Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #18

Her sene Aralık ayı gelip çattığında şehirlerin görüntüsü bir anda değişir. Etraf yeni yılın gelişini müjdeleyen süslemelerle donatılırken alışveriş merkezlerinde, ofislerde ve hatta evlerde aşağıdaki gibi süslere rastlanır:

Ali hoca da her sene olduğu gibi sınıflarını süslemeye başlar. Fakat hoca, bu seneki süslemelerinde matematiği de kullanmayı aklına koymuştur.

Yeni Yıl Süsü Oyunu (Y.Y.S.O.)

Ali hocanın yarattığı Y.Y.S.O. iki kişilik bir oyundur. Bu yüzden sınıftaki öğrenciler ikişerli gruplara ayrılır ve her grubun kazananı bir sonraki tura yükselir. Oyunu kazanan öğrenci yeni yıl süslerinin sahibi olur ve sınıfı istediği gibi süsleyebilir.

Oyunun İçeriği

  • Her grupta aşağıdaki gibi 4 adet süs vardır:
  • Oyuncular sırayla bu süsleri birbirine dolar.
  • Dolama işlemi rakipten gizli yapılır.
  • Süsleri dolarken her oyuncunun en fazla dört hamle şansı vardır. Hamleden kast edilenin ne olduğu şöyle bir örnekle gösterilebilir:

İlk hamlede kırmızı süs aşağıdaki gibi dolandırılıyor olsun:

Bu, bir hamle sayılır. Kırmızı süs, mavi ve yeşil süsün altından geçirilmiştir. Sonraki iki hamle sırasıyla sarı ve mavi süsten gelsin:

Sarı süs, yapılan hamleyle yeşil ve kırmızının altından geçirilmişken; mavi süs, yeşil ve sarının üstünden geçirilmiştir. Böylece üç hamle sonucunda süsler yukarıda (sağda) görüldüğü gibi birbirine dolandırılmış olur.

Süslerin bu birbirine dolandırılmış hali aslında bir örgüdür.

Oyunun Amacı

Bir turdan galip ayrılmanız için rakibinizin yaptığı örgüyü ondan daha kısa sürede çözmeniz gerekir. (Not: Örgü çözüldüğünde ilk durumdaki gibi sıralanmış olmalıdır. Yani, yukarıdaki örnek için örgünün çözümünde süslerin renkleri soldan sağa sırasıyla sarı-yeşil-mavi-kırmızı olmalıdır.)

Örgüler

Hayatın içinde önemli bir yere sahip olan örgüler sadece yıl başı süslerinde değil, her an yanı başımızda kendini gösterir. Bazen bir peynirde, bazen saç şeklinde, bazen de bir sepette:

Kimi zaman da bir bileklikte:

Matematikte örgünün ne manaya geldiğini anlamak için Avusturyalı matematikçi Emil Artin’in 1920’lerde yaptığı çalışmalara göz atılabilir.

Gelin aşağıdaki örgüye birim örgü diyelim:

Ali hocanın oyununda amaç herhangi bir örgüden birim örgüye dönmekti. Bunu yapabilmek için Artin’in açığa çıkardığı bazı örgü özelliklerinden yararlanabiliriz.

Birinci örnek: İki ip ile örgünün çözülmesi.

Diyelim ki aşağıdaki gibi iki ipimiz olsun:

Soldaki, sağdakinin altından geçiyor.

Bu ipin tersi aşağıdaki gibi olur:

Bu sefer sağdaki, soldakinin altından geçiyor.

Eğer bu ikisi birleştirilirse ipler (uçlarından tutularak gerdirildiği takdirde) birim örgü haline döner:

İkinci örnek: Üç ip ile örgünün çözülmesi.

Üç ip alın ve aşağıdaki gibi örgü haline getirin:

Bu örgüde (yukarıdan aşağıya doğru) 3 kesişen yer vardır:

1: Yeşil, mavinin üstünden.

2: Kırmızı, yeşilin üstünden.

