Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #4

Neredeyim Ben?

Matematikçiler genelleme yapmaya bayılır. Bazen benim de hoşuma gitmemesine rağmen genel durumları kullanmak matematikte sihir yapmamıza olanak verir. Sihirden daha güzel bir şey var mı?!

Diyelim ki (genelleme geliyor) bir boyutta N tane rastgele adım attık. Düşük bir ihtimal olsa da N tane adımın hepsi sağa (veya sola) doğru atılabilir. Bu, başlangıç noktasının sağında +N noktasında (veya solunda -N noktasında) durduğumuz anlamına gelir. Yani başlangıç noktasına N adımda en fazla N kadar uzakta olunabilir.

Eğer N adımın yarısını sağa, diğer yarısını ise sola doğru atarsak tam olarak başlangıç noktasında dururuz. Bu da başlangıç noktasına en az 0 adım uzakta olabileceğimiz ihtimaldir.

IMG_6504

O halde N tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına 0 ile N birim kadar uzakta oluruz.

Soru: Bir boyutta belli sayıda rastgele adım attıktan sonra başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta olabileceğimizi adımları atmadan önce nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun cevabı N tane rastgele adım için N’in kare köküdür. Örneğin 100 rastgele adım sonrasında başlangıç noktasına √100 = +/- 10 adım uzaklıkta oluruz.

Nedenini öğrenmek için tıklayın.

Peki bu bilgiyi ne zaman ve nasıl kullanabiliriz?

Basketbol Takımının Sırası

Avrupa’nın en büyük basketbol organizasyonu olan Euroleague’de 16 takım sezona başlar. Lig usulü oynanan normal sezonda takımlar birbiriyle ikişer defa karşılaşır. Normal sezon sonunda ilk 8 sırada yer alan takımlar aralarında playoff oynar ve şampiyonu belirler.

yuro.jpg
23 Aralık 2018 itibariyle Euroleague puan tablosu.

Diyelim ki bu ligde orta sıraları hedefleyen bir takımın taraftarısınız. Yani takımınız playoff’a 8. sıradan da olsa kalmak istiyor. Sene başında maç takvimine bakıp takımınızın playoff mücadelesi verebilmesi için kaç galibiyet alması gerektiğini tahmin etmeye çalışıyorsunuz: “Barselona’yı evimizde yensek, Daçka’yı her iki maçta da yeneriz herhalde…”

Aslında bunu yapmaya mecbur değilsiniz. Gayet tabi ki takımınızın kaç maç kazanabileceğini matematikten yararlanarak tahmin edebilirsiniz.

Bir basketbol mücadelesinin iki tane sonucu vardır: Kazanmak veya kaybetmek. Her ne kadar takımların güçleri arasındaki fark olasılığı etkilese de bir basketbol maçında sadece iki ihtimal olduğu gerçeği değişmez.

Rastgele Yürüyüşle Benzerlikler

Bir boyutta rastgele yürüyüş yaparken sağ ve sol olmak üzere sadece iki olası sonuç vardı. Basketbol maçlarında da tıpkı bir boyutta rastgele yürüyüş gibi iki olası sonuç vardır.

Bir basketbol takımı normal sezonda 15×2 = 30 maç yapar. Bu, bir boyutta 30 tane rastgele adım atmakla aynı şeye tekabül eder.

O halde bu basketbol takımının 30 maç sonunda kazandığı maç sayısının kaybettiği maç sayısından farkı 30’un karekökü olur.

√30 = 5,47…

Biz buna 6 maç diyelim. Bu 6 maçın sonucu şansa bağlıdır. Takımınız hepsini kazanmış veya kaybetmiş olabilir. Bu, 30 maç sonunda takımınızın en iyi durumda kaybettiğinden 6 maç daha fazla maç kazanabileceği anlamına gelir. En kötü durumdaysa kazandığından 6 maç fazlasını kaybedebilir:

IMG_6506

Sonuç

Rastgele yürüyüşten elde ettiğimiz bilgi bize Euroleague’de 18 ile 12 arasında maç kazanan bir takımın playoff mücadelesi vereceğini söyler.

Önceki iki sezonun Euroleague sıralaması bu şekildeydi. Görüldüğü üzere 18 ile 12 galibiyet arasında kalmak ilk 8’e girmek için mücadele etmek anlamına geliyor.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir boyutta rastgele yürüyüşten öğrendiklerimizi 18 takımlı ligde mücadele eden bir futbol takımı için kullanmayı deneyin. Buradaki fark bir futbol müsabakasının üç ihtimalle bitecek olmasıdır.

Öğrendiklerinizi bu duruma nasıl uygulayabilirsiniz? Ortalama bir takım bu ligde kaç puan aralığında sezonu bitirmelidir?

Not: Sarhoş Ali’yi unutmadım. Cevaba yavaş yavaş ilerliyoruz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s