Ev Arkadaşı Güvercinler
Matematikte beni en çok, ilk bakışta bariz ve basit görünen gerçeklerin onlarca hatta yüzlerce farklı uygulaması olduğunu görmek mutlu ediyor. Bir diğer ismi Dirichlet’in kutusu olan güvercin deliği ilkesi de bu bariz ve basit gerçeklerden biridir.
Dirichlet’in Kutusu: Alman matematikçi Lejeune Dirichlet’in ilk olarak 1834 yılında bahsettiği bu ilkeye göre eğer n tane kutuya n’den fazla cisim yerleştirilmek istenirse, bu kutulardan en az bir tanesinde birden fazla cisim olur.
Türkiye’nin bir çok kentinde güvercin besleyen insanlara rastlanır. Mardin, bu kentlerin başında gelir. Buranın takla atan güvercinleri meşhurdur.
Diyelim ki Mardin’de güvercinleri için küçük evler tasarlamış olan bir kişiyle tanıştınız. Fakat adamın yaptığı ev sayısının beslediği güvercin sayısından az olduğunu fark ettiniz. Bu durumda küçük güvercin evlerinden en az bir tanesinde birden fazla güvercinin kalması gerektiği sonucu ortaya çıkar. Yani en az bir güvercin çifti ev arkadaşıdır.
Örneğin 10 tane güvercin evinde kalan 11 güvercin olsa. Sırayla güvercinleri evlere yerleştirirseniz evler dolduğunda bir güvercin boşta kalmış olur.
İlk 10 güvercin evlere girince, 11. dışarıda kalır ve dolu evlerden birine girmek durumda kalır. Tabi ki güvercinlerin hangi sırayla evlere girdiği önemsizdir.
İşte bu güvercini herhangi bir eve sokarsanız, o evde iki güvercin olmuş olur. Dirichlet’in bahsettiği ilke işte tam olarak bunu açıklar.
Oyun
Şu an kalabalık bir yerde misiniz? Değilseniz hemen bir Starbucks’a gidin. Kahveniz benden, IBAN atın yeter.
Etrafınıza bakın: Bulunduğunuz yerde en az 2 kişi aynı sayıda insan tanıyordur.
Kurallar
- Bulunduğunuz yerde 2 kişiden fazla insan olmalı.
- Birini tanımak ancak karşılıklıysa geçerlidir. Yani bulunduğunuz yerde Sean Connery varsa, tanışık olmanız için Sean Connery’nin de sizi tanıyor olması gerekir.
- Bir insan kendini tanımalı. Ama bu oyunda kendini tanımak diye bir şey yok.
Örnek: 5 kişilik bir grup.
Böyle bir toplulukta bir kişi en fazla 4 kişiyi tanıyabilir. (Kendisi dışında kalan herkesi) En az olarak ise 0 (sıfır) kişiyi tanıyabilir. Yani gruptaki kişilerden her biri 0, 1, 2, 3 ve 4 kişi tanıma şansına sahiptir.
Fakat bu grupta bir kişi 0 (sıfır) insanı tanıyorsa, aynı grupta 4 kişiyi tanıyan biri olamaz demektir.
O halde bu 5 kişilik grupta insan tanıma sayıları ya 1, 2, 3, 4 olur ya da 0, 1, 2, 3 olur. Aynı grupta hem 4 kişiyi tanıyan hem de 0 kişiyi tanıyan olamaz.
İşte bu yüzden gruptaki 5 kişiye bu iki dört sayılık gruptan biri dağıtılmalıdır. Güvercinleri görebiliyorsunuz değil mi?
a. Kişi tanıma sayıları 1, 2, 3, 4 olursa:
İlk dört kişiye sırasıyla 1, 2, 3 ve 4 sayıları verilir. Beşinci kişi boşta kalmıştır. Bu sayılardan birini almak zorundadır. Hangi sayıyı alırsa alsın grupta tam olarak iki kişi aynı sayıya sahip olmuş olur.
b. Kişi tanıma sayıları 0, 1, 2, 3 olursa:
Yine ilk dört kişiye sırasıyla 0, 1, 2 ve 3 sayıları verilir. Boşta kalan beşinci kişiye mecburen bu sayılardan biri gelir. Böylece grupta aynı sayıya sahip iki kişi olur.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
5×5 boyutlarında bir dama tahtası düşünün. Tahtada bulunan her bir küçük karenin içinde çikolata bulunsun. Her çikolata ancak kendisine komşu olan kareye gidebilir. (İki karenin komşu olması için en az bir kenarları ortak olmalıdır.)
Çikolatalar ancak oklarla gösterildiği şekilde yer değiştirebilir.
Diyelim ki tahtadaki tüm çikolataların yerini değiştirdik. Bu işlem sonunda ilk durumdaki gibi her bir karede tam olarak bir tane çikolata olur mu?
M. Serkan Kalaycıoğlu
kmatematikatolyesi.com 