3: Mavi, kırmızının üstünden.

Yapmanız gereken şey, bu işlemleri sondan başlayarak tekrarlamaktır. O halde hamleler şu sırayla yapılır:

Birinci hamle: Mavi, kırmızının üstünden.

İkinci hamle: Kırmızı, yeşilin üstünden.

Üçüncü hamle: Yeşil, mavinin üstünden.

Bu ikisi birleştirilip her örgü iki ucundan çekilirse, sonuç birim örgü olur. Deneyin ve sonucu kendi gözlerinizle görün.

Kağıt ve Örgü

Bir A4 kağıdını alın ve kağıda falçata yardımıyla aşağıdaki gibi kesikler atın:

Şimdi kağıdı iki ucundan tutup yan çevirin. Karşınıza bir tür örgü çıkacaktır:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  • Ali hocanın oyununda Emil Artin’in özelliklerinden nasıl yararlanabilirsiniz?
  • İkinci örnekte ipleri 90 derece sola yatırın. Soldan başlayarak iplerin kesişimlerini inceleyin. Ne görüyorsunuz?
  • Ali hocanın oyununu A4 kağıdı ile oluşturacağınız örgü ile oynayın. (Bunun için kağıda 3 veya 4 kesik atmanız yeterlidir.)

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #20

Alcatraz’dan Kaçış

Bir sınıf içerisinde bir duvardan diğerine uzaklık 5 metredir. Bu iki duvar arasına 6 metrelik bir ip bağlanır. İp yerden 2 cm yükseklikte olacak şekilde gerildikten sonra fazla gelen 1 metrelik kısmı bir uçtan sarkar durumda bırakılır.

Amaç; ipe değmeden altından geçip sınıftan kaçmaktır.

Kurallar

  • Kaçış iki duvarın orta noktasından yapılmalıdır.
  • İpi genişletmek için fazla kısım kullanılmalıdır.
  • İpe değmemeniz için bir kişi sıradaki öğrenci yerine ipi germe işini yapar.
  • Kaçış denemesi için herkesin tek bir hakkı vardır.

Kazanma Şartı: En az uzunlukta ip kullanarak ipin altından geçmek.

Futbol Sahası

Bir futbol sahasında iki kale arasında kalan mesafe 90 ile 120 metre arasındadır. Diyelim ki uzunluğun 100 metre olduğu bir sahadaki kalelerin orta noktaları arasına bir ip gerdik. Bu ip 100 metre uzunluğundadır ve saha yüzeyinin tam üstündedir. (Yani ip yere yapışık şekilde duruyor.)

İpin tam ortası, başlangıç noktası diye adlandırılmış olan noktaya denk gelir. Burası sahanın orta noktasıdır.

İpe 1 metre daha ekleyelim. İp, iki kale arasındaki mesafeden daha uzun olacağı için artık gergin değildir.

Soru: Son durumda sahanın başlangıç noktasından ipi kaç metre havaya kaldırabiliriz?

Çözüm

Soru bir bakıma şu anlama da gelir:

“Birbirine 100 metre mesafede bulunan iki nokta arasına biri 100, diğeri 101 metre olan iki ip bağlanmıştır. 101 metre uzunluğundaki ip tam orta noktasında yukarı doğru çekildiğinde, iki ipin orta noktaları arasında mesafe (diğer bir deyişle ikinci ipin yerden yüksekliği) kaç metredir?”

Yukarıdaki çizim incelendiğinde aslında iki tane birbirine eş dik üçgen olduğu görülür:

Dik üçgenlerin birinde Pisagor teoremi uygulanarak h kenarı, dolayısıyla aradığımız cevap bulunabilir:

Pisagor teoremi der ki: “Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.”

O halde:

(50,5)2 = 502 + h2

h ≈ 7,089 m olur.

Sonuç

100 metrelik ipe sadece 1 metre eklemek, ipin orta noktasının yerden 7 metre yükseğe çıkabilmesini sağlar. Yani sadece 1 metre ekleyerek ipin ortasında bir tır geçirilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #19

Ne Kadar Çikolata?

