Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #4(Ekstra)

Soru: Bir boyutta belli sayıda rastgele adım attıktan sonra başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta olabileceğimizi adımları atmadan önce nasıl tahmin edebiliriz?

Diyelim ki bir boyutta N tane rastgele adım attık. Bu noktada adımlara kısa isimler vermem gerekiyor, yoksa hepsini tek tek yazmak hem karışıklık yaratır hem de beni boşa yormuş olur. Adım kelimesinin baş harfini ele alıyorum ve örneğin birinci adımı a1 olarak tanımlıyorum. Bu durumda

ikinci adım: a2,

üçüncü adım: a3,

dördüncü adım: a4,

N’inci adım: aN

olur.

Her adımın iki olası değeri olduğundan bahsetmiştim: +1 veya -1. Ayrıca bu iki sayının gelme olasılığının da aynı ve ½ olduğunu söylemiştim. Elimdeki bilgiler ışığında herhangi bir rastgele adımın alabileceği ortalama değeri bulabilirim.

Bu değer sayıların olasılıkları aynı olduğu için aritmetik ortalama ile bulunur: Yani sayıları topla ve toplamı ikiye böl. a1’in ortalama değerini <a1> ile gösterirsek:

IMG_6511

Böylece her adımın ortalama değeri 0 (sıfır) çıkar.

<a1> = 0

<a2> = 0

<a3> = 0

<aN> = 0

olur.

Tüm ortalama değerlerin toplamı rastgele N tane adım sonrası başlangıç noktasından ne kadar uzakta olduğumuzu gösterir. Başlangıç noktasına uzaklığı da u ile gösterelim. Yani;

u = <a1> + <a2> + <a3> + … + <aN> = 0 + 0 + 0 + … + 0 = 0.

Bulunan sonuca göre başlangıç noktası olarak 0’dan başlanıp N tane rastgele adım atıldığında başlangıca 0 (sıfır) uzaklıkta olmayı beklemeliyiz. Halbuki N tane adımın tamamı (örneğin) +1 olabilir. Öyle bir durumda cevap N adım uzaklık olur. Fakat matematik bize diyor ki N tane adımı birçok defa denerseniz sonuç eninde sonunda 0 (sıfır) olacaktır.

Daha Güzel Matematik Kullanalım

Sıfır sonucu ne sizi, ne beni ne de bunlarla uğraşan matematikçileri memnun etmez, çünkü bu sonuç tüm gerçeği yansıtmıyor. Evet, rastgele atılan N adım sonrasında başlangıç noktasına dönmemiz mümkün olsa da bunun tek sonuç olmadığını hepimizi biliyoruz.

Aslında sonuç olarak bir aralıkla karşılaşmak daha uygun olurdu. Bunu başarabilmek için matematiksel manipülasyonlara başvurmamız gerekir.

Biz bir adımın +1 veya -1 sonucunu alabileceğini biliyoruz. Peki her adımın karesini alsak, adımların karelerinin alabileceği tek sonuç +1 olmaz mı? Evet olur, çünkü +1’in de -1’in de karesi +1 yapar.

a12 = 1

a22 = 1

a32 = 1

aN2 = 1

Başlangıç noktasına uzaklığa u demiştim. O zaman u’nun karesini alalım. Karşımıza uzun bir denklem çıkar:

u2 = (<a12> + <a22> + <a32> + … + <aN2>) + 2 (<a1a2> + <a1a3> + <a1a3> + … + <a1aN> + <a2a3> + … + <a2aN> + … )

Denklemin ilk kısmı N tane 1’in toplamı yapar: N.

Denklemin ikinci kısmında tüm çarpımlar birbirine eşittir. Bu sebeple çarpımlardan sadece birini hesaplamamız yeterlidir.

<a1a2> için a1a2 değerini hesaplayalım:

Resimde de görüldüğü üzere denklemin ikinci kısmı 0 (sıfır) toplamını verir. O halde başlangıç noktasına uzaklığın karesi

u2 = N

olur. Burada her iki tarafın karekökü alınırsa Başlangıç noktası için iki değer ortaya çıkar: +√N ve -√N.

Bulduğumuz sonuca göre örneğin bir boyutta 100 tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına √100 = +/- 10 adım uzaklıkta olunur.

M. Serkan Kalaycıoğlu

1 Comment

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s