Eşkenar Üçgen ve İrrasyonel Sayı
Bir önceki yazıda kafes noktalar sisteminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgenin çizmenin mümkün olup olmadığını sormuştum. Bu soruya vereceğiniz cevabı ispatlamanızı istemiştim.
İspat
Elimizde aşağıdaki gibi kenarları ikişer birim olan bir eşkenar üçgen olsun:
Üçgenin köşelerinin kafes noktalar olduğunu kabul edelim. Bu demektir ki eşkenar üçgenin kenarları ve alanı rasyoneldir. Neden?
Çünkü Pick’in teoremine göre kafes noktalar sistemindeki bir çokgenin alanıyla nokta sayısı arasında direk bir ilişki vardır. Nokta sayısı hiçbir zaman irrasyonel olamayacağına göre (√3 tane nokta olamaz, değil mi?!) bu sistemdeki çokgenlerin alanları da rasyonel olmak zorundadır.
Bir üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. O halde eşkenar üçgende tabana ait olan yükseliği indirelim ve üçgenin iç açılarını belirtelim:
Artık elimizde iki tane birbirine eş dik üçgen var. Bu dik üçgenlerin hipotenüsleri 2, tabanları 1 birimdir. Yüksekliği Pisagor teoreminden çıkarabiliriz:
h2 + 12 = 22
h2 = 4 – 1
h2 = 3
h = √3.
Yükseklik irrasyonel çıktığı için üçgenin alanı da irrasyonel olacaktır:
1/2(2*√3) = √3.
ÇELİŞKİ
Bu sonuç bir çelişkiyi gösterir. Çünkü Pick’in teoremine göre kafes noktalarda bulunan bir çokgenin alanı her zaman rasyonel olmalıdır. O halde bu eşkenar üçgen kafes noktalarda yer alamaz.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Eşkenar üçgen dışında kafes noktalar sisteminde çizilemeyecek başka çokgenler bulabilir misiniz?
M. Serkan Kalaycıoğlu
kmatematikatolyesi.com 