Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #18

Her sene Aralık ayı gelip çattığında şehirlerin görüntüsü bir anda değişir. Etraf yeni yılın gelişini müjdeleyen süslemelerle donatılırken alışveriş merkezlerinde, ofislerde ve hatta evlerde aşağıdaki gibi süslere rastlanır:

Ali hoca da her sene olduğu gibi sınıflarını süslemeye başlar. Fakat hoca, bu seneki süslemelerinde matematiği de kullanmayı aklına koymuştur.

Yeni Yıl Süsü Oyunu (Y.Y.S.O.)

Ali hocanın yarattığı Y.Y.S.O. iki kişilik bir oyundur. Bu yüzden sınıftaki öğrenciler ikişerli gruplara ayrılır ve her grubun kazananı bir sonraki tura yükselir. Oyunu kazanan öğrenci yeni yıl süslerinin sahibi olur ve sınıfı istediği gibi süsleyebilir.

Oyunun İçeriği

  • Her grupta aşağıdaki gibi 4 adet süs vardır:
  • Oyuncular sırayla bu süsleri birbirine dolar.
  • Dolama işlemi rakipten gizli yapılır.
  • Süsleri dolarken her oyuncunun en fazla dört hamle şansı vardır. Hamleden kast edilenin ne olduğu şöyle bir örnekle gösterilebilir:

İlk hamlede kırmızı süs aşağıdaki gibi dolandırılıyor olsun:

Bu, bir hamle sayılır. Kırmızı süs, mavi ve yeşil süsün altından geçirilmiştir. Sonraki iki hamle sırasıyla sarı ve mavi süsten gelsin:

Sarı süs, yapılan hamleyle yeşil ve kırmızının altından geçirilmişken; mavi süs, yeşil ve sarının üstünden geçirilmiştir. Böylece üç hamle sonucunda süsler yukarıda (sağda) görüldüğü gibi birbirine dolandırılmış olur.

Süslerin bu birbirine dolandırılmış hali aslında bir örgüdür.

Oyunun Amacı

Bir turdan galip ayrılmanız için rakibinizin yaptığı örgüyü ondan daha kısa sürede çözmeniz gerekir. (Not: Örgü çözüldüğünde ilk durumdaki gibi sıralanmış olmalıdır. Yani, yukarıdaki örnek için örgünün çözümünde süslerin renkleri soldan sağa sırasıyla sarı-yeşil-mavi-kırmızı olmalıdır.)

Örgüler

Hayatın içinde önemli bir yere sahip olan örgüler sadece yıl başı süslerinde değil, her an yanı başımızda kendini gösterir. Bazen bir peynirde, bazen saç şeklinde, bazen de bir sepette:

Kimi zaman da bir bileklikte:

Matematikte örgünün ne manaya geldiğini anlamak için Avusturyalı matematikçi Emil Artin’in 1920’lerde yaptığı çalışmalara göz atılabilir.

Gelin aşağıdaki örgüye birim örgü diyelim:

Ali hocanın oyununda amaç herhangi bir örgüden birim örgüye dönmekti. Bunu yapabilmek için Artin’in açığa çıkardığı bazı örgü özelliklerinden yararlanabiliriz.

Birinci örnek: İki ip ile örgünün çözülmesi.

Diyelim ki aşağıdaki gibi iki ipimiz olsun:

Soldaki, sağdakinin altından geçiyor.

Bu ipin tersi aşağıdaki gibi olur:

Bu sefer sağdaki, soldakinin altından geçiyor.

Eğer bu ikisi birleştirilirse ipler (uçlarından tutularak gerdirildiği takdirde) birim örgü haline döner:

İkinci örnek: Üç ip ile örgünün çözülmesi.

Üç ip alın ve aşağıdaki gibi örgü haline getirin:

Bu örgüde (yukarıdan aşağıya doğru) 3 kesişen yer vardır:

1: Yeşil, mavinin üstünden.

2: Kırmızı, yeşilin üstünden.

3: Mavi, kırmızının üstünden.

Yapmanız gereken şey, bu işlemleri sondan başlayarak tekrarlamaktır. O halde hamleler şu sırayla yapılır:

Birinci hamle: Mavi, kırmızının üstünden.

İkinci hamle: Kırmızı, yeşilin üstünden.

Üçüncü hamle: Yeşil, mavinin üstünden.

Bu ikisi birleştirilip her örgü iki ucundan çekilirse, sonuç birim örgü olur. Deneyin ve sonucu kendi gözlerinizle görün.

Kağıt ve Örgü

Bir A4 kağıdını alın ve kağıda falçata yardımıyla aşağıdaki gibi kesikler atın:

Şimdi kağıdı iki ucundan tutup yan çevirin. Karşınıza bir tür örgü çıkacaktır:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  • Ali hocanın oyununda Emil Artin’in özelliklerinden nasıl yararlanabilirsiniz?
  • İkinci örnekte ipleri 90 derece sola yatırın. Soldan başlayarak iplerin kesişimlerini inceleyin. Ne görüyorsunuz?
  • Ali hocanın oyununu A4 kağıdı ile oluşturacağınız örgü ile oynayın. (Bunun için kağıda 3 veya 4 kesik atmanız yeterlidir.)

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Graf #7

Serkan Hocanın Sistemi

Serkan hoca öğrencilerine her hafta belli sayıda soru verir. Bu sorulardan bir veya daha fazlasını çözen öğrenciler, çözdükleri soruların karşılığında bir ödül alır. Ödülü belirlemek için her dönem başında Serkan hoca ile sınıfları arasında bir anlaşma yapılır. Bu dönem için yapılan anlaşmaya göre ödül olarak oreo dağıtılacaktır:

10 soru verilirse:

  • 10, 9 ve 8’ini yapanlar 10 oreo,
  • 7, 6 ve 5’ini yapanlar 5 oreo,
  • 4, 3 ve 2’sinin yapanlar 2 oreo,
  • 1’ini yapanlar 1 oreo,
  • Hiç soru yapmayanlar ise oreo almayacaktır.

Dikkat edenler Serkan hocanın oreo ödüllerinin bir mantığı olduğunu anlamıştır: 10, 5, 2 ve 1.

Bunlar, soru sayısını (yani 10’u) kalansız bölen doğal sayılardır.

Ödül Dağıtım Makinesi (Ö.D.M.)

1 ay sonra…

Ödül sistemi başlayalı 4 hafta geçmişken Serkan hoca önemli bir sorunla karşı karşıya kalmıştı. Toplam 10 sınıfı olan Serkan hoca, her hafta birkaç saatini ödül dağıtmakla geçirmişti.

Neredeyse okuldaki tüm boş vaktini oreo dağıtmakla geçiren Serkan hoca, ödül dağıtımını kolayca halletmek için bir makine tasarlamayı düşünür:

  • Ö.D.M. 4 hazneden oluşacak. (10, 5, 2, ve 1’den dolayı.)
  • Haznelerin sırasıyla 10, 5, 2 ve 1 oreoluk kapasitesi olacak.
  • Makineye oreo girişi 10’luk hazneden olacak. Kurulan bağlantılarla diğer haznelere buradan oreo aktarılacak.
  • Altın Kural: Herhangi iki hazne arasında bağlantı olması için bu iki haznenin kapasiteleri birbirine kalansız bölünebiliyor olmalı.

10 soru için Ö.D.M. bağlantıları:

  • 10’luk hazne ile 5, 2 ve 1’likler arasında.
  • 5’lik hazne ile 10 ve 1’likler arasında.
  • 2’lik hazne ile 10 ve 1’likler arasında.
  • 1’lik hazne ile 10, 5 ve 2’likler arasında.

O halde Ö.D.M.’nin krokisi aşağıdaki gibi olur:

Yine mi graf?!

Graf teorisiyle tanışıklığınız varsa (veya blogda yer alan graf yazılarını okuduysanız), Serkan hocanın yarattığı sistemin aslında bir tür düzlemsel graf olduğunu fark etmişsinizdir:

10 soruluk Ö.D.M.’nin graf olarak gösterimi.

Birbirine kalansız bölünebilen sayılar (yani noktalar) arasında düzlemselliği bozmayacak şekilde (yani birbirini kesmeyecek şekilde) bağlantılar (yani çizgiler) çekilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki Serkan hoca soru sayısını değiştirip 12 yaparsa ne olur?

12 soru için ödüller 12’yi kalansız bölen doğal sayılardır: 12, 6, 4, 3, 2 ve 1.

Bu durumda Serkan hoca makinesini kurabilir mi? Bir diğer değişle 12’lik Ö.D.M. için bağlantılar (birbirini kesmeyecek şekilde) yerleştirilebilir mi?

