Zalim Trafik Işığı
Hemen her gün aynı dört yol ağzından geçiyorum. Tabii olarak en uzun süre kırmızı yanan ışığın bulunduğu tarafı kullanmak zorundayım. Bir bakıma beklemek iyi geliyor: Hayatla ilgili bazı şeyleri düşünmeme olanak sağlıyor. Fakat düşüncelere matematik eğitiminin girmesi çok fazla zaman almıyor.
Bu kısa düşünce seanslarında aklıma takılanlardan biri matematiğin trafik ışıklarıyla ne tür bir ilgisi olabileceğiydi. Kısa bir araştırmadan sonra karşıma matematiğin en sevdiğim kısımlarından biri olan çizge teorisi çıktı.
Işık #1
Tek yön araç akışı olan ve yayaların karşıdan karşıya geçebildiği bir yol düşünün.Araçlar için olan ışığa A, yaya için olanaysa B diyelim:
Bu durumda kaza olmaması için A’da yeşil renk yanarken B’de kırmızı, B’de yeşil yanarken ise A’da kırmızı yanmalı. Her iki ışığın da kırmızı yanması kaza yok demekse de anlamsızdır; çünkü öyle bir durumda kimse yerinden kıpırdayamamış olur:
Bu durumu çizge teorisinde nokta ve çizgi olarak da gösterebiliriz. A ve B noktalar olurken, aralarında çizgi bulunması noktaların farklı renklerde olduğunu gösterir:
Aynı şeyi alan boyama ile de göstermek mümkündür: A ile B komşu iki ülke gibi düşünülebilir. Komşu ülkeler birbirleriyle karışmasın diye farklı renklerde boyanır:
Işık #2
İkinci örnekte gidiş-geliş bir yol ve yayalar için konan trafik ışıkları olsun. Araçlar için olan trafik ışıkları A ve B, yayalar için olansa C harfiyle gösterilsin:
Bu yolda C kırmızıyken A ile B’nin her ikisi veya herhangi biri yeşil yanabilir. C yeşilken ise A ile B’nin her ikisi de kırmızı olmalıdır:
Hepsinin kırmızı olduğunda kaza olmayacaksa da kimse bir yere gidemediği için bu durumu es geçeriz.
İkinci trafik ışığını çizge teorisinde ve harita boyamayla aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:
Kurallar belirlendikten sonra çizge teorisinin trafik ışıklarının yanış şeklini ne kadar daha sade açıkladığını görebiliyoruz.
Işık #3
İki yönlü bir yolda sağa dönüş ve yayalar için iki ışık koyulmuş bir durumu ele alalım:
Bu sefer öncekilere kıyasla görünürde çok daha karmaşık bir durumla karşı karşıyayız:
Fakat çizge teorisi ve harita boyamayla karmaşa çözülür:
Kaç Renk Yeter
İki nokta arasında bir çizgi varsa bu noktaların farklı renkte olması gerektiğini düşünerek aşağıdaki grafleri boyayalım.
Kromatik Sayı: Herhangi bir grafte renklendirme/boyama yaparken amaç en az sayıda renk kullanmaktır. İşte bu sayıya bir grafin kromatik sayısı denir.
Burada en az 3 renk gerekir. Yani grafin kromatik sayısı 3’tür. Grafe bir nokta ve çizgi daha ekleyelim:
Nokta ve çizgi sayısı artmasına rağmen kromatik sayı 2’ye düşer. Bir nokta ve çizgi daha eklersek:
Kromatik sayı yine 3 olur. Son bir defa daha nokta ve çizgi ekleyelim:
Kromatik sayı tekrar 2’ye düştü.
Devam edecek…
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Burada gerçekleşen şey ne? Ne fark ettiniz? Neden öyle oluyor?
Kromatik sayıyı nasıl artırabilirsiniz?
M. Serkan Kalaycıoğlu
kmatematikatolyesi.com 