Matematik Atölyesi – Geometri #13

Kurabiye Pişirmek

Canınız çikolata parçacıklı kurabiye istedi ve bolca pişirmesi için annenizi ikna etmeye çalışıyorsunuz. Sonunda bir anlaşmaya vardınız: Sadece bir tepsi kurabiye yapılacak fakat kurabiyeleri tepsiye siz dizeceksiniz. Kurabiyeler üst üste gelmemeli ve düzgün geometrik şekle sahip olmalı. Yani tüm kurabiyeler aynı şekle sahip olmalı ve her bir kurabiye tam olmalı. Yarım kurabiyeye yer yok!

Sonuçta ne kadar çok kurabiye dizerseniz yemek için o kadar çok kurabiyeniz olacak.

Fırın tepsisinin boyutları 46,5’e 37,5 cm. Bir kurabiyenin çapı ise 5 cm.

51rixjatvel._sx450_

Soru: Bu tepsiye düzgün şekilde kaç tane kurabiye sığdırabilirsiniz?

Bal Peteği

Kurabiye sorusunun cevabına bakmadan önce biraz bal yapımından bahsetmeliyim. Bal arıları matematiği muhteşem bir şekilde kullanır. Bal petekleri de onların geometrik şaheseridir.

shutterstock_113350987

Peki bal arıları neden bal peteklerini tam olarak bu şekilde (yani altıgen şeklinde) inşa eder?

Bal arıları bal biriktirmek için ufak depolara ihtiyaç duyar. Bu depoları şimdilik iki boyutlu gibi düşünün. Böylece bal arılarının problemi düz bir kağıdın hangi geometrik şekille döşenmesi gerektiğine döner.

Arının Sorumluluğu: “Düz bir kağıdı tek bir düzgün geometrik şekille kaplayacağım fakat bunu yaparken en az çizgiyle en büyük alanı yaratmam gerekiyor.”

Üç Düzgün Şekil

Sadece üç düzgün geometrik şekil bir kağıdı boşluksuz döşeyebilir: Eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen.

bad tessellates
Yedigen, sekizgen ve dokuzgen için durum böyledir. Diğer çokgenleri kontrol edebilirsiniz. Hiçbiri boşluksuz döşeme yapamayacaktır.

Biz kareden başlayalım. Diyelim ki bal arısı kağıdın tamamını bir kenarı 2 birim olan karelerle dolduracak. Böyle bir karenin alanı 4 birim kare iken çevresi 8 birimdir.

Aynı alana sahip eşkenar üçgenin bir kenarı 3 birimden biraz fazladır. Bu da üçgenin çevresinin 9 birimden fazla olduğu anlamına gelir. Yani bir kağıda kare döşemek üçgen döşemekten çok daha iyidir.

Sırada altıgen var. Alanı 4 birim kare olan düzgün altıgenin çevresi 7,45 birim yapar ki bu sonuç hem eşkenar üçgenin hem de karenin çevresinden daha küçüktür. Bu nedenle bal arısı düz kağıda döşeme işlemini düzgün altıgen ile yapar.

Çemberden Altıgene

Bilim insanları günümüzde hala bal peteğinin yapımını inceliyor. Bal arılarının bu muazzam yapıları oluştururken iki şekilden birini tercih ettiği düşünülüyor: Çember veya düzgün altıgen. Bir teoriye göre bal arıları çevre uzunluğu düzgün altıgenden çok daha az olan çemberi kullanıyor ve zamanla bu çemberler bizim gördüğümüz peteklerdeki düzgün altıgenlere dönüşüyor.

Çemberlerden düzgün altıgenlere aşağıdaki şekilde ulaşılabilir:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Kurabiye sorusunun çözümü çember-düzgün altıgen ilişkisinde saklıdır. Bu bilgi ışığında kaç tane kurabiye yapılabileceğini bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s