Karnım acıktı. Gecenin bir yarısı evde yiyecek bir şeyler bulma umudundayım. Mutfakta hiç açmadığım bir çikolata buldum:

20190701_131610

Derhal kendime kahve yaptım. Kahvenin yanında götürmek için çikolatadan ufak bir parça kopardım:

20190701_131715

Parçayı hunharca katlettikten sonra pişmanlık çöktü: Acaba çok mu çikolata yedim?

Kalan parçayı kareli defter üzerine koydum. Böylece çikolatanın hem ilk hem de son halinin kareli defterde (veya koordinat düzleminde) hangi noktalarda kaldığını bulmuş oldum:

çiko1

Kopardığım parça bir basit çokgen şeklindedir. Amacım bu parçanın alanını bulmak. Bir basit çokgen alanı bulunurken birçok yolu deneyebilirim. Aklıma ilk gelen yol “Gauss’un ayakkabı bağcığı” ismiyle bilinen bir teoremdir.

Gauss’un Ayakkabı Bağcığı Teoremi

Koordinat düzleminde bulunan bir basit çokgenin alanını bulmak için kullanılan ayakkabı bağcığı teoremini uygulamak için çokgenin köşelerinin koordinat düzlemindeki yerlerini belirlemek gerekir:

çiko2

Bu noktalar için teorem tıpkı ayakkabı bağcığı gibi ilerler. Yönteme geçmeden önce alanı bulunması gereken parçada bulunan tüm köşeleri sırala:

çiko3

lak1

İlk noktayı listenin sonuna tekrar ekleyin.

Daha sonra listedeki sayılar çapraz olarak çarpılır. Soldan sağa olanların toplamı sağdan sola olanların toplamından çıkarılır:

This slideshow requires JavaScript.

{(0*0) + (5*1) + (4*3) + (5*3) + (0*0)} – {(0*5) + (0*4) + (1*5) + (3*0) + (3*0)}

{32} – {5}

27

Çokgenin alanı; çıkan sayının yarısıdır:

27/2

13,5

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #18

Pastayı Koru

Bugün okula kutsal pasta geliyor. Pasta okuldaki odalardan birinde ziyaret edilebilecek. Siz kutsal pastanın korunması için organizasyonu sağlamakla görevlisiniz. Amacınız en az sayıda koruma ile pastanın sürekli göz altında tutulabilmesi.

Korumalarla ilgili bir bilgi: Bir müze koruması belli bir noktada durur ve bulunduğu odayı o noktadan inceler. Tabii ki koruma kendi etrafında 360 derece dönebilir.

Kutsal pastanın sergileneceği odanın krokisi aşağıdaki gibidir:

20190328_130114.jpg

Bu odaya en az kaç koruma gerekir?

Çokgen Şeklinde Odalar

Bu sorunun çözümüne en basit çokgen olan üçgenden başlayarak ulaşmaya çalışacağız.

Örnek 1: Üçgen oda.

İlk örnekte oda üçgen şeklinde olsun. Böyle bir odada kutsal pasta nereye konulursa konsun tek bir koruma onu her an gözleyebilir:

Örnek 2: Dörtgen oda.

Burada da yine tek bir koruma yeterli gelir:

Soru: Tüm çokgen şeklinde odalarda bir koruma yeterli gelir mi?

İçbükey-Dışbükey Farkı: Bir çokgende iç açıların tamamı 180 derecenin altındaysa o çokgen dışbükeydir. Açılardan herhangi biri dahi 180 derecenin üzerindeyse çokgen içbükey olur.

Dışbükey çokgenlerin tamamı tek bir korumayla korunabilir. Aynı şey her içbükey çokgen için söylenemez.

