Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #10

Kağıt Yırtmak

Bir kağıdı maket bıçağıyla rastgele keselim. Kenarları pürüzsüz kesilen parçanın hem alanını hem de çevresini Öklid geometrisindeki özelliklerle tam olarak hesaplayabiliriz:

Aynı kağıdı elle yırtar isek yırtılan kısmın kenarları aşağıdaki gibi pürüzlü olur:

Dikkat ederseniz sağdaki kağıt parçası bir adanın haritasına benziyor.

Bir önceki yazıda herhangi bir adanın sahil şeridi uzunluğunu Öklid geometrisiyle hesaplamaya çalışınca cevabı sonsuz bulmuştuk. Aynı yöntem kullanıldığında elle yırtılmış bir kağıdın çevresi sonsuz uzunlukta çıkar.

Sahil şeridi paradoksu olarak bilinen bu durum bize herhangi bir şekil pürüzlü olduğunda Öklid geometrisinin işe yaramadığını gösterir.

Fraktalların Ortaya Çıkışı

“Bulutlar küre değil, dağlar koni değil, sahil şeritleri çember değil…”
Benoit B. Mandelbrot

Öklid geometrisi düzgün/pürüzsüz şekillerle ilgilenirken doğa pürüzlü şekillerle doludur. Okulda öğrenilen geometrideki şekillerin doğada karşılığı gerçekten çok azdır. Bu yüzden sahil şeridi paradoksunda olduğu gibi kimi doğa olaylarını açıklamak için bilinenden başka bir geometriye ihtiyaç duyulmuştur.

Matematikçi Benoit Mandelbrot (1924-2010) 1967’de yayımladığı “Britanya’nın sahil şeridi ne kadar uzun?” isimli makalede sahil şeridi paradoksuna dahiyane bir açıklama getirmişti. Fakat bu makalenin asıl önemi yepyeni bir matematik dalının, fraktal geometrinin doğumu olmasından gelir.

Latince’de kırık anlamına gelen fractus kelimesinden türetilmiş olan fraktal en basit haliyle “bütüne benzeyen parçalardan oluşan şekil” diye ifade edilebilir. Bir şeklin herhangi bir kısmını koparın. Eğer koparılan kısım tüm şekle benziyorsa (hatta kimi durumlarda tıpatıp aynısı da olabilir) şekil bir fraktaldır. Bu yüzden fraktallar “kendine benzer” şekillerdir.

a

Örneğin piramit karnabahar bitkisine iyice yakından bakarsak bitkinin kendine benzer olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla piramit karnabaharın şekli fraktaldır.

Fraktalların sonsuz uzunlukta çevresi vardır. Bu sebeple onların çevre veya alanlarını ölçmeye çalışmak beyhudedir. Yukarıdaki tanımlara göre sahil şeritleri de birer fraktal ifade eder. (Harikulade bir örnek için tıklayın.) Peki ne yapmalı da bunların çevre/alan büyüklüklerini bulmalı?

Boyut

Mandelbrot’a göre bir fraktalın çevre veya alanı değil, pürüzlülük derecesi bulunabilir. Bu dereceye fraktal boyutu diyen Mandelbrot fraktalların Öklid geometrisinin alışılagelmiş şekillerinden farklı boyutlarda olduğunu fark etmişti.

Öklid geometrisinde çizginin 1, düzlemin (alan) 2, uzayın (hacim) ise 3 boyutlu olduğu bize öğretilirken geometrik örnekler üzerinden gidilir. Mesela 3 boyut için bir odanın tavanının köşesine bakılır:

hjfhjfhj

Köşeden çıkılarak gidilebilecek 3 ayrı yol odanın 3 boyutlu olduğunu anlatır. Fakat bu şekilde boyut kavramının nasıl hesaplandığı değil neye benzediği gösterilmiş olur.

Soru: Herhangi bir şeklin/cismin kaç boyutlu olduğu nasıl hesaplanır?

Çizgi

  • Bir düz çizgiyi iki eşit parçaya ayırın:

Parçaların uzunlukları ilk halin 1/2’si kadardır. Toplam parça sayısı ise 2’dir.

  • Parçaları ikiye bölmeye devam edin:
    20190217_005201

Yeni parçalar ilk halin 1/4’ü kadar uzunluktadır. Toplam parça sayısı ise 4’tür.

Burada şöyle bir formül yaratılır:

(1/Parçanın bir aygıtının oranı)Boyut derecesi = Toplam parça sayısı

Boyut derecesine bundan sonra d diyeceğim.

4 parça için =>

(1/1/4)d = 4

4d  = 4

d = 1.

Çizgi 1 boyutludur.

Kare

Bir karenin her kenarını iki eşit parçaya bölünce karşınıza 4 eşit kare çıkar:

Bu karelerin her birinin bir kenarı, orijinal karenin bir kenarının 1/2’si kadardır.

Formülü uygularsak =>

(1/1/2)d = 4

2d  = 4

d = 2.

Gelin bölmeye devam edelim. Bu dört karenin her birinin kenarlarını iki eşit parçaya ayırınca 16 yeni kare ortaya çıkar:

20190217_005002

Bu 16 karenin her birinin bir kenarı orijinal karenin bir kenarının 1/4’ü kadar uzunluktadır.

Formülü uygularsak =>

(1/1/4)d = 16

4d = 16

d = 2.

Yani kare 2 boyutludur.

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aynı yöntemi kullanarak küpün boyutunu hesaplayın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s