Örnek dizilim.

İpucu: Önce hangi noktalar arasında çizgi çekilmeli ona bakın. Ayrıca noktalar istenilen şekilde dizilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesinde Ne Var?

Matematik Eğitimi

Size ufak bir hikaye anlatmam gerek. 2009’da lisans derecemi aldıktan sonra bir dershanede çalışmaya başlamıştım. Böylece öğretmenlik yeteneğine sahip olup olmadığımı görecektim. Tecrübe kazanana dek belirlenmiş boş bir sınıfa oturup sorusu olabilecek öğrencilere yardımcı olmak için saatlerce bekliyordum. Bu iş bana çok kolay geliyordu, sanki okulda arkadaşlarımla çözemediğimiz sorulara bakıyor gibi hissediyordum. Fakat bazı günler saatlerce kimse soru sormaya gelmiyordu. Bu günlerden birinde elime tebeşiri alıp tahtaya çıktım. Boş sıralara ders anlatacaktım. Aklıma nedense logaritma konusu gelmişti. “Logaritma nedir?” diye bir başlık attım ve logaritmanın tanımını yaptım.

Boş sıralarda oturan hayali öğrencilerimden biri “Peki ama hocam logaritma ne? Hangi ihtiyaçtan dolayı çıkmış? Kim bulmuş? Şu an hangi alanda kullanıyoruz ve ne işe yarıyor?” diye soru bombardımanına başladı. Bu sorulara verdiğim cevaplar ya yetersizdi ya da hiç yoktu. O gün fark ettim ki, matematik yapmayı biliyordum ama matematiğin ne olduğunu bilmiyordum.

2009’un sonbaharında yaşadığım bu olaydan sonra matematik öğrenmeye başladım. Dokuz yıl dolmak üzere ve “ben bunu nasıl daha önce öğrenmemişim?” demediğim gün neredeyse yok. Her gün saatlerce okuyorum, izliyorum, dinliyorum… ve çok az yazıyorum. Son 1,5 yıldır aldığım notları temize geçirmeye ve bir program yapmaya çalışıyorum. Hazırladığım etkinliklerin neredeyse tamamını öğrencilerimle deneyip sonuçları gözlerimle gördüm. Eğitim sistemini değiştirmek gibi bir misyonum yok. Ama elimden geldiği kadarını yapmak ve seneler süren uğraşımı gerçeğe dönüştürüp öğrencilere yardımcı olmak istiyorum.

Atölyede Neler Olacak?

Şimdi sıra etkinlikleri uygulayabileceğim sınıflar kurmaya geldi. Bu sınıflarda öğrenciler matematiğin m’sini kullanmadan matematik öğrenecekleri saatler geçirecek, sonuç bulmak için değil soruyu anlamak için düşünmeye başlayacak, matematik ve bilim tarihinden hikayeler öğrenecek, tarihe geçmiş bilim insanlarından haberdar olacak, korktukları matematiğin aslında gerçek matematik olmadığını görecekler. “Bunlar ne işimize yarayacak?” sorusuna yanıt bulmadıkları gün olmayacak. Etkinliklerin içerikleriyle ilgili zamanla unistalker.com sitesine yazı ve videolar yükleyeceğim.

Detaylı bilgi almak için bana yorumlardan veya facebook sayfamdan ulaşabilirsiniz.

M. Serkan KALAYCIOĞLU

Ben Buldum!

      Her bilim insanı “evreka” diyeceği anı düşleyerek çalışmasını sürdürür. Çünkü bu kelime, bilim insanlarına sonsuz bir şöhret ve çok büyük mad­di kazanç getirir. 2002’de Rus matematikçi Grigori Perelman, yüz yıldır çözülemeyen Poincare sanısı problemini çözdü. Ama çözümü hakemli bir dergide ya­yımlatmak yerine bir internet sayfa­sına yükledi. Bir grup Çinli matema­tikçinin yayımladıkları makalelerle çözümün kendilerine ait olduğunu iddia etmesinin ardından yaşanan tartışmalar sebebiyle matematiğe küsen Perelman 2005’te matematiği bıraktı. 2006’da matematiğin Nobel’i sayılan Fields madalyasını, 2010’da ise Clay Enstitüsü’nden kazandığı bir milyon doları reddeden Perelman, şu aralar Saint Petersburg’da annesiyle beraber yaşıyor ve ne ile uğraştığı bilinmiyor. Aslında bu yaşananlar ilk değil. Bilimsel buluşların sahiplenil­mesi daha önce de tartışmalara konu olmuştu. Tarihin en sancılı “bunu kim buldu” tartışmalarından biri için ise 350 yıl öncesine gitmeliyiz.

Ben Buldum - Görsel 1
Grigori Perelman – Wikipedia

            Matematiğin temel yapı taşı olarak bilinen alanına kalkülüs deriz. Söz­lük anlamı “hesap yapmak için kullanılan çakıl taşı” olan kalkülüsün iki ana damarı vardır: İntegral kalkülüs ve diferansiyel (türev) kalkülüs [Latin­ce integralis (parçaların bütünü, birleş­tirme) ve differentialis (farklarını alma, parçalarına ayırma)]. Bu dalın kullanım alanları mühendislikten ekonomiye, bi­yolojiden kimyaya kadar gider. Bilimin birbirinden bu kadar farklı alanlarında kullanılan kalkülüsün bulunuş hikâyesi, bilim tarihinin en dramatik olayları ara­sında ilk sıralarda gelir.

        17. yüzyıl modern bilimin doğduğu yüzyıl olarak bilinir. Kalkülüs, bu yüz­yılda ortaya çıkmış ve etrafımızda olup biteni açıklamaya çalışan bilim insanla­rına bir temel olmuştur. Kalkülüsün bu­lunmasında iki büyük figürün rol aldığı bilinir: İngiliz Isaac Newton ve Alman Gottfried Wilhelm Leibniz.

            Isaac Newton, modern bilimin babası olarak gösterilir. 1661’de Trinity College’da yüksek öğrenimine başlayan Newton, ortalama bir öğ­renciydi. Çünkü zekâsını evrende meydana gelen hareket olaylarını açıklamaya adamıştı. Küt­leçekimi, optik, ışık ve renk üzerine yazdığı teoremler hâlâ geçerliliğini koruyor. Gezegenlerin ve yıldızların nasıl hareket ettiğini onun sayesin­de biliyoruz.

Ben Buldum - Görsel 2
Leibniz’in su çarkı modeli. Fotoğraf: Wilhelm Hauschild (1932).

            Gottfried Leibniz ise uluslararası bilim çevrelerinde tanınmasına rağmen hiçbir zaman akademisyen olarak çalışmadı. Çok yönlü bir bilim insanı olmasıyla ün yapan Leibniz’in katkı verdiği bilim dalları arasında tarih, ekonomi, teoloji, dil bilimi, biyoloji, jeoloji, hukuk, diplomasi, politika, matematik, mekanik ve felsefe bulunur. Le­ibniz, Nuremberg Üniversitesi’nden hukuk derecesi aldıktan sonra eğiti­mine devam etmek için Mainz’a yer­leşmişti. Mainz prensine danışman­lık yaptığı sırada Fransa kralının Osmanlı İmparatorluğu’na saldır­masını sağlamak için Paris’e giden Leibniz, girişiminde başarısız olun­ca, kendisine akademik dünyada bir yer edinmek için Fransa’da kalmaya karar verdi.

Ben Buldum - Görsel 3
Leibniz’in hesap makinesinin replikası. Alman Müzesi, Münih.  

            Newton ise 1665’te Londra’daki veba salgını nedeniyle Cambridge Üniversitesi’ni terk edip doğduğu şehir olan Woolsthorpe’a geri dön­müştü. İzole halde geçirdiği iki sene içinde kalkülüs dâhil olmak üzere birçok buluşa imza atan Newton işe başladığında, Galileo’nun çoğu nitel olan düşünceleri ile Kepler’in hare­ket yasası dışında kendisine yardım edecek çok fazla çalışma yoktu. İşte böyle bir ortamda, kişisel notlarına göre 1665’in Şubat ayında kalkülü­sün temelini oluşturan fikirlerini üretmişti. Cambridge’e geri dön­dükten sonra yazdığı 1669 tarihli De analysi per aequationes infinitas ve 1671 tarihli De methods serierum et fluxion başlıklı kitaplarında akıların yöntemlerini, yani integral ve dife­ransiyel (türev) kalkülüsü açıkladı. Fakat akademik çevrelerin, özellikle daha önce ışık teoremi üzerine yaz­dığı bir makaleden dolayı sorun ya­şadığı Robert Hooke’un yapacağını düşündüğü eleştirilerden korkan Newton, kitaplarının basılmasına izin vermemişti. Çalışmalarını gös­terdiği birkaç isim arasında eski öğ­retmeni olan ünlü matematikçi Isa­ac Barrow, İngiltere’nin bilim mer­kezi olan Royal Society’nin sekreteri Henry Oldenburg ve Newton’un ki­taplarını basmaya uğraşan matbaacı John Collins vardı.

görsel1
Newton’un kişisel notlarının ilk sayfası: “Not fit to be printed” – “Basılmaya uygun değil”. Cambridge Üniversitesi Kütüphanesi.

