Kafes Noktalar
Kareli defterden bir sayfa hayal edin. Bu sayfada kenarları kaldırıp sadece köşeleri bırakalım. Yatay ve dikey yönde bulunan her iki nokta arasının tam olarak bir birim olduğunu varsaydığımızda elimizdeki şey noktalardan oluşan bir sisteme dönüşür. Bu sisteme kafes noktalar diyelim.
Kafes noktalar sistemindeki her nokta tam sayıdan oluşan bir sayı ikilisiyle ifade edilir:
Pick’in Teoremi: Çokgen alanı bulmak için alternatif bir yöntemdir.
Sistemdeki noktalar birleştirilerek çokgenler oluşturulabilir. Bu çokgenlerin alanlarını bulmak için Pick’in teoremi bize büyük kolaylık sağlar.
Teoreme göre çokgenin alanını bulabilmek için sadece iki bilgiye ihtiyacımız vardır: Çokgendeki kenarların üzerinde bulunan nokta sayısı ve eğer varsa çokgenin iç tarafında kalan nokta sayısı.
Kenarlardaki nokta sayısı k ile, iç tarafta kalan nokta sayısını ise i ile gösterirsek Pick’in teoremine göre çokgenin alanı şöyle bulunur:
Alan = i + (k/2) – 1
Örnek 1: Üçgen.
Eğer şekildeki gibi bir üçgene sahipsek, kenardaki nokta sayısı k=4 olur. Üçgenin iç kısmında hiç nokta olmadığı için i=0’dır. Pick’in formülünü uygularsak üçgenin alanını buluruz:
Alan = 0 + (4/2) – 1
= 0 + 2 – 1
= 1 birim kare.
Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Taban 1, yükseklik 2 birim olduğu için üçgenin alanı (2*1)/2 = 1 birim kare olur.
Örnek 2: Kare.
Şekilde k=12, i=4’tür. O halde çokgenin alanı;
4 + (12/2) – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 birim kare.
Karenin alanı bir kenarının karesidir. Bir kenar 3 birim olduğu için karenin alanı 3*3 = 9 birim karedir.
Kare ve üçgen örneklerine bakınca teoremin gereksiz olduğunu düşünebilirsiniz. O halde gelin çokgenlerimizi biraz daha karmaşık şekilde çizelim.
Örnek 3: Çokgen.
Şimdi Pick’in teoreminin gücünü görebiliriz. Eğer teoremi bilmiyorsak mecburen bu çokgeni başka çokgenlere parçalayıp onların alanlarını tek tek bulmamız gerekir. Fakat Pick’in teoremiyle sadece nokta sayarak alanı bulabiliriz.
Çokgende k=12, i=72 olduğuna göre alan:
Alan = 72 + (12/2) – 1 = 72 + 6 – 1 = 77 birim kare olur.
Eşkenar Üçgen
Şu ana dek yaptıklarımızın sayılar değil geometriyle ilişkisi olduğu görülüyor. Fakat tek bir soruyla bunu değiştireceğim.
Soru: Kafes noktalar düzleminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgen çizmek mümkün müdür?
Örneğin tabanı iki birim olan bir eşkenar üçgen çizmeye çalışalım:
Şekilde görüldüğü üzere bunu yaptığımda üçgenin iki köşesi noktalar üzerinde kalmasına rağmen üçüncü köşe boşluktadır.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Peki bunun çizilebilecek her eşkenar üçgen için böyle olup olmadığını ispatıyla açıklayabilir misiniz?
İspatı bir sonraki yazıda açıklayacağım.
M. Serkan Kalaycıoğlu
kmatematikatolyesi.com 