Matematik Atölyesi – Geometri #10&11

Soru: Kaç tane düzgün çokgen vardır?

Öklid’in yöntemleriyle (yani sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak) nasıl eşkenar üçgen çizilebileceğini göstermiştim. Eşkenar üçgen tüm kenarları ve iç açıları eşit olan bir düzgün çokgendir. Hatta eşkenar üçgene en az kenarlı düzgün çokgen de denilebilir.

O halde buradan başlayalım: Üç kenarlı düzgün çokgen yapılabilir ki buna eşkenar üçgen denir. Kenar sayısını bir artıralım. Dört kenarlı düzgün çokgen, yani dört kenarı ve dört iç açısı da birbirinin aynısı olan şekil… Hmmm… Kare!

Beş kenarlı düzgün çokgen: Beşgen.

Altı kenarlı düzgün çokgen: Altıgen.

regular-polygons-6-638-e1544543687840.jpg
Düzgün çokgenlerin bir kısmı.

Elli kenarlı düzgün çokgen: Elligen. (Pentacontagon diye bilinir.)

Düzgün çokgenlerin kenar sayısının limiti yoktur. Fakat belli bir kenar sayısından sonra kenar uzunlukları o kadar küçük olur ki çokgeni çemberden ayırt etmek neredeyse imkansızlaşır.

50-gen (solda) ve 50-gen ile 200-gen’in karşılaştırılması (sağda).

Düzgün çokgenler iki boyutlu geometride var olan şekillerdir. Peki olayı üç boyuta taşırsak ne olur?

Soru: Kaç tane farklı düzgün katı cisim vardır?

Üç boyutlu olan düzgün katı cisimlerin iki belirgin özelliği vardır: Tüm yüzleri düzgün çokgenlerden oluşur ve her köşesi eşit sayıda düzgün çokgene bağlıdır.

Cevabı hemen verelim: Tamı tamına beş farklı düzgün katı cisim vardır. Ne bir fazla, ne de bir az.

Düzgün çokgen sayısı sonsuz taneyken düzgün katıların sayısının sadece beş tane olması ilk başta inanılmaz gibi gelir. Bunu ispatlamadan önce düzgün katılardan biraz bahsetmem gerekir.

Geniş Omuzlunun Okulu

Milattan önce 427’de Atina’da dünyaya gelen Aristocles geniş omuzlara sahip olduğu için Yunanca’da geniş anlamına gelen “Platon” lakabını almıştı. (Bu iddia C.J. Rowe’un 1984’de yazdığı kitapta geçer.)

plato
Platon (MÖ 427-MÖ 347)

Çoğu kişi matematikle herhangi bir ilişkisi olduğunu düşünmese de Platon matematiğe çok önemli katkılarda bulunmuştu. Özellikle ispat, açıklama ve hipotezlerin en açık şekilde yazılması gerektiğinde ısrar etmesi matematiğin gelişimi için hayatiydi. Platon’un sadece matematik değil tüm bilim dalları için yaptığı en büyük iş ise kurucusu olduğu okuldu.

Milattan önce 387’de Atina’da bir okul kurmak isteyen Platon arazisini bulmuştu. Okulun inşa edildiği arsanın sahibi Academas olduğu için okulun ismi “Akademi” olarak kaldı. 900 yıl boyunca en önemli bilim insanları hayatlarının bir kısmını Platon’un Akademisinde geçirmişti. (Bir karşılaştırma yapalım: Avrupa’daki en eski üniversite olarak bilinen Bologna Üniversitesi Platon’un Akademi’sinden yaklaşık 1400 yıl sonra kurulmuştu.)

geometri-bilmeyen-giremez
Akademi’nin girişinde asılı olan yazı: “Geometri Bilmeyen Giremez”

Platonik Cisimler

Düzgün katı cisimlere Platonik cisimler de denir, çünkü onların sadece beş adet olduğunu kağıda döken ilk kişinin Platon olduğuna inanılır.

  1. Dört Yüzlü – Tetrahedron: Dört tane eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  2. Altı Yüzlü – Küp: Altı adet karenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  3. Sekiz Yüzlü – Octahedron: Sekiz adet eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  4. On iki Yüzlü – Dodecahedron: On iki adet beşgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  5. Yirmi Yüzlü – Icosahedron: Yirmi adet eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
platonic_solids
Platonik Cisimler

Neden Sadece Beş Adet?

Düzgün katı cisimlerin bazı özellikleri var ki bu özellikler neden beş tane düzgün katı olduğunu hem açıklar hem de ispatlar.

