Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #11

Kesirli Boyut

Bir sahil şeridinin uzunluğu hesaplanırken kullanılan ölçü aleti ne kadar küçülürse hesaplanan uzunluk o derecede büyür. Bu da sahil şeritlerinin farklı (hatta sonsuza yakın) uzunlukta bulunabileceğini gösterir.

Mandelbrot sahil şeridi uzunluğunun büyümesi ile ölçü aletinin küçülmesi arasındaki orana “fraktal boyutu” ismini vermişti.

Öklid geometrisinde nokta 0, çizgi 1, kağıt 2, küp ise 3 boyutludur. Fakat doğada her şey Öklid geometrisinde gösterildiği gibi düzgün değildir. 20. yüzyılın başında Felix Hausdorff ismindeki bir matematikçi bazı şekillerin kesirli boyutlara sahip olduğunu göstermişti. Daha sonra Hausdorff-Besicovitch ismini alan kesirli boyut fikrini ele alan Mandelbrot fraktal geometrinin temellerini atmıştı.

Bir önceki yazıda Öklid geometrisinde boyut hesabından bahsetmiştim. Fraktal geometrisinde de şekillerin boyut derecesi hesaplanırken aynı formül kullanılır. Formülü test etmek için önce birkaç özel fraktaldan bahsetmem gerekiyor.

Kar Tanesi

İsveçli matematikçi Helge von Koch’dan ismini alan Koch kar tanesi diye de bilinen şekil, fraktal geometrinin en ünlü şekillerinden biridir.

Koch kar tanesini yapmak için işe düz bir çizgiyle başlanır. Çizgi üç parçaya ayrılır ve ortadaki parça silinir:

Ortadaki boşluğa silinen parçayla aynı uzunlukta iki çizgi koyulur (bir eşkenar üçgen yapılırmış gibi):

20190224_150711

Bundan sonraki her adımda şekilde düz çizgi bulunan her yere aynı işlemler yapılır. Önce her çizgi üç parçaya ayrılıp orta kısımlar çıkarılır:

20190224_161832

Daha sonra bu boşluklara silinen parçayla eşit uzunlukta iki yeni çizgi eklenir:

Koch kar tanesinin aşamaları ve kar tanesi görünümü:

El yapımı bir fraktal olan Koch kar tanesinin boyutunu bulmak için formülü uygulayalım. Bilmemiz gereken şeyler fraktaldaki parçaların boyutları ve sayılarıdır.

Koch kar tanesini yaratmak için çizdiğimiz ilk çizgi toplamları 1 birim yapan üç eşit parçadan oluşur:

20190224_161758

İkinci durumda bu parçalardan 4 tane vardır:

Adsızmbm.jpg

O halde Koch kar tanesinde parça uzunlukları 1/3, parça sayısı ise 4 olarak devam eder. Buradan Koch kar tanesinin fraktal boyutu (buna d diyelim) hesaplanabilir:

(1/3)d = 4

d ≈ 1,26.

Koch Eğrisi

Koch kar tanesini oluştururken bir düz çizgiyi üç parçaya ayırıp orta parça yerine eşkenar üçgen koymuştuk. Gelin bunu değiştirelim ve ortaya kare koyalım:

Sadece üç adımda şeklin ne kadar karmaşıklaştığını görebilirsiniz:

Bu özel Koch eğrisinde her bir düz çizgi bir öncekinin 1/3’ü uzunluğunda iken her seferde fraktalda 5 parça düz çizgi oluşur:

555.jpg

Boyut formülü uygulanınca fraktalın boyutu aşağıdaki gibi hesaplanır:

(1/3)d = 5

d ≈ 1,4649.

Peki boyutlar arasındaki fark neyi ifade ediyor?

Eğrinin Koch kar tanesinden daha yüksek boyuta sahip olması, eğrinin kar tanesinden hem daha fazla alan kapladığını hem de daha pürüzlü olduğunu gösterir.

Çıplak gözle de bunu fark etmek mümkündür:

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir başka el yapımı ünlü fraktal Waclaw Sierpinski’den adını alan Sierpinski üçgenidir.

Sierpinski üçgeni oluşturulurken önce büyük bir eşkenar üçgen çizilir ve bu üçgenin kenarları orta noktalarından işaretlenir:

İşaretli noktalar birleştirilerek dört yeni eşkenar üçgen ortaya çıkar. Yeni eşkenar üçgenlerden ortada olanı kesilirse şekil aşağıdaki gibi olur:

  1. Sierpinski üçgeninin fraktal olduğunu gösterin.
  2. Sierpinski üçgeninin fraktal boyutunu hesaplayın ve Koch kar tanesinin boyutuyla karşılaştırın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s