Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #4(Ekstra)

Soru: Bir boyutta belli sayıda rastgele adım attıktan sonra başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta olabileceğimizi adımları atmadan önce nasıl tahmin edebiliriz?

Diyelim ki bir boyutta N tane rastgele adım attık. Bu noktada adımlara kısa isimler vermem gerekiyor, yoksa hepsini tek tek yazmak hem karışıklık yaratır hem de beni boşa yormuş olur. Adım kelimesinin baş harfini ele alıyorum ve örneğin birinci adımı a₁ olarak tanımlıyorum. Bu durumda

ikinci adım: a₂,

üçüncü adım: a₃,

dördüncü adım: a₄,

…

N’inci adım: a_N

olur.

Her adımın iki olası değeri olduğundan bahsetmiştim: +1 veya -1. Ayrıca bu iki sayının gelme olasılığının da aynı ve ½ olduğunu söylemiştim. Elimdeki bilgiler ışığında herhangi bir rastgele adımın alabileceği ortalama değeri bulabilirim.

Bu değer sayıların olasılıkları aynı olduğu için aritmetik ortalama ile bulunur: Yani sayıları topla ve toplamı ikiye böl. a₁’in ortalama değerini <a₁> ile gösterirsek:

Böylece her adımın ortalama değeri 0 (sıfır) çıkar.

<a₁> = 0

<a₂> = 0

<a₃> = 0

…

<a_N> = 0

olur.

Tüm ortalama değerlerin toplamı rastgele N tane adım sonrası başlangıç noktasından ne kadar uzakta olduğumuzu gösterir. Başlangıç noktasına uzaklığı da u ile gösterelim. Yani;

u = <a₁> + <a₂> + <a₃> + … + <a_N> = 0 + 0 + 0 + … + 0 = 0.

Bulunan sonuca göre başlangıç noktası olarak 0’dan başlanıp N tane rastgele adım atıldığında başlangıca 0 (sıfır) uzaklıkta olmayı beklemeliyiz. Halbuki N tane adımın tamamı (örneğin) +1 olabilir. Öyle bir durumda cevap N adım uzaklık olur. Fakat matematik bize diyor ki N tane adımı birçok defa denerseniz sonuç eninde sonunda 0 (sıfır) olacaktır.

Daha Güzel Matematik Kullanalım

Sıfır sonucu ne sizi, ne beni ne de bunlarla uğraşan matematikçileri memnun etmez, çünkü bu sonuç tüm gerçeği yansıtmıyor. Evet, rastgele atılan N adım sonrasında başlangıç noktasına dönmemiz mümkün olsa da bunun tek sonuç olmadığını hepimizi biliyoruz.

Aslında sonuç olarak bir aralıkla karşılaşmak daha uygun olurdu. Bunu başarabilmek için matematiksel manipülasyonlara başvurmamız gerekir.

Biz bir adımın +1 veya -1 sonucunu alabileceğini biliyoruz. Peki her adımın karesini alsak, adımların karelerinin alabileceği tek sonuç +1 olmaz mı? Evet olur, çünkü +1’in de -1’in de karesi +1 yapar.

a₁² = 1

a₂² = 1

a₃² = 1

…

a_N² = 1

Başlangıç noktasına uzaklığa u demiştim. O zaman u’nun karesini alalım. Karşımıza uzun bir denklem çıkar:

u² = (<a₁²> + <a₂²> + <a₃²> + … + <a_N²>) + 2 (<a₁a₂> + <a₁a₃> + <a₁a₃> + … + <a₁a_N> + <a₂a₃> + … + <a₂a_N> + … )

Denklemin ilk kısmı N tane 1’in toplamı yapar: N.

Denklemin ikinci kısmında tüm çarpımlar birbirine eşittir. Bu sebeple çarpımlardan sadece birini hesaplamamız yeterlidir.

<a₁a₂> için a₁a₂ değerini hesaplayalım:

Resimde de görüldüğü üzere denklemin ikinci kısmı 0 (sıfır) toplamını verir. O halde başlangıç noktasına uzaklığın karesi

u² = N

olur. Burada her iki tarafın karekökü alınırsa Başlangıç noktası için iki değer ortaya çıkar: +√N ve -√N.

Bulduğumuz sonuca göre örneğin bir boyutta 100 tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına √100 = +/- 10 adım uzaklıkta olunur.

M. Serkan Kalaycıoğlu