Matematik Atölyesi – Sosyal Durumlar #1

Haylaz Öğrenciler

Matematik sınavı ertesi gün yapılacak. En yakın arkadaşınızla berabersiniz ve önünüzde iki seçenek var: Ders çalışmak veya konsol oyunu oynamak. Kararı hızlı verip altı saat boyunca Fifa oynadınız. Verdiğiniz kararın sonucunda sınavdan neredeyse boş kağıt vererek çıktınız. Fakat sınavdan önce bir plan yapmıştınız: Soruları öğrenip aynı günün akşamına cevapları kağıda geçirmek ve sonraki gün içerisinde sınav kağıtlarını değiştirmek.

Sınavdan sonraki sabah öğretmenler odasının bulunduğu kattaki tuvalette saklanıp herkesin derse girmesini beklediniz. Ders zili çalıp tüm koridorlar boşaldıktan sonra sınav kağıtlarını değiştirmeyi başardınız fakat sevincinizi yaşarken okul müdürüne denk geldiniz.

Müdür, iki öğrencinin ders saatinde öğretmenler odasının bulunduğu katta ne aradığını düşünmüştü: “Bu çocuklar öğretmenler odasına girip orada bir iş karıştırmış olmalı.”

Müdürün elinde herhangi destekleyici bir kanıt yoktu. Fakat sizi ayrı odalara gönderip tek tek sorgulamayı akıl etmişti. Her halükarda ders kırdığınız için birer gün ceza yiyecektiniz. Ama sınav kağıdını değiştirmenin çok daha büyük cezası olduğunu biliyordunuz.

Tek başınıza oturmuş bunları düşünürken müdür bulunduğunuz odaya geldi. Arkadaşınızın her şeyi itiraf ettiğini ve sizin de yaptığınızı itiraf etmeniz gerektiğini, aksi takdirde daha büyük bir ceza alacağınızı söyledi.

Acaba müdür haklı mı? Arkadaşınız gerçekten sizi satmış olabilir mi?

Ne yapmanız gerekiyor? İtiraf mı edeceksiniz? Yoksa inkar mı?

Tutsak İkilemi

Bu hikaye aslında matematiğin önemli bir alt branşı olan oyun teorisini açıklayan tutsak ikilemi isimli oyunun bir parçasıdır. Tutsak ikilemi en basit haliyle şöyle özetlenebilir: Daha az ceza yemek için arkadaşını satıp sadece kendinizi mi düşünürsünüz? Yoksa hem kendiniz hem de arkadaşınız için en iyi seçimi mi yaparsınız?

Oyun teorisinde işbirlikçi oyunlarda önemli olan şudur: Herkesin kaderi ortak verilecek olan kararlara bağlıyken bencil olup sadece kendi iyiliğiniz yönünde mi yoksa herkesin iyiliği yönünde mi karar verirdiniz?

Ceza Matrisi

• Tüm oyuncuları listeleyin.
• Her oyuncu için alternatif seçimleri belirtin. Bu seçimlere strateji de denir.
• Eğer iki oyuncu varsa birinci oyuncunun seçimleri matrisin satırlarına, ikinci oyuncunun seçimleriyle sütunlarına yazılır.
• Matriste bulunan sayı ikilileri sırasıyla birinci ve ikinci oyuncunun o matris tercihinde alacağı sonucu gösterir.

Haylazlar için tüm matris aşağıdaki gibidir:

İhtimaller

Eğer ilk oyuncu arkadaşını satmayı tercih ederse ya 10 gün ceza yer ya da serbest kalır.

Bu durumda ikinci oyuncunun seçeneği satmak olursa oyuncular 10’ar gün ceza alacakken, sadık kalması durumunda birinci oyuncu ceza almaz. İkinci oyuncuysa 15 gün ceza alır.

Eğer ilk oyuncu arkadaşını satmamayı tercih ederse 15 ya da 1 gün uzaklaştırma alır.

Bu durumda ikinci oyuncu arkadaşını satarsa serbest kalır, ilk oyuncu 15 gün uzaklaştırma alır. Eğer ikinci oyuncu da arkadaşına sadık kalırsa her iki oyuncu 1’er gün uzaklaştırma almış olur.

