Matematik Atölyesi – Şans #3

Aklından Bir Sayı Tut

1’den 10’a kadar bir sayı düşünüyorum. (6)

Göreviniz düşündüğüm sayı olan 6’yı bilmek.

Tek sayı söyleme hakkınız var. O halde 6’yı bilme ihtimaliniz 10’da 1 olur. Bir diğer deyişle %10.

Gelin olaya tersten bakalım: Tek tahmin hakkınız varken %90 ihtimalle doğru cevabı bilemezsiniz. Ya da 10’da 9 ihtimalle.

Soru: 5 kişilik bir grupta herkesten önündeki kağıda 1-10 arasında bir sayı yazmasını istiyoruz. Bu grupta herkesin farklı bir sayıyı söylemiş olma ihtimali kaçta kaçtır?

İlk aklınıza gelecek cevap %50 oldu, değil mi? Çünkü 10 sayı içinden 5 tanesi %50’yi ifade eder. Fakat olasılık teorisinde bazen her şey görüldüğü gibi değildir.

İki kişinin 1-10 arasında farklı sayılar seçme ihtimalinin %90 olduğunu söylemiştim. Peki üç kişi için durum nedir?

İlk kişinin 10 sayıda 10 seçim şansı vardır: 10/10.

İkinci kişinin 10 sayıda 9 seçim şansı vardır ki ilk kişiyle aynı sayıyı seçmesin: 9/10.

Üçüncü kişininse 10 sayıda 8 seçim şansı vardır: 8/10.

Bu üçünün aynı anda gerçekleşmesi, hepsinin çarpımı demektir: (10/10)*(9/10)*(8/10) = 0,72. Yani %72 ihtimalle bu üç kişi farklı sayıları seçer.

Dört kişi olunca ihtimal (10/10)*(9/10)*(8/10)*(7/10) = 0,504 olur. Yani dört kişinin 1-10 arasında birbirinden farklı sayılar seçme ihtimali %50,4’tür.

Beş kişi için ihtimal ise (10/10)*(9/10)*(8/10)*(7/10)*(6/10) = 0,3024 olur. Yani beş kişinin 1-10 arasında birbirinden farklı sayı seçme ihtimali %30’un biraz üzerindedir.

Sanıldığı gibi %50’den çok daha düşük bir oran bu.

Doğum Günü Paradoksu

Yeni biriyle tanıştığınızda konuştuğunuz ilk şeylerden biri hangi gün doğmuş olduğunuzdur. Eğer ortamda en az bir dişi varsa buna burçlar da dahil edilebilir. Peki şu ana dek hiç aynı gün doğduğunuz biriyle tanıştınız mı?

Bunun çok düşük bir ihtimal olduğunu düşündüğümüz için bu sorunun üzerinde pek durmayız. Çünkü bir seneyi 365 gün olarak düşünürsek (29 Şubat doğumlular lütfen kusura bakmasın) bu ihtimal 365’de 1’dir. Bu da yüzde olarak %0,27’ye denk gelir. (1’i 365’e bölerek bu sonuca ulaşabilirsiniz.)

Soru: En az kaç kişilik bir toplulukta iki veya daha fazla kişinin aynı doğum gününü paylaşması ihtimali %50’den fazla olur?

Tıpkı akıldan sayı tutma oyununda olduğu gibi akla ilk gelen cevap 365’in yarısıdır. Fakat doğru cevap sadece ama sadece 23’tür.

İki kişi için aynı doğum gününe sahip olma ihtimali %0,27 idi. Yine ihtimale tersten bakalım: İki kişinin aynı doğum gününe sahip olmama ihtimali (365/365)*(364/365) = 0,9972… olur.

üççarpÜç kişi için bu ihtimal yukarıdaki gibidir. Bu, %99,18’e tekamül eder. Yani hala çok büyük bir ihtimalle aynı doğum gününe sahip olan yoktur.

dörtçarpDört kişi için ihtimal yine yukarıdaki gibidir. Bu, %98,4’e tekamül eder. Olasılık hala çok düşük.

onçarpBiraz hızlanalım ve on kişi için ihtimale bakalım: %88,3’e kadar geldik. Olasılık biraz düzelse de hala çok düşük.

23çarp
23 kişi için olasılığı hesaplayınca cevap yukarıdaki gibi çıkıyor. Bu, %49,3 ihtimalle aynı doğum gününe sahip iki kişinin bulunmadığı anlamına gelir.

Yani 23 kişilik bir grupta aynı doğum gününe sahip en az iki kişi bulma ihtimalimiz %50,7’dir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aynı işleme devam ederseniz en az kaç kişilik grupta %99 ihtimalle aynı doğum gününe sahip en az iki kişi bulunur?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s