Düzgün katı cisimler üç boyutlu olduğu için bir köşesinde en az üç tane yüz (yani en az üç tane düzgün çokgen) olmalıdır. Gelin en az sayıda yüzü olan düzgün katı cisim olan dört yüzlüyü inceleyelim.

Dört yüzlü düzgün katı cismin herhangi bir köşesinde hep üç tane eşkenar üçgen bulunur. (Bunu bir noktanın etrafına çizilmiş üç eşkenar üçgen gibi düşünebilirsiniz.) Bu üçgenleri iki boyuta indirgediğimizde karşımıza şu şekil çıkar:

IMG_6348

Eşkenar üçgenlerin buluştuğu noktanın etrafının 360 derece olduğunu biliyoruz. Eşkenar üçgende bir iç açı da 60 derecedir. O halde noktanın etrafında

360 – (60+60+60) = 180

derecelik boşluk vardır. Bu boşluk sayesinde kağıt kıvrılıp düzgün katı cisim oluşturulabilir.

Eğer 360 derece ve üstü tam olarak kaplanmış ise, kıvrılmak için yer olmayacağı için şekil iki boyutlu kağıt üzerinde kalır.

O halde düzgün katı cisim yapmak için gerekenleri bulmuş olduk:

  • Bir kağıdın üzerine nokta koy.
  • Noktaya bağlı olacak şekilde üç tane düzgün çokgen çiz.
  • Eğer düzgün çokgenler 360 dereceyi tamamlamadıysa şekil üç boyuta çevrilebilir. Böylece düzgün katı cisim elde edilmiş olur.
  • Kalan kısma aynı çokgenden eklenmeye 360 dereceye ulaşılana dek devam edilir.
  • Eğer düzgün çokgenler 360 derece ve üzerinde yer kaplıyorsa şekil üç boyuta çevrilemez demektir. Bu durumda çizilen çokgenlerden düzgün katı cisim yapılamaz sonucuna varılır.

Örnek 1: Dört Yüzlü

Nokta koyulur ve noktanın ortak olduğu üç adet eşkenar üçgen çizilir. Bu eşkenar üçgenlerin iç açıları toplamı 360’dan küçük olduğu için katlanıp düzgün katı cisim oluşturabilirler: Dört yüzlü.

Örnek 2: Dört Yüzlü + 1 Eşkenar Üçgen

Eğer dört yüzlüyü oluşturan eşkenar üçgenlere bir yenisi daha eklenirse seçtiğimiz nokta üzerinde iç açıların toplamı 240 derece olur ki bu 360’dan küçüktür. Üçgenlerle aşağıdaki gibi sekiz yüzlünün üst kısmı yapılabilir.

Örnek 3: Dört Yüzlü + 2 Eşkenar Üçgen

Bu sefer eşkenar üçgen sayısını beşe çıkaralım. Nokta üzerindeki iç açıların toplamı 300 yapar ki bu da 360 derecenin altındadır. O halde bu beş üçgenle bir Platonik cisim yapılabilir. (On iki yüzlü)

Örnek 4: Dört Yüzlü + 3 Eşkenar Üçgen

Eşkenar üçgen sayısı altı olunca iç açıların toplamı 360 derece yapar. Bu da elimizdekilerle Platonik bir cismin oluşturulamayacağı anlamına gelir.

Örnek 5: Küp ve Küp + 1 Kare

Küp şeklinde herhangi bir köşeye üç adet kare bağlıdır. Bu köşe ve kare aşağıdaki gibi iki boyuta indirgenebilir:

Noktanın etrafında üç karenin iç açısı kullanılmıştır: 90*3=270 derece. Eğer şekle bir kare daha eklenirse noktanın etrafında 270+90=360 derecelik alan dolmuş olur. Bu, dört kare ile bir düzgün katı cisim yapılamaz demektir.

Örnek 6: On iki yüzlü + 1 Düzgün beşgen

Düzgün beşgenlerden oluşan on iki yüzlünün bir köşesine bağlı olan üç tane düzgün beşgen vardır. Yani bir noktanın etrafında bir iç açısı 108 derece olan beşgenden üç tane var: 108*3=324 derece, 360 dereceden az olduğu için bu düzgün katı cisim oluşturulabiliyor.

Noktanın etrafına dördüncü bir düzgün beşgen eklendiğinde, beşgenler birbirinin üzerine biner. Bu şekilden bir düzgün katı cisim oluşturulması mümkün değildir.

IMG_6366

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Düzgün altıgenlerle bir düzgün katı cisim yapılabilir mi? Nedeninizi belirtin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s