            Leibniz 1673’te Londra’ya gidip birçok ünlü matematikçi ile tanış­mıştı. Londra’da geçirdiği iki aylık sü­rede Oldenburg ve Collins ile iyi iliş­kiler kurmuş, Isaac Barrow’un not-larına ulaşmıştı. Çalışmaları saye­sinde Royal Society’e kabul edilen Leibniz, Paris’e döndüğünde Mainz prensinin öldüğünü ve işsiz kaldığı­nı öğrendi. Bundan sonraki iki yılda gözden kaybolup kendini çalışmala­rına adayan Leibniz, kişisel notlarına göre 1675’te kalkülüsü bulmuştu. Bu tarihten itibaren matbaacı Collins ve Royal Society’nin sekreteri Olden­berg ile yaptığı yazışmalarda bulu­şundan bahseden Leibniz, Newton ile hiç doğrudan temas kurmamıştı.

            Daha sonra Oldenberg’in ikna ettiği Newton, 1676’nın Haziran ve Ekim aylarında Leibniz’e iki mektup yolladı. Bu mektuplarda çok az detay veren Newton, ikinci mektubunda kodlanmış bir şekilde akı yöntemini bulduğundan bahsetmiş ve başka açıklama yapamayacağını belirtmiş­ti. Londra’ya ikinci defa giden Leib­niz, notlarını John Collins’e gösterip ondan Newton’un kalkülüs notlarını aldı. Bu noktada yaşananlar, ileride Newton’un Leibniz’i hırsızlıkla it­ham etmesine neden olacaktı. Fakat Leibniz, Newton’un notları eline geç­meden önce kendi kalkülüs yöntem­lerini üretmişti bile.

            Londra’dan sonra Almanya’ya geçen Leibniz, 1684’te Leipzig Üniversitesi’nde integral ve diferan­siyel kalkülüsü açıklayan Acta Erudi­torum adlı kitabını yayımladı. İki yıl sonra yeni bir makale yazan Leibniz, iki yayınında da Newton’dan bahset­memişti. Newton ise ünlü Principia Mathematica adlı kitabını yazmayı 1686’da bitirmişti, fakat kitap ancak 1693’te basılabildi. Newton bu kitap­ta John Collins’e 1672’de yolladığı ve kalkülüs yöntemlerini içeren mek­tuba yer vermişti. En büyük rakibi olarak gördüğü Robert Hooke’un ölümünden sonra Royal Society’nin başkanı olan Newton, bir yıl sonra 1704’te Optika isimli kitabını yayım­ladı. Newton Optika’da akı yöntemini detaylarıyla açıklamıştı.

            Optika’dan sonra bilim dünya­sı hayrete düşmüştü. Newton ve Leibniz’in kalkülüs için kullandıkları yöntem ve semboller tamamen fark­lıydı. Ama bir probleme uygulanınca iki yöntem de aynı sonucu veriyordu. İki büyük bilim insanının aynı anda, farklı yöntemler kullanarak kalkülü­sü keşfetmiş olduğuna kimse ihtimal vermiyordu. Genel görüş birinin kal­külüsü bulduğu, diğerinin ise “hır­sız” ya da “ikinci keşfeden” olduğuy­du. “Kalkülüsü kim buldu” tartışma­sına en başta katılanlar, Newtoncular ile Leibnizcilerdi. İlk önce, matema­tikçi bir aile olan Bernoulli kardeşler­den bir makale geldi. Leibniz’in bir­leştirme yöntemine “integral” ismini veren ünlü matematikçi Johann Ber­noulli, sadece Leibniz’in kalkülüsü bulduğunu iddia etmekle kalmamış, Newton’un Leibniz’in yöntemleri­ni çaldığını da söylemişti. Newton tarafında ise büyük matematikçiler yoktu. Almanya’yı sevmeyen John Wallis’in de etkisiyle Newtoncuların genel kanısı, kalkülüs’ü ilk bulanın bir İngiliz olması gerektiğiydi. Yani akademik bir konu, iki ulus arasında gurur meselesine dönüşmüştü.

            Newton’un öğrencilerinden biri olan John Keill’in 1708’de yazdığı bir makale ise ipleri gerecekti. Ke­ill makalesinde kalkülüsü keşfeden kişinin Newton olduğunu kesin bir dille belirtmişti. İki yıl sonra eline geçen makaleye çok sinirlenen Le­ibniz, Royal Society’e bir mektup gönderip özür talep etti. Keill, Royal Society’nin başkanı olan Newton’un izniyle ikinci bir makale daha yayım­lamıştı, fakat yazısında herhangi bir özür yoktu. Leibniz karşılık olarak Newton’un kalkülüs çalışmalarıyla ilgili isimsiz bir analiz yazısı yazmış ve kalkülüsü kendisinin bulduğunu iddia etmişti.

            Newton her iki bilim insanının da Royal Society üyesi olduğunu belirterek çözüm bulmak için bir ko­misyon kurulmasına karar vermişti. Ancak burada bir sorun vardı. Komis­yonun başkanı, Royal Society’nin de başkanı olan Newton’du. Komisyona seçilen üyeler ise matematik konusunda bilgisizdi, hatta bu üyelerin kimler olduğu an­cak iki yüz yıl sonra açıklandı. Yani kararı Newton verecekti. Kısa bir süre sonra komisyon Newton’un kal­külüsü ilk bulan kişi olduğuna, ama Leibniz’in de kalkülüs sembollerini üreten kişi olduğuna karar verdi. Leibniz’in kalkülüs yöntemlerini kullanmayı reddeden İngiliz bilim insanları, sonraki iki yüz yıl boyunca matematikte Avrupalı meslektaşları­nın gerisinde kalacaktı.

            Bugün genel kanı Newton ile Leibniz’in kalkülüsü birbirlerinden bağımsız olarak keşfettikleri yönünde. Fakat bilimsel bir keşfi kimin yaptığı tar­tışması, bazen haksız yere bir haya­tın kararmasına neden olabiliyor. Hikâyemizde zarar gören taraf ise Leibniz olmuştu. Şu anda okutulan tüm kalkülüs kitaplarında onun yön­temleri ve sembolleri kullanılıyor olmasına rağmen, tüm zamanların belki de en çok yönlü bilim insanı olan Leibniz, hayatının son yıllarını yalnız, beş parasız ve tüm saygınlığı­nı yitirmiş olarak geçirmişti.

görsel2
Newton ile Leibniz’in türev metotlarının karşılaştırılması. Leibniz’in türev yöntemi daha kısa ve matematikçiler için anlaşılması daha kolay olmak ile birlikte kullandığı semboller günümüzde geçerliliğini koruyor.

Kaynak

Hofmann, J., Leibniz in Paris 1672-1676: His Growth to Mathematical Maturity, Cambridge University Press, 1974.

Hall, R., Newton versus Leibniz: from geometry to metaphysics, edited by I. Bernard Cohen,

Cambridge University Press, s. 431-454, 2002.

Leibniz, G. W., The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz; Translated and with and Introduction by J. M. Child, Dover Publications, 2005.

Cajori, F., “Who was the first inventor of the calculus?”, The American Mathematical Monthly, Cilt. 26, s. 15-20, 1919.

Cajori, F., “The Spread of Newtonian and Leibnizian Notations of the Calculus”, Bulletin of the American Mathematical Society, 1921.

Hall, R., Philosophers at War, Cambridge University Press, 2002.

Bardi, J. S., The Calculus Wars: Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time, Thunder’s Mouth Press; Second Printing edition, 2006.

