Matematik Atölyesi – Şans #6

Ne kadar şans?

Matematiğin işe yaramazlığından bahseden insanların (tamamı olmasa da) önemli bir kısmı olasılık konusunda kötü oldukları için sürekli zarara uğradıklarından bihaberdir. Halbuki hangi insana sorsanız olasılık konusunda kendinden emin konuşur.

Buna en güzel örneklerden biri kumarhane tecrübesi olanların hemen anlayacağı rulet oyunudur. 0’dan 36’ya kadar sayıların bulunduğu rulet masasında her turda top rulet çarkına bırakılır. Rulet oyununda topun çarkın üzerinde hangi sayıda duracağını tahmin etmek dışında da seçenekleriniz var. Mesela sayının renginin kırmızı ya da siyahtan hangisi olacağını veya hangi satır/sütundaki sayının gelebileceğini de tahmin etmeye çalışabilirsiniz.

Burada ben kırmızı-siyah olasılığı üzerinde duracağım. Toplam 37 sayının 18’i kırmızı, 18’i siyahtır. (Tek eksik olan sıfırın rengi bunların ikisi de değildir.) O halde ruletin bir turunda kırmızı veya siyah renkli bir sayının gelme olasılığı eşit ve 18/37’dir.

images55

Soru: Diyelim ki bir rulet masasında oturuyorsunuz ve art arda sekiz tane kırmızı renkli sayı geldi. Bir sonraki turda hangi renge oynardınız: Kırmızı mı? Siyah mı?

Bunun için ufak bir anket düzenledim. Sorduğum on arkadaşımın içinden sadece ikisi kırmızıyı seçeceğini söylerken altısı siyahı, kalan ikisiyse herhangi biri cevabını verdi. İşin garibi hemen herkesin daha ben sormadan şansların eşit olduğunu belirtmesiydi. Yani burada seçim yaparken matematik değil duygular ön plana çıkıyor.

Doğru cevapsa “fark etmez” olmalıdır. Her turda siyah ve kırmızının 18/37’şer, sıfırın ise 1/37 ihtimali vardır. Önceki turlarda ne geldiği hiçbir şeyi değiştirmez. Psikolojiniz hariç…

Uyarı: Kumar tüm kötülüklerin anasıdır. Uzak durun.

“Kumarbaz mısın?”

İki ve daha fazla kişinin oynayabileceği bir oyun olan “Kumarbaz mısın?” için gereken tek şey standart bir zardır.

indir (12)

Kurallar:

  • Oyuncular sırayla zar atar.
  • Gelen sayıları toplar. Amaç 50’yi ilk geçen olmaktır.
  • Eğer oyunculardan biri kendi turunda 6 atarsa, o turda kazandığı puanları kaybeder ve sıra diğer oyuncuya geçer.
  • Oyuncular kendi turlarında 6 gelmediği sürece zar atmaya devam edebilir ve istedikleri yerde turu bitirebilir.

Örneğin bir oyuncunun ilk zarı 4 gelsin. Zar 6 gelmediği için oyuncunun iki şansı vardır: Zarı ikinci defa at veya turu bitir ve 4 puanı toplam puanına ekle. Diyelim ki oyuncu devam etmeye karar verdi ve zar bu sefer 5 geldi. Oyuncu için yine aynı iki şans vardır: Ya puanlarını al (4+5=9 puan) ve turu bitir veya üçüncü defa zar at.

Ne öğrenilir?

Oyunda kaçınılması gereken tek zar 6’dır. Bu da toplam altı sayıdan sadece biridir. Yani ilk zar atıldığında 5/6 = 0,833… (diğer bir deyişle %83)  ihtimalle istediğiniz zarı elde edersiniz. Bunu iki defa üst üst yapma ihtimaliniz ise (5/6)*(5/6) = 0,694… olur. İkinci denemenizde %70’in altına düşülür.

O halde 10 defa üst üste zar attığınızda 6 gelme ihtimalini artırmış olursunuz. (%60 ihtimalle 6 gelir.)

Fakat her zar atılışına tek tek baktığımızda her zaman 5/6 ihtimali olduğunu görürüz. Bunu düşününce 6 gelme olasılığının zamanla daha yüksek olması gözden kaçmış olur.

Başta düşük olan ihtimal zamanla yüksek ihtimale dönüşür. Örneğin 100 defa zar attığınızda 6 gelmesi neredeyse kesindir:

screenshot_20190326-155011_calculator.jpg
%99,99999879 ihtimalle 6 gelir.

Sonuç: Bir zar 100 defa atıldığında 6 gelmesi neredeyse kesinken, her atış tek tek incelendiğinde bu ihtimal hep 1/6’dır. İşte düşük ihtimalin zamanla yüksek ihtimale dönüşmesi buradan kaynaklanır.

O halde kendinize şu soruyu sormanız gerekir: “Kumarbaz mısın?” oynarken ne zaman durmanız gerekir?

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

“Kumarbaz mısın?” oyununu biraz değiştirelim. Diyelim ki turun bitmesini gelen zar etkilemesin. İlk oyundan en büyük farklar şunlardır:

  • Atılan tüm zarlar geçerli olsun.
  • Bir oyuncunun toplam sayısı 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 veya 45’ten biri olduğunda oyuncu topladığı tüm puanları kaybetsin ve zar atma sırası diğer oyuncuya geçsin.

Bu oyunda nasıl bir strateji izlerdiniz? Bir önceki oyuna göre ne gibi farklılıklar görüyorsunuz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s