Matematik Atölyesi – Algoritma #5

Doğru Pizza Dilimi

Üç arkadaş üç farklı pizza dilimini paylaşacaktır.

Pizzalar:

68591

Pizza 1: Dört peynirli.

20665-white-chicken-pizza-600X600

Pizza 2: Tavuklu.

pineapple pizza

Pizza 3: Ananaslı.

Üç arkadaş bu üç pizzayı altı şekilde paylaşabilir:

20190514_170727.jpg
P1:Pizza 1, P2:Pizza 2, P3:Pizza 3.

Ne Kadar Çok İstiyorsun?

Birer dilim pizza yemek çok basit bir işmiş gibi görünse de olayın arka planında tahmin edilemeyecek kadar çok detay vardır. Öncelikle bu üç dilimin maliyeti işin içindedir. Bir de tercih meselesi vardır; malum herkesin damak tadı aynı değil.

Diyelim ki bu üç dilim toplam 6 lira tuttu. Ali, Steve ve Jane için pizza tercihleri de aşağıdaki gibi olsun:

  1. Ali için ilk tercih dört peynirli. Eğer onu alamazsa tavuklu; son tercihi ise ananaslı.
  2. Steve için ilk tercih tavuklu, ikincisi ananaslı ve son olarak dört peynirli.
  3. Jane’in tercihleri sırasıyla tavuklu, dört peynirli ve ananaslı şeklindedir.

Bu durumda kimin hangi dilimi kaç liraya alacağına (adil bir şekilde) nasıl karar verilebilir?

Ev Arkadaşı Problemi (Kira Harmonisi Problemi)

İki (veya daha fazla) arkadaş kiraladıkları evde odaları ve kirayı adil olarak nasıl bölüşür sorusu uzun yıllar matematikçileri meşgul etmiştir. Ev arkadaşı problemi olarak bilinen bu soru adil paylaşmanın en bilindik problemlerinden biridir.

Ev arkadaşı probleminin adil ve kıskanç olmayan çözümlerinden biri 2004’te yayımlanan Atila Abdulkadiroğlu, Tayfun Sönmez ve Utku Ünver’in ortak çalışmasında yer alır. Bu üçlünün açık artırma algoritması adil paylaşımın en ünlü çözümlerinden biridir. (Hatta ev arkadaşı problemini çözmek için kurulmuş olan Spliddit isimli web sitesinde uzun yıllar 2004’teki algoritma kullanılmıştı.)

Algoritmanın İşleyişi

  • Kirayı bölüşecek kişiler kapalı her oda için kapalı zarfta teklif verir. Odalara yapılan teklifler toplam kirayı vermelidir. (Örneğin 3000 liralık bir evdeki iki odaya yapılacak tekliflerin toplamı tam olarak 3000 lira etmelidir.)
  • Zarflar herkesin gözü önünde açılır. Bir odanın kazananı o odaya en yüksek teklifi yapandır.
  • Bir oda için teklifi kazanan kişinin diğer teklifleri geçersizdir.
  • Kazanan tüm teklifler toplanınca tam olarak kiraya denk geliyorsa, herkesin vereceği miktar belirlenmiş demektir.
  • Eğer tekliflerin toplamı kiradan az veya fazla ise, basit orantı işlemleriyle herkes için verilmesi gereken kira belirlenir.

Pizza Dilimi Cevabı

Üç arkadaşın pizza dilimi seçimi açık artırma algoritmasıyla çözülebilir. Üçlünün kapalı zarf teklifleri aşağıdaki gibi olsun:

20190514_170542.jpg

Tek tek pizzalara bakıldığında ilk pizzayı Ali 4 liraya, ikinciyi Steve 4 liraya, üçüncüyü ise Jane 2 liraya kazanmış olur:

Tekliflerin toplamı

4 + 4 + 2 = 10

liradır. Teklif toplamları pizza dilimlerine verilecek 6 liradan fazla olduğu için tekliflerin oranları hesaplanır:

20190514_170507.jpg

Bu durumda Ali ve Steve 4 lira vermeye hazır oldukları pizza dilimlerine 2,4’er liraya, Jane ise 2 lira vermeye hazır olduğu pizza dilimine 1,2 liraya kavuşur. Algoritma sonucunda hem herkes istediği pizza dilimini düşündüklerinden daha ucuza almış olur.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s