 

1200 Yıllık Otomasyon

Çocukluğuma dair anılarımın bir kısmını televizyon dizileri oluşturuyor. Hatırladıklarım arasında öne çıkanlardan biri David Hasselhoff’u ünlü yapan Kara Şimşek dizisidir. Kara Şimşek’te Hasselhoff’un canlandırdığı karakter olan Michael Knight suçlulara karşı savaşan eski bir polisti. Yardımcısı ise Kitt isminde yapay zekaya sahip bir spor arabaydı. Kitt kendi başına gidebilmesinin yanı sıra konuşabiliyor, hatta bir insan gibi düşünebiliyordu. Kara Şimşek’te beni en çok etkileyen şey de buydu. Bir makine programlanıp neredeyse kendine has bir bireye dönüşmüştü. Makinelerden bahsediyorsak MS 9. yüzyılın Bağdat’ında yaşamış olan üç kardeşten mutlaka söz etmeliyiz. Çünkü bu kardeşler günümüzden yaklaşık 1200 yıl önce programlanabilen ve kendiliğinden çalışabilen bir aletin çizimini yapmıştı.

            İslam imparatorluğunun en güçlü dönemi ismini Hz. Muhammed’in amcasından alan Abbasi dönemiydi. Abbasi devleti zamanının en güçlüsü olmanın yanı sıra beş asır boyunca bilimin de öncüsüydü. Abbasilerin ilk yıllarında Araplar kültür, sanat ve bilim alanlarında gelişmiş bir toplum değildi. 786’da devletin başına geçen Harun Reşid ile başlayan tarihin ilk rönesansı Arap toplumunda matematik, astronomi ve mühendislik başta olmak üzere bilimin farklı alanlarına ilgi duyulmasına yol açtı.

            Toplumda yaşanan değişimler o zamanlar sade bir vatandaş olan Musa ibn Şakir’i de etkilemişti. Geçim kaynağı hırsızlık olan Musa, etrafındaki değişime kulak vermiş ve bir süre sonra astronomi üzerine çalışmaya başlamıştı. Bu sırada Harun Reşid’in küçük oğlu El Memun ile bir dostluk kurmuştu.

            809’da Harun Reşid’in ölmesinden sonra gelecek halife için iki aday vardı: El Emin ve El Memun. Aralarında yaşanan savaştan galip çıkan El Memun 813’te Abbasi Devleti’nin yeni halifesi olmuştu. Yirmi yıl süren halifeliği süresince eğitimde yaptığı atılımlar 9. yüzyıldan 13. yüzyıla kadar bilime Arapların öncülük yapmasını sağladı. 832’de kurduğu Beyt’ül Hikmet, yani Bilgelik Evi, kendisinden yüzlerce yıl sonra Batı Avrupa devletlerinde kurulan bilim akademilerinin ilk modern örneğiydi. El Memun’un maddi ve manevi olarak destek verdiği bilim insanları arasında cebirin yaratıcısı olarak görülen El Harezmi, bir çok bilimsel esere katkı veren Kindi ve Öklid’in Elementleri’ni Arapça’ya tercüme eden ilk kişi olarak bilinen Hacac ibn Yusuf vardı. Fakat El Memun’un yardım ettiği bir aile matematik, geometri, mekanik ve astronomi alanlarında tarihi değiştirecek kadar önemli çalışmalar yapmıştı.

Beni Musa Kardeşler

            El Memun’un yakın arkadaşlarından biri haline gelen Musa ibn Şakir öldükten sonra geride bıraktığı oğulları Muhammed, Ahmed ve Hasan halifenin koruması altında büyüdü. Bu sayede Beni Musa kardeşler olarak bilinen üç kardeş Abbasi Devleti’nin başkenti olan Bağdat’da geometri, matematik, mekanik, müzik ve astronomi alanlarında zamanın en iyi eğitimlerinden birini aldı.

            Halife El Memun Antik Yunan bilimine duyduğu ilgi sebebiyle antik kitapların Arapça’ya çevrilmesini emretmişti. Bilgelik Evi’nde çalışmalarına başlayan Beni Musa kardeşler de antik eserlere büyük ilgi göstermişti. Kardeşler antik eser bulmak amacıyla Bizans İmparatorluğu’na bir sefer yapmış ve buradan aldıkları el yazması kitapları Bağdat’a götürürken tercüman ve matematikçi Sabit ibn Kurra ile tanışmıştı. Sabit ibn Kurra’yı Bağdat’a gelmeye ikna eden Beni Musa kardeşlerin beraber çalıştığı tercümanların arasında en büyük kardeş Muhammed’in yakın arkadaşı Hunayn ibn İshak da vardı. Beni Musa kardeşler halifenin desteği sayesinde Yunan bilim insanlarının çalışmalarına sahip olmuştu.

            El Memun 833’te ölünce sırasıyla El Mutasım ve El Vasık halife olmuştu. 847’ye gelindiğinde Abbasiler’in başına geçen El Mütevekkil kendiliğinden çalışan makinelere büyük ilgi duymuştu. Bu ilgi Beni Musa kardeşlerle halifeyi yakınlaştırmıştı. Özellikle El Vasık’ın halifeliği sırasında Bilgelik Evi’nde bilim insanları arasında başlayan rekabetten dolayısıyla üç kardeş ile Kindi’nin arası açılmıştı. Halifeden aldıkları güç sayesinde Kindi’nin kütüphanesini bir süre için ele geçiren Beni Musa kardeşler artık araştırmaları için maddi ve manevi tüm kaynaklara sahipti.

            Peki, kardeşler bu kaynaklarla ne yaptı?

Görsel 1
Beni Musa kardeşlerin Kitab al-Hay’a kitabından bir sayfa. Hatje Cantz.

Matematik ve Geometri

            Beni Musa kardeşler Arşimed ve Öklid gibi önemli Antik Yunanlıların bulduğu matematiği geliştiren ilk bilim insanları arasındaydı. Yazdıkları “Kitab marifat masakhat al-askhal” isimli kitapta uğraştıkları problemler Arşimed’in çember, küre ve silindirle alakalı problemlerine benziyordu. Kardeşler, Antik Yunan Eudoksos’un geometrik şekillerin alan ve hacimlerini hesaplamak için kullandığı tüketme yönetimine benzer bir yöntem de bulmuştu.

            Fakat Beni Musa kardeşleri Yunanlılardan farklı kılan şey düşünce tarzlarıydı. Öncelikle problemlerde geçen nesnelerin hareket halinde olduklarını düşündüler. Yunanlılar hacim ve alan hesabı yaparken sayı yerine oran kullanmıştı. Kardeşler ise bu hesapları yaparken sayı kullanmayı tercih etti. Bu sayede geometriyle alakalı yeni bir terminoloji yaratmış oldular. Ayrıca özel sayıları anlamlandırdılar. Örneğin pi sayısını açıklayan ifadeleri matematik dünyası için çok önemliydi: Çap ile çarpıldığında çemberin çevresini veren büyüklük.

            Beni Musa kardeşlerin geometri ve matematikle alakalı eserleri kendilerinden yüzlerce yıl sonra yaşamış olan Hayyam, Pisa’lı Leonardo (Fibonacci) ve Roger Bacon gibi önemli bilim insanlarına yol gösterdi.

Astronomi

            Üç kardeşin yazdığı bilinen yirmi kitabın yarısından fazlası astronomiyle alakalı araştırmalardan oluşuyor. Büyük kardeş Muhammed Kitab al-Hay’a, yani Astronominin Kitabı’nın yanı sıra bilinen yıldız ve gezegenlerin hareketlerini incelediği bir çok kitap yazdı. Muhammed’in Antik Yunan gök bilimci Batlamyus’un hareket kanunu üzerine geliştirdiği fikirlerini matematiksel olarak ispatlayan bir kitabı da kardeşi Ahmed yazdı. Beni Musa kardeşlerin yazdığı bilinen kitaplardan bir başkası güneş yılı diğeri ise astrolojik burçlar üzerineydi.

Görsel 2
Beni Musa kardeşlerin yazdığı Kitab al-Hay’a kitabının son sayfası. Topkapı Müzesi.

El Memun’un emri üzerine Bağdat’ın etrafına bir çok gözlemevi açan Beni Musa kardeşler, yaptıkları gözlemlerle bir güneş yılının 365 gün 6 saat olduğunu buldu. Yine halife El Memun’un isteğiyle Mezopotamya’nın kuzeyinde enlem derecesinin değerini bulmak için ölçüm yaptılar.

Mekanik

            Ortaçağda mekanik konusunda en yaratıcı gelişmeler İslam dünyasında yaşandı. Bu buluşların çoğu ustadan çırağa öğretildiği ve neredeyse hiç yazılı belge olmadığı için dünyanın diğer kesimlerinde bilinmiyordu. İslam dünyasında mekanik üzerine yazıldığı bilinen ilk kitap Beni Musa kardeşlere aitti. Kardeşlerin mekanik üzerine yaptığı çalışmanın başlangıç noktası İskenderiyeli Heron ve Bizanslı Filon’un kitaplarının tercümesiydi. Beni Musa kardeşler Heron ve Filon’nun kitaplarında geçen yüzün üzerindeki antik mekanik düzeneği geliştirdi.