Kutsal pastanın bulunduğu oda içbükey bir çokgendir. Önce basit bir içbükey çokgen inceleyelim:

20190328_123117.jpg

İçbükey çokgenliğe yol açan noktada duran bir koruma, odanın her yerine hakim olur:

20190328_123216.jpg

Peki çokgen aşağıdaki gibiyse:

20190328_123606.jpg

Bu tür bir odada tek koruma yeterli gelmez:

20190328_123732.jpg
Koruma taralı alanı göremez.

Sanat Galerisi Problemi

Daha karmaşık oda krokilerine geçmeden önce, koruma sayısıyla ilgili bir algoritma olup olmadığına bakmamız gerekir. İlk kez 1973 yılında Victor Klee ismindeki bir matematikçi tarafından ortaya atılan sanat galerisi problemini çözmek için üçgenleme olarak bilinen bir yöntem kullanılır.

Üçgenleme: Bir çokgeni üçgenlere bölme işlemidir.

Önce verilen planı üçgenlere ayıralım:

Daha sonra üçgenlerdeki köşelere renkler verelim. Aynı üçgendeki köşeler birbirinden farklı renkte olmak zorundadır:

20190328_124639.jpg

En az sayıda kullanılan renk, en az koruma sayısını verir. Korumalar bu renklerin bulunduğu köşelerde durduğu sürece odada görünmeyen bir yer kalmaz:

20190328_124931.jpg
Burada iki çözüm vardır: Korumalar 2 veya 3 numaraları köşelerde durarak odayı koruyabilir.

Çözüm

O halde kutsal pastanın bulunduğu odaya en az kaç koruma gerektiğini ve bu korumaların nerede durmak zorunda olduğunu bulabiliriz. Önce pastanın bulunduğu odanın krokisini üçgenlere ayıralım:

20190328_130612.jpg

Daha sonra üçgenlerin köşelerini boyayalım:

20190328_130833.jpg

Sonuçta üç renk aşağıdaki kadar kullanılmıştır:

20190328_131241.jpg

En az kullanılan renkler 1 ve 3’tür. Bu da bize odayı korumak için gereken sayıyı verir: 6. Bu noktalarda konuşlandırılan korumalar kutsal pastayı sürekli göz önünde bulundurur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kutsal pastanın bulunduğu odada aşağıdaki gibi sütunlar bulunsaydı çözüm nasıl olurdu?
    20190328_131619.jpg
  2. Çokgenlerin köşe koruma sayısı arasında nasıl bir ilişki var?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #17

Neden araba ve bisikletlerde kullanılan tekerlekler yuvarlaktır?

Kare Tekerler

Deneme-yanılma ile neden bu şekilden taşıtlara tekerlek yapılamayacağını görelim. Diyelim ki tekerlekler aşağıdaki gibi kare şekilde olsun:

20190130_231840

Karelerin 45 derece döndükten sonraki hali sağdaki gibidir:

İlk duruma göre karenin yüksekliği değişmiştir. Bir 45 derece sonraysa yükseklik ilk duruma gelir.

Kare tekerleğin zaafı büyüktür. Tekerler döndükçe taşıtın yüksekliği sürekli olarak değişir (yükselip-alçalır).

Üçgen Tekerler

Üçgen çeşitleri için tüm kenarları birbirine eşit olanı (yani eşkenar üçgen) tekerlek yapmak için en uygun şekil olarak görülür.

Elimizde aşağıdaki gibi bir eşkenar üçgen tekerlek olsun:

Sola doğru 60 derece çevirince eşkenar üçgen tekerleğin durumu:

20190130_231741

Görüldüğü üzere tekerleğin yüksekliği değişmemiştir. Yoksa eşkenar üçgenden tekerlek elde edilebilir mi? Gelin bir de ilk durumdan 30 derece sola çevirdikten sonraki durumu inceleyelim:

20190130_231751

Görüldüğü üzere yükseklik ilk duruma göre artıyor. Yani eşkenar üçgenden de tekerlek yapmak uygun olmaz. Bu tür tekerlekler üzerinde yapılan yolculuklar sonrasında sakatlanmanız olasıdır.

