Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #3

Vaşak – Kar Ayakkabılı Tavşan Savaşı

Kuzey Amerika’da vaşakların temel besin kaynağı bu coğrafyaya özgü olan kar ayakkabılı tavşanlardır. İki yaşam türü arasında av-avcı ilişkisi varsa, o türlerin nüfusları arasında bir ilişki bulunur. Örneğin bir bölgede vaşak sayısı fazla ise vaşakların temel besin kaynağı oldukları için o bölgede kar ayakkabılı tavşan sayısının da (en azından bir zamanlar) fazla olması gerekir. Eğer aynı bölgede vaşak sayısı azalıyorsa bunun nedenlerinden birini bölgede bulunan kar ayakkabılı tavşan sayısının azlığına bağlamak mantıklıdır.

Vaşak ve kar ayakkabılı tavşan nüfusları arasında direk bir ilişki olup olmadığını araştıran bilim insanları harikulade sonuçlarla karşılaşmıştı:

  • Vaşak nüfusunun en yüksek olduğu durumda kar ayakkabılı tavşan nüfusu dibi görür.
  • Zamanla besin kaynağı azalan vaşak nüfusu da düşmeye başlar.
  • Vaşak nüfusunun azalması kar ayakkabılı tavşanların çoğalmasına yol açar.
  • Kar ayakkabılı tavşan nüfusu zirve noktasına ulaşıncaya dek artarken, vaşak nüfusu en düşük seviyesine dek ilerler.
  • Artık yeterince tavşan bulabilen vaşak nüfusu tekrar artmaya başladığında kar ayakkabılı tavşan nüfusu da azalma eğilimine geçer.
Figure_45_06_01
1845-1935 yılları arasında kar ayakkabılı tavşan (kırmızı) ve vaşak (mavi) nüfusu.

Bu bir döngüdür. Bilim insanlarının vardığı sonuca göre vaşak ve kar ayakkabılı tavşan sayılarının döngüsü 8 ile 11 yıl arasındadır. Bu ve benzeri döngüler çevrebilimin hala çözemediği sırlarla doludur. Av-avcı ilişkisinin yanı sıra çevrenin (sıcaklık, diğer yırtıcı hayvanlar vb.) etkisi olduğu bilinse de vaşak ve kar ayakkabılı tavşan döngülerinin neden tam olarak bu zaman aralığında gerçekleştiği sorusu henüz kesinkes cevaplanmış değil.

Periyodik Canlılar

Nüfusta yaşanan döngüler canlı türlerinin varlıklarını sürdürmeleri için çok önemlidir. Örneğin kimi canlı türleri fiziksel dezavantajlarını ortadan kaldırmak için evrilmiştir. Sadece belirli zaman aralıklarında ortaya çıkıp yeni yavrular üretirler. Yani periyodik şekilde avcılarıyla karşı karşıya gelirler. Gelin bu tür canlılara periyodik canlılar diyelim.

Diyelim ki A canlısı her 10 yılda bir çiftleşmek için ortaya çıkıyor olsun.

Soru: A’nın avcılarından olan periyodik B canlısı kaç yılda bir ortaya çıkarsa A’ya denk gelir?

A her 10 yılda bir ortaya çıkıyorsa, avcı 10’u kalansız bölen bir sayı kadar döngüye sahip olduğunda A ile aynı döneme denk gelir.

10 sayısını kalansız bölen sayılar 1, 2, 5 ve 10’dur.

  • Eğer avcı 1 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/1 = 10) onuncu döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 2 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/2 = 5) beşinci döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 5 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/5 = 2) ikinci döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 10 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/10 = 1) ilk döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.

A için kötü haberler burada bitmiyor. Bir canlının A ile aynı zamana denk gelmesi için illa 10’a tam bölünmesi gerekmez. 10 ile ortak kata sahip olması da yeterlidir. Örneğin 6 ile 10 yıllık döngüler (6 ile 10’a bölünen en küçük sayı 30’dur) 30 senede bir aynı döneme denk gelir.

Sonuçta 10 yıl, av olan A canlısının varoluşu için en uygun döngü değildir.

Peki doğada periyodik diyebileceğimiz canlılardan bulmak mümkün müdür?

Ağustos Böceği

Ağustos böceklerinin kimi türlerinin 7, 13 ve 17 yılda bir toprak üstüne çıkıp çiftleştiği bilinir. Yani bu tür ağustos böcekleri periyodik canlılardır. Döngüleri ise 7, 13 ve 17 yıldır.

indir (10)

7, 13 ve 17 özel sayılardır. Çünkü asaldırlar. Sadece kendilerine ve 1’e tam bölünürler.

Ağustos böceğinin döngüsünün bu asal sayılara nasıl evrildiğini bilmiyoruz. Fakat bildiğimiz bir şey var ki o da asal sayı döngülerinin varlıklarına yaptığı katkıdır.

Örnek: Periyodik bir canlının besin kaynaklarından biri 13 yıl döngülü ağustos böcekleri olsun. Eğer bu canlının kendi döngüsü 5 yıl ise ağustos böceğiyle karşılaşması ancak (13*5 = 65) 65 yılda bir olur. 13 asal bir sayı olduğu için herhangi bir canlının ağustos böceğiyle karşılaşması için 13’ün katlarından biri kadar yaşaması gerekir.

M. Serkan Kalaycıoğlu