Görsel3
Beni Musa kardeşlerin gaz yağlı lambasının nasıl çalıştığını gösteren bir çizim.

            Örneğin Filon’un mucidi olduğu gaz yağlı lambayı daha kullanışlı hale getiren Beni Musa kardeşlerdi. Buluşları o zaman için devrim niteliğindeydi. Lambanın üzerine ateş yaklaştırıldığında fitil kendiliğinden ortaya çıkıyor, fitilin çıkmasıyla birlikte gaz yağı fışkırmaya başlıyordu. Ayrıca tasarımı sayesinde rüzgar estiğinde bile lamba sönmüyordu.

            Beni Musa kardeşlerin icatları arasında fıskiye mekanizması, bilimsel araç gereçler, tarım makineleri, oyuncaklar ve saç tarağı vardı. Buluşlarının en önemlileri ise kendiliğinden çalışan mekanizmalardı. Vana sistemi ve etki-tepki sistemlerini icat eden Beni Musa kardeşler kendilerinden önce yapılan tüm mekanik sistemlerden farklı işler yapmıştı. Kardeşler mekanikle ilgili kitaplarında buldukları sistemlerin nasıl çalıştıklarına ve bu sistemlerin bir taslağına yer vermişti. Fakat Beni Musa kardeşlerin kitaplarında hangi malzemenin kullanılacağı, mekanizmanın boyutu ve nasıl üretileceği hakkında bilgi yoktu. Yine de yapıtları kendilerinden sonra gelen bilim insanlarının önemli icatlar yapmasına yardımcı oldu.

Müzik Aleti

            Bilim ve teknolojide her geçen yıl bir sonrakine kıyasla yavaş kalıyor. Evet, çocukken severek izlediğim Jetgiller’de olduğu gibi uçan arabalara hala sahip olmamamız beni hayal kırıklığına uğratıyor. Ama sadece 10 yıl öncesini düşününce dahi bilim ve teknolojinin ne kadar hızlı ilerlediğini görebiliriz. 2007’yi örnek vermemin nedeni ise Steve Jobs’ın akıllı telefonunu dünyaya o yıl tanıtmaş olmasıdır. Artık elimizden düşmeyen, neredeyse onsuz hayatı düşünemediğimiz akıllı telefonlar sadece 10 yıldır hayatımızda. Şimdi size vereceğim örnek ise tam 1200 yıl öncesinden kalma!

Görsel 4
Allah’s Automata kitabından. Beni Musa kardeşlerin müzik aletinin gerçeğe dönüştürülmüş şekli.

            Beni Musa kardeşlerin yaşadıkları çağdan ne kadar ileride olduğunu anlamak için bu örneği bilmek yeterli. Kardeşler icatlarına başlarken Arşimed’in rüzgarla çalışan enstrümanı ile Apollonius’un hidrolik aletini temel almıştı. İcat ettikleri müzik aleti kendi başına sonsuza dek çalışabilen ve aynı zamanda programlanabilen bir aletti. Kardeşler farkında olmasa da kendi zamanlarının neredeyse 1000 yıl sonrasındaydı. Çünkü 1801’de Joseph Marie Jacquard’ın mucidi olduğu halı dokuma makinesi, Beni Musa kardeşlerin çizimlerindeki aletlerle aynı mantıkta çalışıyordu.

            Maalesef Türkçe’ye henüz çevrilmedi ama İngilizce bilen okurlarımıza Beni Musa kardeşlerin çiziminin bir örneğini de barındıran Hatje Cantz’ın basımını yaptığı Allah’s Automata isimli kitabı okumalarını tavsiye ederim.

Görsel 5
Allah’s Automata, Hatje Cantz.

Yazan: Serkan Kalaycıoğlu

Kaynak

Muhammed (Banu Musa), Kitab al-Hiyal By The Banu Musa bin Shakir translated by Hill, D. R., Springer, 1979.

Tsugitaka, S., Quadrature of the Surface Area of a Sphere in the Early Middle Ages: Johannes de Tinemue and Banu Musa, International Journal of the History of Science Society of Japan, s. 61-90, 1985.

Yarshater, E. (Editör), Banu Musa: Encyclopedia Iranica, Cilt: 3, Routledge, s. 716-717, 1988.

Çeçen, K., Bir, A., TDV İslam Ansiklopedisi, Türkiye Diyanet Vakfı, Cilt: 5, s. 450-451, 1992.

Hockey, T., Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer, Cilt: 1, s. 92-93, 2007.

Netton, I. R. (Editör), Banu Musa: Encyclopedia of Islamic Civilisation and Religion, Routledge, s. 354-355, 2008.

Paz, E. B., Ceccarelli, M., Otero, J. E. ve Sanz, J. L. M., A Brief Illustrated History of Machines and Mechanisms, Springer, s. 65-66, 2010.

Zielinski, S., Weibel, P. (Editörler), Allah’s Automata: Artifacts of the Arab-Islamic Renaissance (800-1200), Hatje Cantz, 2015.

Battles, M., Library: An Unquiet History, W. W. Norton & Company, s. 62-63, 2003.

Matematiğin En Önemli Keşfi

Modern çağı yaşadığımız bu dönemde bile insanlık tarihiyle ilgili bir çok konu üzerine hala konuşuruz: ateşin ve yazının bulunması gibi. Nedense insanlık tarihinin en önemli olaylarından birinden bahsetmeyi ihmal ediyoruz: sayıların bulunmasından. Dikkat ederseniz ateş ve yazı gibi sayılar da bulunmuştur, icat edilmemiştir. Tekerlek ile bilgisayar icat edilmişken, ateş ile sonsuz boyutlu uzay ise bulunmuştur. Bir başka deyişle tekerlek ve bilgisayarı biz yaratmışken, ateş ve sonsuz boyutlu uzayın doğada kendiliğinden var olduğunu keşfetmişizdir.

Matematik denince akla gelen ilk şey sayılardır. Herhangi bir ortamda matematikçi olduğunuzu söylediğinizde en çok duyduğunuz şeylerden biri “o halde sayılarla aran çok iyi” cümlesidir. Peki matematiğin bel kemiği olduğunu düşündüğümüz sayılar hakkında neler biliyoruz? Sayılar nereden gelmiştir? Bugün kullandığımız sayı sembollerini ve sayı sistemini kimler bulmuştur ve bunların bize şu an faydası var mıdır?

Babil’den Hindistan’a: Modern Bilim Öncesi Sayılar

Çentik:

çentik

Bugün filmlerde hapishane duvarına çizilmiş olarak karşımıza çıkan bu semboller, aslında insanlık tarihinde bilinen ilk sayı sembollerinden birisidir. Her türlü gelişmede olduğu gibi, insanların ihtiyaçları sonucunda çentik sistemi de evrilmek zorunda kalmıştır.

Sümer ve Babil: Tarihte Mezopotamya uygarlığın doğduğu yer olarak geçer. Mezopotamya uygarlıklarının bu denli önemli olmalarının bir çok nedeni vardır. Örneğin bu uygarlıklarda sulama sistemleri, hukuk sistemleri ve hatta posta kurumları dahi bulunuyordu. Bunların yanı sıra yerleşik hayata geçtikten sonra ihtiyaç olan matematik konusunda da çok özel uygarlıklar burada yaşamış.

Kayıt tutulmaya başlanması ile sayılara ihtiyaç duyulmuştu. Önce semboller ve bazı kurallar icat edildi. Bu sembollerin belli kurallarda ilerlemeleri lazımdı ki toplama-çıkarma-çarpma-bölme yaparken kolaylıklar sağlansın. Uygarlıklar artık tarım için tarlaların alanlarını hesaplamak zorundaydılar. Kurulan pazarlarda alışveriş yaparken belli ölçüm sistemleri ve matematiğe ihtiyaçları vardı. Durum bu iken yaklaşık 5500 yıl önce yaşamış olan Sümerlilerin bulduğu sayı sistemini 1500 yıl sonrasında Bağdat civarında var olan Babil uygarlığı da kullanmış, hatta bugün dünyanın her yerinde modern insanlar Mezopotamya’da bulunan sayı sistemini kullanıyor.

sümer

Sümer ve Babillilerden günümüze kalan tabletler incelenince, sayıları göstermek için 60 tabanını baz aldıklarını görüyoruz. Tarihteki ilk sayı sistemi olan 60’lık sayma sistemi zamanla büyük sayıları göstermek için kullanışsızdı. El ile yapılan tüm işlemler, özellikle sayı büyüdükçe çok uzun zaman almıştı.