Çemberin Gücü

Çember şeklinde tekerleğin kullanılma nedeni çemberin yüksekliğinin dönerken hiç değişmemesinden gelir. Bu yönden çemberin şekli kare ve üçgen gibi çokgenlerden farklıdır.

çembeee

Yuvarlak dışında bir şekilden tekerlek yapılamaz mı?

Reuleaux Üçgeni

Rönesans denilince akla gelen ilk isimlerden biri Leonardo da Vinci’dir. Bu muhteşem şahsiyetin Reuleaux üçgeni ile ilişkisi ise da Vinci’nin öğrencisi Francesco Melzi’nin notlarının arasında bulunan bir dünya haritasından gelir:

289294-1338211643

1514 civarında yapıldığı düşünülen bu dünya haritası Amerika kıtasını barındıran ilk haritalardan biri olarak bilinir. Bu haritanın Leonardo da Vinci tarafından çizildiği düşünülür. Eğer bu doğruysa da Vinci’nin Reuleaux üçgenini kullanan ilk kişi olduğu varsayımı haksız bir varsayım olmaz.

Reuleaux üçgenini ilk kez keşfeden ve onun matematiksel özelliklerini açıklayan kişiyse Euler’di. Artık yazılardan şunu anlamış olmanız gerekiyor: “Ya Euler’dir ya da Gauss.”

Reuleaux üçgeni ismini Alman mühendis Franz Reuleaux’dan alır. 1861’de yazdığı kitapla meşhur olan, daha sonra yaptığı çalışmalarla “kinematiğin babası” unvanını hak etmiştir.

Reuleaux Üçgeni Nasıl Oluşturulur?

Şahsen en sevdiğim yöntem üç tane çemberin kesişimiyle oluşturmaktır. Öncelikle r yarıçaplı bir çember çizelim:

20190130_232053

Daha sonra merkezi bu çemberin üzerinde olan bir başka r yarıçaplı çember çizelim:

20190130_232030

En son olarak iki çemberin kesişim noktalarından birini seçip onu merkez kabul ederek r yarıçaplı üçüncü bir çember daha çizelim:

20190130_232017

Bu üç çemberin kesişerek ortada oluşturduğu şekil Reuleaux üçgenidir:

Reuleaux üçgeni döndürüldüğünde tıpkı çemberde olduğu gibi yüksekliği hep aynı kalır:

18mlevdqtxdsbjpg
Reuleaux üçgeni şeklinde tekeri olan bir bisiklet.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Öklid’in aletlerini (sadece pergel ve ölçüsüz cetvel) kullanarak eşkenar üçgen çizin.
  2. Çizdiğiniz eşkenar üçgenden Reuleaux üçgeni elde etmeye çalışın.
  3. Üçten fazla kenarı olan Reuleaux şekli çizilebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #16

Pasta Kokusu Alıyorum

İçeriden harika kokular geliyor. Hemen mutfağa kendinizi ışınlayıp tezgahın üzerindeki pastayı fark ettiniz. Tam yumulmak üzereyken pastanın hem yaratıcısı hem de koruyucusu annenize yakalandınız.

Anne artık tecrübeli; duygu sömürüsü bir işe yaramıyor. Fakat yine de bir şans beliriyor. Eğer pastadan üç eşit parça çıkarabilirseniz parçalardan biri sizin olacak.

Annenin şartları:

  • Pastayı nereden keseceğinizi belirlemek için ölçü aletleri arasından sadece pergeli kullanabilirsiniz.
  • Amaç pastadan üç eşit alanlı parça çıkarmak. Pastanın ne kadarını (yani tamamını mı yoksa bir kısmını mı) üçe böleceğiniz sizin maharetinize kalmış.
  • Kesim yaparken ufak tefek (örneğin bir parça alan 3,04 iken diğerinin 3,09 olması gibi) fazlalıklar anne tarafından göz ardı edilecek. Fakat yöntem teoride tam alanı vermeli.
  • En önemlisi bu madde: Kesilecek parçalar halka şeklinde olmalı.
  • Kesme denemesi için tek hakkınız var. Bıçak vurulduktan sonra dönüş yok.

