Evine Dönen Sarhoş
Muhasebeci Ali bir haftayı daha bitirmişti. Genelde hafta sonlarını sakin geçiren Ali bu cuma akşamında mezun olduğundan beri görmediği üniversite arkadaşlarıyla buluşacaktı. Neredeyse sabaha dek eskiyi yad eden grup muhabbeti bol alkolle karıştırmış, alkole pek dayanıklı olmayan Ali gecenin sonunda körkütük sarhoş olmuştu.
Buluştukları yer Ali’nin evine yürüme mesafesindeydi. Zaten bu yüzden kendini tutmadan içen Ali, her halükarda evini bulabileceğini düşünüyordu.
Fakat Ali gözünün önünü göremeyecek durumdaydı. Bu yüzden evine dönerken rastgele bir yol izliyordu.
“Bu sokak tanıdık geliyor, ben burada yaşıyorum sanırsam.”
Soru: Bir sarhoş izlediği rastgele güzergaha rağmen evine ulaşabilir mi?
Bir Boyutta Rastgele Yürüyüş
Ali’nin problemine dönmeden önce bir boyutta rastgele yürüyüşten bahsetmem gerekir. Bir boyutlu bir yol küçüklüğümüzden aşina olduğumuz sayı doğrusunu ifade eder.
Sayı doğrusu üzerinde gidilebilecek iki yön vardır: Sağ ve sol.
Kurallar:
- Bir boyutta sağa doğru atılan 1 adım +1, sola doğru atılan bir adımsa -1 değerinde olsun.
- Sağ ve sol tercihi eşit olasılığa sahip olsun.
- Bu yüzden hem sağa hem de sola doğru bir adım atılması ihtimali 1/2 olur.
Bir sayı doğrusu çizip sıfırı başlangıç noktası kabul edelim. İlk adım ya sağa ya da sola atılır. Ya +1, ya da -1. İhtimaller ise 1/2’dir.
İkinci adım ilkine bağlı olacağı için biraz daha karmaşık olacaktır. İlk adım için sıfırdan +1’e ya da -1’e gidilebiliyordu. Yani iki ihtimal vardı. İkinci adımda ihtimal sayısı dörde çıkar:
+1 -> 0,
+1 -> +2,
-1 -> 0,
-1 -> -2.
Bunların hepsi eşit olasılıkta olduğu için dört ihtimal de 1/4 olur.
İkinci adımın:
+2’ye atılma ihtimali 1/4,
-2’ye atılma ihtimali 1/4,
0’a atılma ihtimali 1/4+1/4=2/4’tür.
Peki ya üçüncü adım?
Üçüncü adım +2, -2 ya da 0 noktalarından birinden başlanarak atılır:
- +2’deyse +3 veya +1’e adım atılabilir. +2’ye gelme olasılığı 1/4 idi. O zaman +3 ve +1 için ihtimaller bunun yarısı olur: 1/8’er.
- -2’deyse -3 veya -1’e adım atılabilir. -2’ye gelme olasılığı 1/4 idi. O zaman -3 ve -1 için ihtimaller bunun yarısı olur: 1/8’er.
- 0’daysa +1 veya -1’e adım atılabilir. 0’a gelme olasılığı 2/4 idi. O zaman +1 ve -1 için olasılıklar bunun yarısı olur: 2/8’er.
Üçüncü adım için ihtimaller:
+3: 1/8.
-3: 1/8.
-1: 1/8+2/8=3/8.
+1: 1/8+2/8=3/8.
Aynı yöntemleri kullanarak dördüncü ve beşinci adımlara ulaşınca aşağıdaki sonuçlar ortaya çıkar:
100 adım atıldıktan sonra durulan nokta ve onun olasılığı aşağıdaki gibidir:
Bir boyutta rastgele yürüyüşle ilgili aşağıdaki sonuçlara varabiliriz:
- Çift sayıda adım atıldığında çift sayıların, tek sayıda adım atıldığında ise tek sayıların üzerinde olunur.
- Adım sayısını arttırdıkça olasılığın 0 (sıfır), yani başlangıç noktasında en yüksek olduğu görülür.
- İkinci maddeden anlaşılacağı üzere ne kadar çok adım atılırsa başlangıç noktasına dönme ihtimali o kadar çok artar.
Bir Boyutta Rastgele Yürüyüş Oyunu
Eşit şanslarla iki ihtimalin olduğu akla gelen en basit örnek havaya para atmaktır. Para atarken ihtimaller sadece yazı ve tura iken her ikisinin de gelme ihtimali 1/2’dir.
O halde bir boyutta rastgele yürüyüşü yaparken yazı gelirse sağ, tura gelirse sol diyebilirim. Yani paranın yazı tarafı gelirse +1 adım, tura tarafı gelirse -1 adım atılmış olur.
- Parayı havaya 10 defa atın. Rastgele yürüyüşünüz nerede bitti?
- Aynı şeyi bu sefer 30 para atışıyla yapın. Sonuçların arasında nasıl bir fark gördünüz?
“Ali’ye ne oldu?” diye sorduğunuzu duyar gibiyim. Birazcık sabır lütfen. Cevaba emin adımlarla ilerleyeceğiz.
M. Serkan Kalaycıoğlu
kmatematikatolyesi.com 