Sarhoşun Güzergahı
Sonunda sıra muhasebeci Ali’nin problemine geldi. Bir sarhoşun rastgele seçimler yaparak evine ulaşıp ulaşamayacağını belirlemek için bir boyutta rastgele yürüyüşten bahsetmemiz gerektiğini söylemiştim. Fakat biz yeryüzünde yaptığımız yürüyüşlerde sağ ve soldan başka seçeneklere de sahibiz.
Gelin sarhoşun güzergahını iki boyutta rastgele yürüyüş olarak düşünelim.
İki boyutta rastgele yürüyüş için dört farklı ihtimal vardır: Aşağı, yukarı, sağ ve sol. Bu dört yön bize geometrinin tanıdık bir kısmı olan koordinat düzlemini hatırlatır. Koordinat düzleminde orijini sarhoşun başlangıç noktası olarak belirlediğimizde ilk adım için aşağıdaki ihtimaller belirir:
İki boyutta rastgele bir yürüyüşü test etmek için 12 yüzlü zar kullanılabilir. Zar atıldığında:
1-2-3 gelirse yukarı bir adım,
4-5-6 gelirse aşağı bir adım,
7-8-9 gelirse sağa bir adım,
10-11-12 gelirse sola bir adım atılır.
Soru: İki boyutta N tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına kaç adım uzakta olunur?
Bu sorunun cevabı tıpkı bir boyutta olduğu gibi adım sayısının kareköküdür. Yani cevap N tane rastgele adım için √N olur. Fakat bu sefer orijini merkez, yarıçapı ise √N olan bir çemberi hayal etmemiz gerekir. Yürüyüşün tamamlanma ihtimalinin en yüksek olduğu alan bu çemberdir.
Bir boyutta rastgele yürüyüş sonrası üç çıkarımdan bahsetmiştim. Bu çıkarımlardan üçüncüsüne göre bir boyutta atılan rastgele adım sayısı ne kadar çok olursa başlangıç noktasına dönme ihtimali o kadar fazladır.
Aynısı iki boyuttaki rastgele yürüyüşler için de geçerlidir; adım sayısı ne kadar fazlaysa adımı atan kişinin başlangıç noktasına dönme veya ona çok yakın olma ihtimali de o derece yüksek olur.
“Sarhoş bir insan muhakkak evinin yolunu bulur, fakat sarhoş bir kuş sonsuza dek kaybolabilir.”
Shizuo Kakutani
Bu sonuç sarhoş Ali’nin sürekli başladığı yere gelme ihtimalinin evine varma ihtimalinden daha yüksek olduğunu söyler. Fakat Ali rastgele tercihler yapmasına rağmen er ya da geç evine ulaşır.
Hatta bunu bir adım daha öteye götürelim: Eğer muhasebeci Ali yeterince uzun süre boyunca yürümeye devam ederse, mahallesinde bulunan tüm sokakları ziyaret etmiş olur. Bu yüzden iki boyutta rastgele yürüyüş tekrar eden bir yürüyüştür. Fakat işler üç ve üstü boyutta değiştir. İkiden büyük boyutlarda rastgele hareket geçicidir. Shizuo Kakutani bu nedenle sarhoş bir kuşun sonsuza dek kaybolabileceğini söylemiştir.
Yanlı Rastgele Yürüyüş
Bir boyutta rastgele yürüyüş için iki sonucun (sağa ve sola bir adım atmak) eşit ağırlıkta (1/2) olasılığa sahip olduğunu artık adımız gibi biliyoruz.
Gelin başka bir rastgele yürüyüş tipi bulmaya çalışalım. Fakat bunu yaparken ihtimalleri aynı, adım sayılarını ise farklı tutalım. Yani sağ veya sol tercihi ½ olasılıkla gerçekleşecek, ama sağa iki adım atılırken sola bir adım atılacak.
İşte bu, bir yanlı rastgele yürüyüş örneğidir. Normal rastgele yürüyüşte bir adım +1 veya -1 değerini alabilirken, yarattığım yanlı rastgele yürüyüşte bir adım +2 veya -1 olur.
Rastgele yürüyüşün yanlılığı N adım atıldıktan sonra başlangıç noktasının sağında bulunma ihtimalinin çok yüksek olmasından gelir. Önceki yazılarda bir boyutta yürüyüşü havaya para atarak (yazı-tura ile) göstermiştim. Yazı sağa, tura ise sola doğru adım atmak anlamına geliyordu. Yanlı rastgele yürüyüşe göre havaya atılan bir paranın yazı gelmesi sağa iki adım, tura gelmesiyse sola bir adım demektir.
Parayı 10 defa havaya attıktan sonra durduğum nokta:
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Bir madeni parayla aynı deneyi siz de yapın ve sonuçlarınızı karşılaştırın.
Not: Bitmedi. Devamı yarın ki yazıda.
M. Serkan Kalaycıoğlu
kmatematikatolyesi.com 