Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #8

Uzaylılar tarafından kaçırıldığım yazıyı hatırlarsınız. Euler formülü sayesinde canımı kurtarmıştım. Bugün formül ezberlemeyi sevmeyenler için uzaylılardan kaçma yöntemini göstereceğim.

Bu yöntem o kadar harika ki yöntemin geldiği teoremin adı gerçek manasıyla “Harikulade Teorem”. Orijinal ismi “Theorema Egregium” olan bu teorem yazılarımda ismi en sık geçen iki matematikçiden Alman olanı Gauss’a aittir. Matematiğin prensinden başkasına harikulade bir teorem yakışmazdı zaten.

Gauss’un harikulade teoremi bize hayatın içinde matematiği nasıl içselleştirerek kullandığımızı gösteriyor. Teoremi açıklamak için bir örnek kullanacağım:

Örnek: (Harikulade) Kağıt Tutuş Şeklimiz

Bir A4 kağıdını sol tarafından tutarak okumaya çalışın. Eğer kağıdı hiçbir şekilde eğip-bükmez iseniz o halde kağıt aşağıdaki gibi durur:

Yer çekiminden kaynaklanan bu durumu o kadar içselleştirmişiz ki çözüm neredeyse bir refleks haline gelmiştir:

20190131_185700

Kağıdı yukarıdaki gibi içe veya dışa doğru hafifçe bükmek kağıdın üzerinde yazanları okumakla okumamak arasındaki farktır.

Peki neden?

Neden kağıdı okuyabilmek için bükmek zorundayız?

Gauss’un Harikulade Teoremi: Gauss der ki; bir düzlem veya cismin kıvırma, bükme, çevirme vb. işlemler sonrasında Gauss eğriliği hep aynı kalır.

Gelin kağıdın ilk durumda (yani masanın üzerindeyken) Gauss eğriliğini hesaplayalım. Önce kağıdın üzerinde bir A noktası seçelim ve A noktasından geçen ve birbirine dik iki doğru çizelim:

curv7

Çizilen doğruların eğriliklerini inceleyelim. Bir doğru için üç ihtimal vardır:

  1. Eğer bir doğru düz devam ediyorsa eğriliği 0(sıfır) olur.
  2. Eğer bir doğru dışa doğru eğrilmiş ise bu eğrilik pozitif (+) olur.
  3. Eğer bir doğru içe doğru eğrilmiş ise bu eğrilik negatif (-) olur.

indir281292

Kağıdın Gauss eğriliği çizilen doğruların eğrilikleri çarpılarak bulunur. Masa üzerinde bulunan kağıttaki her iki doğru da sıfır eğriliğe sahip olduğu için kağıdın Gauss eğriliği sıfırdır:

curv8

Kağıdı Tutarken

Gauss’un fevkaladenin fevkinde teoremi bir kağıdın Gauss eğriliğinin hep aynı olacağını söyler. O halde ne yaparsak yapalım kağıdın Gauss eğriliği hep sıfır olmalı.

Şimdi biraz geri gidelim ve kağıdı sol tarafından tuttuğum durumu inceleyelim. Kağıt yer çekiminin etkisiyle eğrilir. Bu, pozitif bir eğrilmedir:

Fakat pozitif eğriye dik olan doğru incelenince bu doğrunun düz, yani eğriliğinin 0(sıfır) olduğu görülür:

curv3

Pozitifle sıfırın çarpımı sıfır yapar ki bu da kağıdın Gauss eğriliğinin sıfır olduğunu gösterir. Böylece Gauss’un harikulade teoreminin doğruluğuna kendi gözlerimizle şahit oluruz.

Daha sonra üzerinde yazılanları okuyabilmek için kağıdı içe doğru bükeriz. Bu durumda içe eğiklik negatiftir. Negatif eğikliğe dik olan doğrultuda ise eğiklik sıfırdır. Bu ikisinin çarpımı kağıdın sıfır Gauss eğriliğine sahip olduğunu gösterir:

Gauss Eğrilikleri

  1. Sıfır Gauss Eğriliği:

    20190131_185509
    Her iki doğruda da sıfır eğiklik vardır. Bu da sıfır Gauss eğriliği yaratır.
  2. Pozitif Gauss Eğriliği:

    20190131_185529
    Her iki doğruda da pozitif eğiklik, cismin pozitif Gauss eğriliğine sahip olması anlamına gelir.
  3. Negatif Gauss Eğriliği:

    20190131_185546
    Yatayda negatif, dikeyde pozitif; negatif Gauss eğriliği oluşturur.

Uzaylılardan Kaçmak

Gauss’un teoremini kullanarak uzaylıların bulmacasını hızla çözebiliriz. Eğer bulunduğunuz yerin Gauss eğriliği:

  • Sıfır ise kağıt gibi,
  • pozitif ise küre gibi,
  • negatif ise eyer/muz gibi bir düzlem üzerinde bulunuyoruz demektir.
20190131_185431
Soldan sağa: Sıfır, pozitif ve negatif Gauss eğriliği.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Pizza Dilimini (Harikulade) Tutuş Şeklimiz

posterler-beyaz-plaka-uzerinde-pepperoni-pizza-dilimi

Bir pizza dilimini yerken dilimi nasıl tutarsınız?

Neden?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s