Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #1

Zamanı Bilmek

İnsanlar saati icat etmeden önce zamanı nasıl tutuyordu?

İlk akla gelen şey güneşin doğuş ve batışını ele almış olduklarıdır: Yani gün sayısı. Fakat özellikle tarım devriminden sonra yılın hangi zamanında havanın nasıl olduğunu bilme ihtiyacı gibi yeni ihtiyaçlar, insanları bir günden daha uzun süren döngü arayışına itti. Yine en yakın olay şey gökyüzündeydi: Ay’ın belli zamanlarda belli şekillere girdiğini fark eden insanlar bu döngünün 29 gün sürdüğünü hesaplamıştı.

Ayın-Evreleri-NelerdirNasıl-Oluşur

O halde 1 ay 29 gündü.

Üzerinde biraz düşünüldüğünde 29 sayısının farklı olduğu görülebilir. Örneğin 29’u tam sayı parçaları şeklinde yazmaya çalışalım:

1 tane 29. Bu tam sayıdır.

2 tane 14,5. Bu tam sayı değildir.

 

3 tane 9,666… Bu da tam sayı değil.

4, 5, 6, 7, … 28’e kadar olan sayılar 29’u tam sayı parçalarına ayıramaz.

IMG_6013

29’un içerisinde 29 tane 1 bulunur. O halde 29 sayısı sadece 1 ve 29 olarak parçalanabilir.

Bu tür sayılara “asal sayılar” denir. Bir diğer deyişle sadece kendisi ve 1’e kalansız bölünebilen sayılardır.

Bugün bir ay derken 30 günü düşünmemizin nedenlerinden biri 30’un 29’a göre çok daha kullanışlı bir sayı olmasıdır. Çünkü 30 asal bir sayı değildir. 2, 3, 5, 6(2*3), 10(2*5) ve 15(3*5)’e tam olarak bölünebilir.

Asal Sayılar ve Şifreleme

30’un bir başka özelliğiyse 2, 3 ve 5 sayılarının çarpımı olmasından gelir. Asal sayıların tanımı izlendiğinde bu üç sayının da asal olduğu görülebilir. O halde asal olmayan bir sayıyı o sayıdan küçük olan asalların çarpımı şeklinde yazabiliriz.

Hatta bunu bir adım ileri daha götürelim: Her sayının asal çarpanlar olarak sadece ama sadece bir tane gösterimi vardır. Ayrıca aynı asal çarpanlarla gösterilebilen farklı sayılar yoktur.

Sayılarda bulunan bu özellik günümüzde büyük bir öneme sahiptir. Diyelim ki internet bankacılığı şifresi belirleyeceğim. Banka şifre oluşturmam için sadece sayı kullanmama izin veriyor. Öyle bir sayı seçmek istiyorum ki, oluşturması ve hatırlaması çok kolay ama tahmin edilmesi çok zor olsun. İşte bu noktada bir sayının sadece bir tane asal çarpan gösterimi olması işime yarar.

Kapak Fonksiyonu: Basitçe bir sayıyı türlü işlemlerden geçirip başka bir sayıya çevirme işidir. Bu işlemleri yapmak kolaydır fakat işlemlerin tersi çok zor veya imkansızdır. Çevrimiçi bilgilerin korunmasında çok yararlı bir yöntem olan kapak fonksiyonu bunu asal sayıların gizemini kullanarak başarır.

Biri büyük (6 basamaklı mesela) iki farklı asal sayıyı alıp hesap makinesiyle çarpmam neredeyse birkaç saniyemi alır. Elde ettiğim sayı, yani şifrem, sadece seçtiğim iki asal sayının çarpımıyla bulunabilir.

IMG_6039
1115035’i yaratmak çok kolay: Asal sayı 223007 ile asal sayı 5’i çarp.

O halde banka hesabıma girmeye çalışan biri seçtiğim şifreye ulaşabilmek için kullandığım asal sayıları bilmek zorundadır ki bunu başarmak gerçekten çok uzun zaman alır.

Peki neden?

Çünkü halen günümüzde herhangi bir sayının asal olup olmadığını gösteren bir genel yöntem yoktur. Bu yüzden de bir bilgiyi gizlemek için asal sayıların çarpımını kullanmak çok etkili bir yöntemdir.

Şifreyi Çözün

Alfabe ve asal sayıların çarpımları birleştirilerek bir şifreleme sistemi kurdum. Bu sisteme göre alfabedeki her harf aşağıda gösterildiği gibi bir sayıya tekabül ediyor.

IMG_6009

Yöntem:

  • 1-20 arası iki asal sayıyı rastgele seçtim.
  • Bu sayıları çarptım.
  • Çıkan sonucu tüm harflere ekledim.
  • Örneğin çıkan sonuç 15 olursa A harfi 1+15=16 sayısına denk gelir. Alfabedeki 16. harf M olduğu için şifremin içinde yer alan M harfleri aslında A demektir.

O halde aşağıdaki şifrede hangi asal sayıların çarpımını kullandığımı ve şifrenin ne dediğini çözün:

HUP DFZF VTĞP Ş VTRR

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s