Neden 60?

İskenderiyeli Theon’a göre 1,2,3,4 ve 5 sayılarıyla tam bölünebildiği için 60.

Moritz Cantor’a göre Sümerliler bir yılı 360 gün olarak düşündükleri için 60.

Kimisine göre bir senedeki ay sayısı ile gezegenlerin (Merkür, Venüs, Mars, Jüpiter, Satürn) sayısının çarpımı olduğu için 60.

60 bugün ne işimize yarıyor?

Her ne sebepten olursa olsun Mezopotamya topluluklarının bulduğu 60 sayı tabanı gündelik hayatımız için de, matematiğin gelişmesi için de çok önemli. Bugün 1 saat=60 dakika, 1 dakika=60 saniye eşitlikleri bu sistem sayesindedir. Aynı zamanda bir çemberin merkezinin 360 derece kabul edilmesi de yine 60 tabanlı sayı sistemi sayesindedir.

Bugünden 5500 yıl önce bulunan bu sayı sistemi sayesinde insanın zamanı belli olmuştur. Ayrıca matematiğin geometri kısmının ilerlemesi için çok kilit bir yer tutan çember için de bir baz oluşturan yine 60 tabanlı sayı sistemidir.

Mısır: İnsanlık tarihinin en önemli uygarlıklarından biri olan Mısır uygarlığında matematik sosyal hayatta önemli bir rol oynamıştır. Bugün elimizde bulunan en eski matematik dökümanları olan Papirüsler sayesinde Mısır’da matematiğin nasıl geliştiği hakkında fikir sahibi olabiliyoruz.

mısır1

Mısırlılar bugün kullandığımız 10 tabanlı sayı sistemini ilk kullanan uygarlıktır. Ellerimizdeki parmak sayısını düşünerek geliştirilen bu sistem, hızlı saymayı da kolaylaştırmıştır.

mısır2

M.Ö. 1800’lerde Mısır uygarlığı sayıları göstermek için bazı semboller kullanmışlar. Görece ufak sayılar için kullandıkları sembollerden bazıları yandaki gibidir. Sayılar büyüdükçe yazımda kolaylık yapmak için ise yeni sembollere ihtiyaçları olmuş. Örneğin 100.000 sayısını göstermek için kuş çizimlerini kullanmışlar. Fakat şekilde de gördüğümüz üzere, özellikle kesirli sayıların gösterimi yeterince karışık ve de uzun olmuştur. Medeniyetlerin büyümesi ile daha kolay sayı gösterimi ihtiyacı devam etmiştir.

Helenistik dönem ve Roma:

roma1

Bugün çoğu zaman geometride veya felsefede isimlerini duyduğumuz Antik Yunan düşünürleri aslında matematiğin gelişmesine bir çok alanda yardımcı olmuşlardır. Yunan matematikçileri, Mısırlılara benzer bir şekilde 10 tabanını baz alan bir sayı sistemi düşünmüşlerdir. Sonrasında gelen Roma imparatorluğunda kullanılan ünlü Roma rakamlarının sembollerinin öncüsü olarak düşünülebilirler.

roma2

Yunan ve Romalıların kullandıkları sayı sistemleri, basit cebirsel işlemleri yaparken dahi insanların zaman ve enerjilerini tüketiyordu. Hala sıfır sayısını gösteren bir ifadenin olmaması ise uygarlıklarda stok, nüfus sayımı, asker alımı ve benzeri işlemlere ihtiyacı olan devletleri zorluyordu. Bu zorlukları aşmak için uzun bir zaman beklenecek ve haritanın doğusuna kaymak gerekecekti.

Brahmagupta ve Sıfır: Onbinlerce yıl önce atılan çentiklerden, M.S. 600 yılına dek insanoğlu sayılar ile ilgili sürekli bir gelişme içindeydi. Fakat bir sorun hala giderilemiyordu; rakam sistemleri kuran toplumlar sayıları yazarken sıfır(0)ın eksikliği dolayısıyla karışıklıklar yaşıyordu. Örneğin Çinli bürokratlar aldıkları notlarda 27 ile 207 sayılarını aynı şekilde yazmak zorunda kalıyorlardı, çünkü sıfırı gösterebilmek için bir sembolleri yoktu. Bir süre sonra sıfır yerine boşluk kullanmaya çalışsalar da yaşadıkları karışıklık bir türlü giderilmemişti.

Mısırlılar ise sıfır için göz resmetmeyi seçmişlerdi. Fakat Mısırlılar sıfırı değersiz düşünüyorlardı. Tıpkı Babilliler gibi. Roma ve Antik Yunanlılar için ise sıfır sayısı “sayısızlığı ifade eden bir sembol”den başkası değildi. Çinlilerin boşluk kullanması gibi, 600’lü yıllara kadar sıfır demek “hiçlik” ile aynı manaya geliyordu. Örneğin İngilizce’de sıfır için (artık kullanılmayan bir kelime olan) “nought” kelimesi kullanırdı. Nought’un anlamı ise “hiç”tir.

7. yüzyılda ise herşey değişecekti. Hindu Brahmagupta’nın yazdığı “Brahmasphutasiddhanta” adlı kitap matematiği durduralamaz bir yükselişe geçirecekti. Rivayetlere göre Bhaskara I sıfır sayısını ilk kez açıklayan insan olsa da, Brahmagupta bunu kitaplaştırıp açıklayan ilk matematikçidir. Brahmagupta’nın ilk kez açıkladıkları arasında: 1+0=1, 1-0=1, 1*0=0, 0-0=0 gibi aksiyomlar var.

Bunların yanı sıra eksi sayıları da ilk kez açıklayan yine o olmuştur. O güne kadar 3-4=? sorusuna cevap yoktu. Brahmagupta’ya göre ise cevap sıfırın “borç” tarafında 1’dir, Hindu matematikçi eksi/negatif ortaya çıkmadan önce terim olarak “borç” kelimesini kullanmıştı. Bugün hiç düşünmeden kabul ettiğimiz ve cebirin temelini oluşturan bu açıklamalar yaklaşık 1300-1400 yıl önce insanlığın bilgi dağarcığına girmişti. Brahmagupta sayesinde ilk kez 10 tabanlı sayı sistemimiz tamamlanmış ve açıklanmıştı. Yine bugün kullandığımız rakam sembollerinin de temeli o günlerde atılmıştı.

Brahmagupta sıfırın anlamını çözdükten sonra eksi sayıları açıklayarak yeni bir sürü probleme neden olmuştu. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerle (örneğin x^2 +3=12 için) ilgili olarak bilinmeyenin iki tane cevabı olması gerektiğini ortaya çıkarmıştır. Brahmagupta bununla da yetinmeyip ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler, lineer iki bilinmeyenli denklemler gibi problemleri çözmüştür ki 1657 yılında Pierre de Fermat’a kadar bunları çözmeye hiç bir batılı bilim insanı yeltenememiştir bile. Tam 1000 yıl!

Brahmagupta’nın çözemediği ve anlamlandıramadığı en önemli sorulardan bir başkası da açıklanmak için 1000 yıl beklemek zorunda kalacaktı: herhangi bir sayının sıfıra bölümü bize hangi sonucu verirdi acaba?

Modern Çağda Sayılar

Değeri Bilinmeyen Dahi: Leibniz

7. yüzyılda sıfırın da işin içine girmesinden sonra 10 tabanlı sayı sistemi, tüm matematiğin temelini oluşturmuştu. 17. yüzyılın ikinci yarısında matematiğin en eski dalı olan sayı kuramıyla alakalı gelişmeler inanılmaz bir hızda devam ediyordu. 1650-1700 arası dönemde iki bilim adamı herkesin önüne geçiyordu: Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz. Birini duymayanımız yok iken, diğeri hak ettiği ünü maalesef hiç bir zaman kazanamayacaktı.

İngiliz Newton, yer çekimi yasasını bulmasının yanı sıra güneş sistemindeki gezegenlerin eliptik bir yol ile hareket ettiklerini keşfederken, yazdığı Principia adlı kitap ile matematikte integral calculusu(yani hesaplama) icat etmiştir. Onunla aynı zaman zarfında yaşayan Leibniz ise Almanya’nın Hannover kentinde, yine aynı anda integral calculusunu kitap haline getirmiştir.

