Matematik Atölyesi – Geometri #12

Cogito Ergo Sum*

*Düşünüyorum, öyleyse varım. Bu sözün sahibi olan Rene Descartes, birçoklarınca modern felsefenin kurucusu olarak gösterilir. Halbuki Descartes aynı zamanda devrim yaratıcı bir matematikçiydi.

Hikayenin doğruluğu ispatlanamamış olsa da Descartes’in matematik buluşlarının belki de en önemlisi şöyle ortaya çıkmıştı:

Küçüklüğü sürekli hastalıklarla geçen Descartes yatağından geç saatte çıkmayı bir alışkanlık haline getirmişti. Öyle ki hayatının son birkaç ayına dek öğlen vaktine kadar yatağında uzanıp derin düşüncelere dalardı. Yine bir sabah yatağında düşüncelere dalmışken bir yandan odasına giren bir sineği gözleriyle takip ediyordu. Bir an için tavanda duran sinek Descartes’in gözlerini açmıştı: “Acaba odada bulunmayan birine sineğin tavandaki yerini nasıl açıklayabilirim?”

Descartes için sorunun cevabı şuydu: Tavanın bir köşesini başlangıç noktası olarak kabul edilirse, tavanın enine ve boyuna belli mesafeler gidilerek sineğe ulaşılır.

İşte bu, kartezyen koordinat sisteminin ilk ortaya çıkış hikayesidir.

Descartes’in buluşunu yayımlaması ile analitik geometri ismi verilen yeni bir geometri alanı ortaya çıkmış oldu.

Analitik geometri = Kartezyen geometri = Koordinat geometrisi

Kartezyen Koordinat Sistemi

Descartes’in tavanının sol alt köşesi başlangıç olsun. Tavanın başlangıç noktasından iki yöne doğru gidilebilir: Yukarı veya sağa.

Descartes’e göre tavanın herhangi bir yerinde bulunan nokta veya cisme iki adımda ulaşılabilir: X kadar sağa, Y kadar yukarı şeklinde.

O halde noktanın (veya cismin) pozisyonu iki ayrı sayıyla ifade edilebilir. Bunu gösterirken parantez içinde önce sağa sonra yukarı ne kadar gidildiği yazılır.

Örnek: Birim santimetre, sineğin bulunduğu yer ise şekildeki gibi olsun.

Sineğe ulaşmak için sağa 4 cm, yukarı 3 cm gidilmesi gerekiyorsa, sinek (4,3) konumunda bulunuyor denilir.

Hırsızı Yakala

Oyun için gerekenler:

• 6×6’lık bir kartezyen koordinat sistemi.
• Zar.
• Kağıt ve kalem.

İki kişilik bir oyun olan “hırsızı yakala”da oyuncular sırayla hırsız ve polis olur. Hırsızın görevi koordinat sisteminde saklanmak iken polisin göreviyse hırsızı en kısa sürede (yani en az tahminle) bulmaktır.

Hırsız iki defa zar atarak yerini belirler: (İlk zar, İkinci zar).

Polis ilk tahminini yapar. Eğer tahmin doğruysa sorun yok. Turnayı gözünden vurmuş oldunuz.

Eğer tahmin yanlışsa hırsız polise bir mesaj gönderir. Mesajda bir sayı yer alır. Bu sayı hırsızın konumuyla polisin konumlarını belirten sayı ikilileri arasındaki farkı belirtir.

Örneğin hırsız (2,2) konumundayken polis (4,1) tahminini yaparsa hırsız konumlar arasındaki farkları toplar. Konumlar arası farklar: 4-2=2 ve 2-1=1 olur. O halde örnekte hırsızın polise attığı mesajda 3 yazar.

Polis ikinci tahminini bu sayıyı göz önünde bulundurarak yapar ve bu döngü polis hırsızı yakalayana dek sürdürülür.

Örnek

Hırsız zarları atar. İlkinde 3, ikincisinde 4 gelmiştir. O halde hırsızın konumu (3,4) noktasıdır.

Polis ilk tahminini (2,2) diye yapar ve ıskalar.

Konumlar arası farklar 3 – 2 = 1, 4 – 2 = 2’dir. Bu yüzden hırsız polise 3 mesajını gönderir.

Polis zor bir durumdadır çünkü 3 cevabı içerisinde çok fazla ihtimal bulunduran bir cevaptır.

İhtimal 1: Polis x’e 3 ekler. Tahmin: (5,2).

İhtimal 2: Polis x’e 2, y’ye 1 ekler. Tahmin: (4,3).

İhtimal 3: Polis x’e 1, y’ye 2 ekler. Tahmin: (3,4).

İhtimal 4: Polis y’ye 3 ekler. Tahmin: (2,5).

İhtimal 5: Polis x’den 2, y’den 1 çıkarır. Tahmin: (0,1).

İhtimal 6: Polis x’den 1, y’den 2 çıkarır. Tahmin: (1,0).

İhtimal 7: Polis x’den 2 çıkarır, y’ye 1 ekler. Tahmin: (0,3).

İhtimal 8: Polis x’den 1 çıkarır, y’ye 2 ekler. Tahmin: (1,4).

İhtimal 9: Polis x’e 2 ekler, y’den 1 çıkarır. Tahmin: (4,1).

İhtimal 10: Polis x’e 1 ekler, y’den 2 çıkarır. Tahmin: (3,0).

Polis ikinci hamlesinden itibaren aynı stratejiyi kullanarak hırsızı yakalamaya çalışır.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

1. Eğer polis onuncu ihtimali seçerse bir sonraki hamlesini kaç tane ihtimal arasından yapar?
2. Ben hırsızım, siz de polis. İlk tahmininiz (3,3), size gönderdiğim mesaj 2 olsun. Nerede saklanıyorum? Yorumlara cevabınızı yazabilirsiniz.