyim? Yoksa simidin mi?

Sizin İçin Yeni Bir Matematik

Aslında bu soru, topolojinin klasik sorularından biridir. Peki topoloji nedir?

Size şu ana dek Euler’in iki önemli buluşundan bahsettim: Euler’in çokyüzlüler formülü ve Euler’in Königsberg köprüsü problemi çözümü.

Euler’in Königsberg çözümü, 150 yıl sonra çizge teorisi isminde yeni bir matematik alanının ortaya çıkmasına neden olmuştu. Euler’in çokyüzlüler formülü ise çizge teorisinin alt dalı olduğu topoloji isimli matematik branşının çıkışına önemli bir etkide bulunmuştu.

Topoloji:

• Yunanca’dan türetilmiştir. Topos (Yer/Yüzey/Uzay) + Lopos (Bilim).
• Lastik levha geometrisi olarak bilinir.

Öklid Geometrisi vs. Topoloji

• Öklid geometrisinde objeleri döndürebilir ve ters çevirebiliriz. Fakat germek, uzatmak veya bükmek gibi şeyleri yapamayız. Bunları yaptığımız anda uğraştığımız objenin özellikleri değişir.
• Topolojide ise bir obje gerilip büküldüğünde objenin özelliklerinde bir değişme olmaz. Fakat kesmek, delmek veya ekleme yapmak topolojide objelerin özelliklerini değiştirir.
• Öklid geometrisinde uzunluk ve açılar önemlidir.
• Topolojideyse bunların bir önemi yoktur.
• Bu yüzden Öklid geometrisinde bir kare ile bir üçgen farklı özelliklere sahipken, topolojide her iki şekil de aynı kabul edilir.

En Popüler Örnek

Uzunluk ve açıların önemli olmaması ilk başta anlamsız gelebilir. Halbuki günlük yaşamımızda önemli yer kaplayan bir örnek topolojiyi zaten hepimizin bilip kullandığını gösteriyor.

Toplu taşıma araçlarında, özellikle metro ve tramvaylarda durakları gösteren haritalar bulunur. Bu haritalara bakarken duraklar arasındaki mesafeleri veya hangi durağın daha büyük olduğunu bilemeyiz. Çünkü tüm duraklar noktalarla gösterilip birbirlerine çizgilerle bağlanmıştır.

İstanbul’da Taksim metro durağındasınız ve Levent yönüne doğru vagona bindiniz. Kaç durak sonra ineceğinizi öğrenmek için kapının üzerine doğru baktınız:

Görüldüğü üzere tüm durak isimleri noktalarla gösterilirken duraklar arası mesafeler de aynı bırakılmış. Gerçekteyse örneğin Taksim-Osmanbey arasıyla Levent-4.Levent arası mesafe aynı değildir.

İpucu: Bu Hangi Şekil?

Fark etmiş olmalısınız: Soru aslında gezegenin topolojik özelliğiyle ilgili. O halde oyun hamuru gibi bir materyal ile soruyu çözebilirsiniz.

M. Serkan Kalaycıoğlu