Bilim dünyasında calculusu ilk icat edenin kim olduğuna karar verilmesi için Leibniz İngiltere’de bilimin üretildiği yer olarak kabul edilen Royal Society’e davet edilmiş, Newton’un başkanlığını yaptığı kurul sonuç olarak calculusu ilk bulanın Isaac Newton olduğunu kabul etmiş, Leibniz’in ise calculusu ilk kez yazılı hale getirdiğe karar vermiştir. Gerçek olan ise tüm Avrupa calculus kelimesini ilk önce Leibniz’in 1684 yılında bastırdığı kitabında duymuştu. Newton’un calculus ile ilgilenmesi 1660’lara kadar gidiyorsa da 1693’e kadar calculus ile alakalı hiç birşey yayınlamamıştı. Bugün integral ve türevin calculusunda kullandığımız sembollerin tamamı ise ilk olarak Leibniz tarafından ortaya konmuştu. Calculusu ilk kimin icat ettiği ise başka bir günün konusu.

Binary

yiçing

Leibniz’in hepimiz için ne kadar önemli bir figür olduğunu sadece soyut matematiğinin yaratıcılarından biri olmasıyla açıklayamayız. Alman filozofun bir başka buluşu bize teknolojinin kapılarını açmıştır.

Yi-Çing, bir tarih kitabı olmasının yanı sıra günümüzde dahi hala sahiplenilen bir yaşam felsefesidir; içinde karşıt ikilileri barındırır. Leibniz’e göre bu felsefedeki iyi sayı olarak 1, kötü ise 0 olarak gösterilebilir. Sonuçta Leibniz, Antik Çin’den beri binlerce yıllık felsefeyi de barındıran Yi-Çing üzerine uzun uzun düşünmeleri sonucunda “binary number system”i icat etmiştir.

binary

Türkçe’de ikili sistem adını verdiğimiz “binary number system”, bugün 10 sayı tabanı dışında en çok kullandığımız sayı sistemidir. 2 sayı tabanını bulan Leibniz’in amacı, sadece 0 ve 1 rakamlarını bulunduran bu sistemi mekanikleştirmekti. İlk düşüncesine göre 0 ve 1 çok kullanışlıydı. 0 yanlış, 1 ise doğru anlamına gelebileceği gibi 0’ı kapalı, 1’i ise açık olarak da kullanabilirdik.

Leibniz, tarihteki ilk 10 tabanını 2 tabanına dönüştürebilen makinenin çizimlerini yapmıştır. O’nun sayesinde 2’li sistem var olmakla birlikte, kurduğu hayaller şu an dünyamızın birer gerçeği. Bugün kullandığımız tüm teknolojik ürünlerde on/off(açık/kapalı) mantığını kullanıyoruz. Tüm bilgisayarlar 0 ve 1 mantığına göre programlanmıştır. Yani artık ceplerimizde taşır hale geldiğimiz akıllı telefonlar da dahil olmak üzere, tüm teknolojik aletlerin çalışma mantığı Leibniz’in ikili sistemi sayesinde ortaya çıkmıştır. Bilgisayar kodlamasının da ötesine geçelim; elektrik devrelerinin tamamı 0/1 mantığı üzerine kuruludur. Elektrik barındıran tüm eşyalarımızı düşünürsek Leibniz’in hayatımıza ne kadar çok alanda girdiğini görebiliriz…

M.Serkan Kalaycıoğlu

Hayatın içinde matematik – Yıldızların uzaklıklarını hesaplamak ne kadar zor?

Hindistanlı bilim adamları, bilemediğimiz astronomi ve matematik teknikleriyle kendi zamanlarının çok ötesinde sonuçlara ulaşmışlardı. Çünkü hayal edebiliyorlardı. Hayal etmek, bilimin ve ilerlemenin ilk ve en önemli adımıdır. Tulsidas’ın yazdığından 200 yıl sonra Dünya üzerinde “var olan” olayları kullanarak Parallax yöntemini çıkaran, ve oturdukları yerden (Newton’un aynalı teleskobu sayesinde) akıl almaz mesafeleri en basit trigonometrik yöntem ile hesaplayabilen Cassini ile Richer de hayal ediyorlardı.

“Matematik icat edilmemiş, bulunmuştur!” Bu cümleyi duyduğumdan beri günde en az 1 defa zikrediyorum. İşin garibi, matematikçilerin tamamı bunun farkında olmasına rağmen matematikçi öğretmenlerin çok büyük çoğunluğu çocuklara bu basit gerçeği anlatmıyorlar. Bilim ve teknolojinin ilerlemesi önce hayal etmekle başlar, sonra matematik ile kağıda dökülüp anlam ve gerçeklik kazanır.

Gelin etrafımızda var olan matematiğe ufak bir örnekle göz atalım.

Hanuman Chalisa

Goswami Tulsidas tarafından yazılmış bir Hindu dua kitabıdır. Tulsidas şair olarak bilinmesinin yanı sıra zamanının önemli filozoflarından biridir. Bir matematikçinin Tulsidas ile ilgilenmesinin sebebi nedir peki?

Tulsidas, Hanuman Chalisa’da “Güneş’in Dünya’ya uzaklığı JUUG SAHASTRA YOJANS kadardır” diyor.

1 Juug = 12000

1 Sahastra = 1000

1 Yojan = 8 mil

Yani;

Juug Sahastra Yojans bir uzunluk olarak,

12000*1000*8 = 96.000.000 mildir. 1 mil = 1,6 km olduğuna göre,

96.000.000*1,6 = 153.600.000 km, Dünya ile Güneş arasındaki uzaklıktır.

Tulsidas, bu sonucu 15 ile 16. Yüzyıl civarında yazmış. Nasıl yazdığı, hangi yöntemleri kullandığını ise bilmiyoruz.

1

İlk Hesaplama

Tulsidas’ın bu sonucundan en az 200 yıl sonrasında Avrupa bilimin öncülüğünü ele geçirmişti. 1600’lü yılların sonlarına doğru, Giovanni Cassini ile Jean Richer, Dünya ile Güneş’in arasındaki uzaklığı ölçmeye kalkmışlardı.

Cassini ile Richer, parallax adını verdikleri bir yöntem ile bu uzaklığı 140.000.000 km olarak bulmuşlardı. Günümüz teknolojisi ile ölçülen ortalama (Dünya’nın yörüngesi eliptik şekilde olduğundan dolayı, Dünya ile Güneş’in uzaklığı zaman içerisinde sürekli değişken haldedir.) uzaklık 152.000.000 km’dir. Yani, Calculus’un ortaya çıktığı, matematik ve fizik dallarının durdurulamaz yükselişinin başladığı 17. Yüzyıl sonunda yapılan hesaplama, 15. Yüzyılda yapılan hesaplamanın gerisinde kalmış.

Parallax Metodu

Bir patikada 3 tane ağacın yanından yürüdüğümüzü farz edelim. Ağaçların arkasında ise sıra dağlardan oluşan bir manzaramız var.

2

Parallax fikri şudur: biz sağa doğru yürürken en yakınımızdaki objeler, daha uzağımızdaki objelerden daha hızlı hareket eder. Yani yürürken hemen yanımızdaki ağacın hızı, uzaklardaki dağların hızından çok daha fazladır. İşte bu basit fikir sayesinde Cassini ve Richer herhangi bir yıldızın Dünyamıza uzaklığını hesaplamışlardır.

3

Diyelim ki, Dünya yaz aylarında iken, Güneş-Dünya-yıldız arasındaki ilişkimiz bu olsun. Bu noktada belirtmemiz lazım olan şu ki, Dünya’ya en yakın yıldız, Dünya-Güneş arasındaki mesafenin 250.000 katı uzaklıkta.

4

Dünya’nın kendi ve Güneş etrafında hangi yönde döndüğünü de gösterdikten sonra, kendi evimizi çizerek, Güneş’in ve yıldızın hangi tarafta kaldığına bakıyoruz.

5

Burada aynı yerde Dünya üzerinde Cassini ve Richer’in yıldıza nasıl baktığının yanı sıra, uzayda Dünya-Güneş-Yıldız üçlüsünün konumunu gösteriyorum. Fakat bu konumlar sadece yaz mevsimi için geçerli.

6

İşin içine kış mevsiminde(tam 6 ay sonrasında yani) Dünya’nın konumunu da ekleyince karşımıza aşağıdaki durum çıkıyor:

7

Matematiksel İlişki

Yaz ve kış aylarında yıldızı izlerken görüşteki kaymadan dolayı oluşan açıya 2θ diyelim. Mevsimler sonucunda ortaya çıkan görüntü simetriktir. Biz sadece kış aylarındaki görüntüyü ele aldığımızda karşımıza θ’-(90-θ)’-90’ iç açılarına sahip bir dik üçgen geliyor.

