Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #12

Göründüğü Gibi Değil

Sahil şeridi paradoksuna Mandelbrot’un yaptığı açıklamayı gerçek bir örnek üzerinden giderek göstereceğim.

ABD ile Norveç’in yüz ölçümleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

Görünürde ABD lehine bariz bir fark olmasına rağmen Norveç’in kıyı şeridi ABD’nin toplam kıyı şeridinden çok daha uzundur:

ABD: 19.924 km

Norveç: 25.148 km

Bu, Norveç kıyılarının aşırı derecede girintili-çıkıntılı olmasından kaynaklanır. Yani Norveç’in kıyı şeridi ABD’nin kıyı şeridine göre çok daha pürüzlüdür. Mandelbrot bunu fraktal geometrisinde şöyle ifade eder: Norveç kıyı şeridinin fraktal boyutu ABD’ninkinden daha büyüktür.

Fakat bu, fraktal boyutu büyük olan şeklin daha uzun olduğu anlamına gelmez. Uzunluk ile fraktal boyut arasında bir karşılaştırma yapılamaz.

Ölçü Aleti

Sahil şeridi paradoksuna göre biz ne kadar küçük bir ölçü aleti seçersek, ölçülen uzunluk o derecede büyük çıkar. Peki ABD ve Norveç’in kıyı şeritleri hesaplanırken ölçü aletinin uzunluğu nasıl belirlendi?

İşte fraktal boyut burada işe yarar: Ölçü aletinin büyüklüğünü seçmede.

O halde Norveç ile ABD’nin kıyı uzunluklarını kıyaslamak için bunların fraktal boyutlarını hesaplamamız gerekir. Fraktal boyutları da bize seçilecek ölçü aletinin büyüklüğünü verir ki bu sayede iki kıyı arasında kıyas yapılabilir.

Soru: İyi ama bir sahil şeridinin tam uzunluğu nasıl ölçülür?

Maalesef ölçülemez. Bugün kıyı ve ülke sınırları için bilinen rakamların hiçbiri %100 doğru değildir. Ama emin olduğumuz bir şey var ki o da fraktal boyutu sayesinde kıyaslama yapabiliyor oluşumuzdur. Yani tam olarak uzunluğu bilemediğimiz halde herhangi iki kıyı veya sınırın hangisinin daha uzun olduğunu bilebiliyoruz.

Kutu Sayma Yöntemi

Fraktal boyut hesabı yapmak için sadece kutu sayma ismiyle bilinen basit bir yönteme ve hesap makinesine ihtiyacınız var.

Diyelim ki aşağıda gösterilen şeklin fraktal boyutunu bulacağız:

20190226_152316

Şekil 1×1 birimlik bir karenin içinde olsun. Öncelikle şeklin tamamını kenarı 1/4 birim olan karelere bölelim ve şeklin sınırının geçtiği kareleri sayalım:

Şeklin sınırı 14 tane karenin içinden geçer.

Daha sonra şekli bir kenarı 1/8 birim olan karelere bölelim ve yine sınırın geçtiği kareleri sayalım:

Bu sefer şeklin sınırı 32 tane karenin içinden geçer.

Hesap makinesi kullanarak sınırın geçtiği kare sayılarının birbirine bölümünün logaritmasını (yani 32/14’ün logaritmasını), kare boyutlarının birbirine bölümünün logaritmasına (yani {1/8}/{1/4}’ün logaritmasına) bölüp sonucu eksiyle çarparsak şeklin fraktal boyutunu buluruz:

loga.jpg

Rastgele çizdiğim şeklin fraktal boyutu yaklaşık olarak 1,19’dur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki şeklin fraktal boyutunu hesaplayın:

20190228_005941.jpg

M. Serkan Kalaycıoğlu

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s