Bu noktada durun ve düşünün: Aynı durumda kalsaydınız neyi seçerdiniz?

Bencil

Oyuncular için en iyi senaryo ikisinin de birer gün ceza almasıdır. Bu da ancak her iki oyuncunun da birbirine sadık kalmasıyla gerçekleşir. Fakat burada dikkate alınması gereken bir şey daha var: En kötü senaryo.

Oyundaki en kötü senaryo oyunculardan birinin arkadaşına sadık olduğu, diğerininse olmadığı durumdur. Bu tercihler sonucunda arkadaşını satmayan oyuncu 15 gün ceza alır ki tüm oyundaki en ağır ceza budur. Arkadaşını satan ise ceza almadan kurtulur.

Eğer oyuncular bencilse, her ikisi de serbest kalacağı seçeneği tercih eder. Bu da arkadaşını satmak anlamına gelir. Fakat her iki oyuncu da birbirini satarsa 10’ar gün ceza alırlar.

Eğer oyuncular “birimiz hepimiz, hepimiz birimiz için” düşüncesine sahip olursa her ikisi için en ideal durumu tercih ederler. Böylece 1’er gün ceza ile kurtulurlar. Bunun için iki oyuncunun da arkadaşını satmaması gerekir.

Nash Dengesi: Bir oyunda tüm oyuncuların hareketleri karşılaştırıldığında ortaya çıkan optimum sonuçtur. Nash dengesinde herkes kazanır çünkü herkes istediği sonucu almıştır. Bir oyunda Nash dengesinin olup olmadığını anlamak için her oyuncuya diğerlerinin hangi seçimi yaptığı açıklanır. Eğer buna rağmen yapılan oyuncuların seçimleri değişmiyorsa, burada Nash dengesi vardır.

Oyun teorisinin en önemli özelliklerinden biri olan Nash dengesi ismini ünlü matematikçi John Nash’den alır. (Akıl Oyunları filmini izlemiş olanlarınız bu isme aşinadır.) Nash’in düşüncesine göre tutsak ikileminde denge her iki oyuncunun da sadece kendini düşünüp diğerini satmasıdır.

Peki ama neden?

Sadakat

Öğrencilerin birbirine sadık olduğunu ve sonuçta 1’er gün ceza aldıklarını varsayalım. Eğer her öğrenciye diğerinin seçimini söylersek, ne yaparlardı?

İlk öğrenciye ikinci öğrencinin sadık olduğunu söyleseydik seçimini değiştirip arkadaşını satardı. Çünkü bu seçim sayesinde ceza almadan kurtulabilirdi.

İkinci öğrenci için de aynı şeyi yapardı!

O halde öğrenciler sadık olduklarını bildiklerinde seçimlerini değiştirir ve birbirini satardı. Sonuç: 10’ar gün ceza.

İhanet

Öğrencilerin birbirini sattığını ve sonuçta 10’ar gün ceza aldıklarını varsayalım. Eğer her öğrenciye diğerinin seçimini söylersek, ne yaparlardı?

İlk öğrenciye ikinci öğrencinin ihanet ettiğini söyleseydik, ilk öğrenci seçimini değiştirmezdi. Çünkü değiştirdiği takdirde 10 yerine 15 gün ceza alırdı.

İkinci öğrenci için de aynı şey geçerlidir!

O halde öğrenciler birbirlerine ihanet ettiklerini bildikleri durumda seçimlerini değiştirmezdi. Sonuç aynı kalırdı: 10’ar gün ceza.

Her iki durumda da sonuç birbirini satmak olduğuna göre, bu Nash dengesidir.

Bu çok ilginç bir sonuç. Çünkü oyuncular için en iyi ihtimal sadık kalıp sadece 1 gün ceza almak olmasına rağmen Nash dengesi her oyuncu için en doğru seçeneğin arkadaşını satmak olduğunu, yani 10 gün cezayı seçer. Bu durum oyunculardan birinin diğerinin neyi seçtiğini bilmediği her oyunda geçerlidir.

M. Serkan Kalaycıoğlu