8

Dünya ile yıldızın arasındaki en yakın mesafe bize dik üçgenin hipotenüsünü verir. Dünya-Güneş arasındaki mesafe ise 152 milyon km’dir. Biz buna 1 astronomik birim diyelim: yani 1 AB. Basit trigonometri bilgisi ile yıldıza uzaklığımız:

tan(90-θ)*AB

olur. Θ derecesi ancak teleskop sayesinde ve çok ince bir hesaplamayla bulunabilir. Önceden de belirttiğimiz gibi Dünya’ya en yakın olan yıldız, Dünya-Güneş uzaklığının 250.000 katı mesafededir. Yani θ çok ufak bir sayı çıkacaktır.

 

Ben kimim?

Özetle:

  • Sırasıyla Sabancı, Işık, Yeditepe ve HSE NRU Moscow üniversitelerini tecrübe ettim.
  • 2009 yılında Işık Üniversitesi Matematik Bölümünü 2.32 ortalama ile bitirmeme rağmen bölüm ikincisi ödülü aldım.
  • 2011 yılında Yeditepe Üniversitesi’nde Matematik öğretmenliği tezsiz yüksek lisansını 3.51 ortalama ve yüksek onur derecesiyle bitirdim.
  • 2009-2012 yılları arasında çeşitli kurumlarda öğretmenlik yaptım.
  • 2009-2015 yılları arasında özel öğretmenlik & hayat koçluğunu meslek edindim.
  • 2015 Ağustos’unda Moskova’daki HSE üniversitesinde “karşılaştırmalı sosyoloji” programında yarı zamanlı öğretim üyesi ve araştırmacı olarak bulundum.

Burs meselesi

Yurt dışında lisans üstü seviyesinde okumak için okullara başvuru yaparken, burs için başvurmayı kesinlikle unutmamalısınız.

Benim gibi ortalama bir öğrenciyseniz, burs almak gibi bir düşünceniz olmayabilir. Kabul alıp almamak bile meçhulken, niye burs için başvuruda bulunasınız, değil mi? Size, bu konuda, başımdan geçmiş olan bir kaç deneyimimden bahsetmek istiyorum.

Öncelikle eğitim geçmişimle alakalı kilit noktalardan bahsetmeliyim. 2009 yılında Işık Üniversitesi’nin Matematik bölümünden 2.32 ortalama ile mezun oldum. Elimde sadece bir matematik profesörümün 2009 Ağustos’unda zorla yazmış olduğu referans bulunuyor. IELTS’ten genel skorum 6,5. Akademik olarak ne torpil, ne referans, hiç bir şeyim yok.

Geçtiğimiz sene başvurmuş olduğum(ve kabul aldığım) yüksek lisans programlarının bir kısmı şunlar:

-educational leadership

-educational management

-educational psychology

-psychology

-sociology

-comparative sociology research

-MBA

-gifted education

Gördüğünüz üzere, okuduğum bölümle alakası olmayan çeşitli programlara kabul aldım. Yani, bölüm dışı tercih bile yaptığınızda kabul olma şansınız var.

Bölüm dışı tercih yapmama rağmen %100 burs aldığım 3 program ise şöyle:

-comparative sociological research, HSE NRU Moscow, %100 burs, Rus Hükümet Maaşı, beleş yurt, part-time öğretim üyeliği.

-MBA, EAE Business School Barcelona, %100 burs.

-sociology, HSE NRU Moscow, %100 burs.

Bunların yanında bir çok okuldan %25 ve yukarısında burs aldım.

Nasıl burs aldım?

Cevap çok basit: başvurularımı düzgün yaptım. Eksik belge bırakmadım. Erken başvuru yapmaya çalıştım. Motivation letter yazarken baştan sağma iş yapmadım, çok zaman harcadım bu konuya. Dürüst oldum ve bölüm dışı tercih yapmadan önce program yöneticilerine e-mail’ler yolladım. Durumumu anlattım, geç ya da erken cevaplar alıp boşuna başvuru yapmamış oldum.

 

Motivation letter ve önemi

Motivation letter nedir?

Bendeki anlamıyla “niyet mektubu”.

Üniversitelere göre ise uzunluğu ve içeriğiyle motivation letter’ın anlamı değişiyor. Kimi tek sayfada kendinizi anlatmanızı isterken, kimi tez önerisi getirmenizi ister, bir başkası ise hiç bir sınır vermeyip ne isterseniz onu yazmanızı ister.

Bir üniversiteye başvururken kafanızı en çok niyet mektubuna vermelisiniz. Bazı okullar yüzdelerle birlikte öğrenci kabul şartlarını gösterseler de, bir çok üniversitenin hangi koşullarla öğrenci seçtikleri meçhul.

2014-15 dönemlerinde 30’dan fazla üniversiteye başvuru yaptım. Bunların büyük bölümünden kabul aldım(3 tanesi tam burslu olmak üzere). Hem de 2.32 gibi düşük bir lisans ortalamasına ve 2009 yılından kalma tek bir referansa sahip olmama rağmen. Bu kadar sayıda kabul almamın şansla alakası yoktu: motivation letter ve türevleri istekler üzerine çok zaman harcayarak akademik geçmişimdeki dezavantajları yok etmiş oldum.

Peki, motivation letter nasıl yazılır?

Öncelikle sizden istenilenlere iyice bakmalısınız. Eğer hiç bir şart koşulmamışsa, eğitim ve profesyonel geçmişinizle, program sırasında ve sonrasında ne yapmak istediğinizi ve neden o ülke/şehir/üniversiteyi tercih ettiğinizi anlattığınız 1 sayfalık yazı yeterli.

Bazı okullar ise, bu okullar genelde motivation letter işini çok ciddiye alanlar olur, ne yazmanız gerektiğini size belirtirler. 2 tane örnek vereceğim:

radbot

Hollanda’daki Radboud Üniversitesi, European Law programına başvuru yapmak istediğinizde, “neden bu program?” sorusuna yanıt vermeniz isteniyor.

eae

Bu ise, İspanya’daki Eae Business School’un MBA programı için istediği motivation letter. 300-500 kelime aralığında, kişisel özellikleriniz başlığı altında, neden bu programa/okula başvurduğunuzu ve gelecekte Eae’nin size ne katacağını açıklamanızı isteyen bir mektup yazmanız lazım.

Yani bir şey söylese de söylemese de, bir okula başvururken “ben neden bu okula/programa/ülkeye başvuruyorum?” sorusuna bir cevap vermeniz gerekmekte.

Neden sorusunun cevabı nasıl verilir?

Bakın, bir hayal edin: üniversitelerin admissions bölümlerinde çalışan insanlar, her sene yüzlerce mektup okumak zorunda kalıyorlar. İnternette motivation letter nasıl yazılır tavsiyelerine göz atınca, formal olmanız ve belli bir kalıptan çıkmamanız gerektiğini göreceksiniz. Formal olabilirsiniz, bir kalıp içinde de yazmanız gerekiyor, evet. Ama yüzlerce kişi içinden fark edilmek istiyorsanız, işin içine samimiyet koymanız gerekiyor.

Yani işin özü, samimi cevabınızı verebilmekte. Size, yazdığım ilk motivation letter’dan bir örnek sunmak istiyorum.

barçamot

Yazıdaki İngilizce’de hatalar olabilir. Çok farklı şeyler söylemiyorum gibi de duruyor olabilir. Ama içten olduğum, hatta fazlasıyla içten olduğum çok açık. Ben Barcelona’da bir okula başvururken, Barcelona futbol takımının maçlarına gideceğimi de hayal ediyorum. Evet Barcelona’da kültür, sanat, Gaudi’nin mimarisi beni cezbediyor. Ama bunlar kadar Barcelona deyince aklıma futbolun, yani Messi’yi canlı izlemenin de geldiğini söylemem, aslında şehirdeki sosyal hayatımla ilgili de düşünmüş olduğunu gösteriyor. (Merak ediyorsanız, okuldan bu mektup sayesinde %100 burs aldım.)

Sonuç

Motivation letter yazarken:

-neden sorusuna cevaplar verin. neden bu okul/program/şehir/ülke?

-gelecekle ilgili hayal kurun ve bu hayallerinizden bahsedin. “Ne yapacağım?” değil “Ne yapmak istiyorum?” diye kendinize sorun ve bunun cevabını mektuba ekleyin.

-samimi olun. Bokunu çıkarmayın ama.

-istenilenleri yazın, kesinlikle bahsetmediğiniz kalmasın. Fazlasını yazmanız sorun değil, ama istedikleri şeyi eksik yazmanız problem olur.

-her başvuru için sıfırdan yazmaya başlayın. Hatta, deneme amaçlı bir kaç yalandan başvuru yapın. Böylece asıl istediğiniz yerlere başvurana kadar motivation letter yazmak konusunda tecrübeniz olur.