Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #3

Miras

Küçükken bayramdan bayrama, büyüdükten sonraysa sadece düğünlerde görülen uzak akrabayla ilgili en sevdiğim şeydir miras. Milli piyango, sayısal loto ve benzeri oyunlarda şansım yaver gitmediği için ara sıra bana miras kaldığını hayal ederim. Moskova, Cannes, LA’de birer daire satın alıp dört ayda bir diğerine geçerim… Yargılamayın; hayal benim değil mi?!

Bir süre sonra hayal gücümde mirası nasıl harcayacağım konusu sıkıcı gelmeye başladı. Bu yüzden mirasın elde edilme süreciyle ilgili hayaller üretmeye başladım. Play station’da oyun oynarken bile oyunun seviyesini en zora ayarlıyoruz ki zevk alalım. O halde zor yoldan elde edilecek mirasın da zevki başka olur, değil mi?

Hayalimdeki miraslardan birinde avukat bey bana bir harita verir:

“Serkan bey, haritada işaretli olan yerde bir gömü var. Gömünün içinde 24 kg ağırlığında bir Osmanlı definesi bulacaksınız. Gömüye ulaşmak için 15 saat vaktiniz var. Kullanmanız için bir uçak ve uçuş ekibi havalimanında sizi bekliyor.

Yapmanız gereken tek şey pilotlara hangi rotayı izlemeleri gerektiğini söylemeniz. Eğer en kısa rotayı bulamazsanız miras en sevmediğiniz futbol takımına hibe edilecek.”

En Kısa Yol

Google maps sayesinde koordinatları çözdüm: Gömü Los Angeles(LAX) havalimanında. Tek yapmam gereken İstanbul Atatürk ile Los Angeles LAX arasındaki en kısa yolu bulmak.

Üç boyutta iki nokta arasındaki en kısa yol düz çizgidir. O halde harita üzerinde İstanbul ve Los Angeles’i birer nokta olarak düşünürsem, bu iki nokta arasında çizeceğim düz çizgi en kısa yol olacak. Hayalimdeki soruya bak, iki dakikada çözdüm.

Shortest Path between Two Points

Dünya’nın Şekli Ne Serkan?

Eğer Dünya düz olsaydı, şüphesiz tarihin en sıkıcı hayalini kurmuş sayılacaktım. Fakat Dünya’nın yuvarlak olduğunu uzun bir süredir biliyoruz. Ne? Düz Dünyacı mısınız? Lütfen terk edin bu siteyi!

Türk Hava Yolları’nın internet sitesinde İstanbul ile diğer şehirler arasında izlenilen yollar gösterilir. İstanbul ile Los Angeles arasındaki yol aşağıdaki gibidir:

Peki ama neden?

Çünkü Dünya veya bir top gibi yuvarlak şekle sahip şeylerin üzerinde bulunan iki nokta arasındaki en kısa mesafe her zaman bir eğri olacaktır. Bunu bir ip veya oyun hamuru ile deneyip kendiniz de görebilirsiniz.

O halde düz harita üzerinde en kısa yolu bulmak neredeyse imkansızdır. Klasik sorumuzu soralım: Neden?

Çünkü Dünya gibi yuvarlak şekilli nesneler tam olarak 3 boyuttan 2 boyuta  tam olarak indirgenemez. Bugün sahip olduğumuz bazı haritalar belli ölçüde doğru olsa da aslında hiç bir harita %100 doğru ölçeği vermez. Örneğin bir topun üzerinde üç nokta alalım ve bir üçgen çizelim. Bu üçgenin kenarları eğri olacaktır.

Bunu basit bir örnekle daha destekleyebiliriz. Bir portakal üzerine üçgen çizin ve üçgen şeklindeki kabuğu soyun. İlk olarak fark edeceğiniz şey portakalın üzerinde düz çizgiler çizilmesine rağmen üçgenin kenarlarının düz değil eğri olduğudur. İkinci ve en önemlisiyse bu kabuğun kenarları ne yaparsanız yapın hiç bir zaman tam olarak düz hale getirilemez. Bir kenarı masaya bastırdığınızda diğer kenarların havaya kalktığını görebilirsiniz.

Ancak, topoloji sayesinde bu üçgeninin kenarlarını düz çizgiler yapabiliriz. Oyun hamuruyla aynı şeyi denersek, kenarlarını uzatarak üçgeni düz hale getirebiliriz. Ama bu da gerçek ölçekten uzaklaştığımız anlamına gelir.

Sonraki Yazıda: Eratosthenes’in harika yöntemi.

M. Serkan Kalaycıoğlu