Pasta Kesme Sanatı

Annenin istediğini yerine getirmeden önce kağıt üzerinde sadece pergel kullanarak sonuca ulaşmaya çalışalım.

Merkezi O noktası olan rastgele bir çember çizelim:

20190129_223507

Çemberin yarıçapı kadar uzunlukta bir kiriş yapalım:

20190129_223524

Kirişi çemberin muhtelif yerlerine koyalım ve kirişin orta noktasının bulunduğu yeri işaretleyelim:

İşaretlenen noktalardan herhangi birini seçip O merkezinden pergel yardımıyla yeni bir çember çizelim:

20190129_223719

Yeni çemberin içinde kirişi tekrar gezdirip bir başka çember daha çizelim:

Aynı işlemleri üçüncü defa tekrarlayalım:

Renkli kalemle işaretlediğim alanlar birbirine eşittir:

 

 

20190129_224139
Büyük çemberin yarıçapı=5 cm.
İkinci çemberin yarıçapı=4,34 cm.
Üçüncü çemberin yarıçapı= 3,56 cm.
Dördüncü (en içteki) çemberi yarıçapı=2,55 cm.

Merak edenler çemberlerin alanlarını hesaplayarak halkaların yaklaşık değerlerini bulabilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

O halde annenin istekleri doğrultusunda pastanın içinden eşit halkalar çıkarmak mümkündür.

Peki en fazla pasta parçasını alabilmek için kirişin uzunluğu kaç olmalıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #15

Kare Çizmek

Geometriyle uğraşırken kendimi hep bir antik Yunan gibi düşünüyorum: Kocaman sütunların arasında bir mermerin üzerinde geometrik şekiller çiziyorum. Bunu yaparken sadece pergel ve ölçüsüz cetvelim var.

Önce A noktası merkez olacak şekilde r yarıçaplı bir çember çiziyorum:

çember1

Sonra B noktası merkez olacak şekilde yine r yarıçaplı bir çember daha çiziyorum:

çember2

A ve B noktaları arasında kalan AB doğru parçasının her iki ucundan da E ve F noktalarına birer dik doğru parçası çiziyorum:

çember3

E ve F noktalarını da birleştiriyorum. Böylece karşıma bir kenar uzunluğu r olan ABEF karesi çıkıyor:

Bu karenin içine çizilebilecek en büyük çemberin çapı r uzunluğunda olur:

çember6

Alan

Karenin alanını bulmak için bir kenarının karesini almak yeterlidir. O halde ABEF karesinin alanı rolur.

Çemberin alanıysa yarıçapın karesinin π ile çarpılmasıyla bulunur. Yani G merkezli çemberin alanı πr2/4 olur.

Çemberin alanının karenin alanına oranı π/4’tür.

Ağırlık

Hassas terazi kullanarak kare şeklindeki bir kartonun ağırlığını buldum:

20190126_133600

Sonra bu karenin içine karenin bir kenarı uzunluğunda çapı olan bir çember çizdim. Daha sonra kartonun içinden çemberi kesip çıkardım ve bunu hassas terazide tarttım:

20190126_133759

Çemberin ağırlının karenin ağırlığına oranı bize çemberle karenin alanları oranını verir. Buradan π sayısının yakınsak bir değeri bulunabilir:

0,76/0,97 = π/4

3,134… = π

Yakınsak değer bulmamızın nedenlerinden biri kullandığım kartonun tam olarak homojen olmaması olabilir. Yani karton her yerinde aynı ağırlıkta olmayabilir. Miligramlık bir sapma dahi yakınsak değer yol açar.

Ayrıca çember tam olarak kesememek de yakınsak değer bulunmasına neden olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir çember çizin ve bu çemberin içine çizilebilecek en büyük kareyi inşa edin. Daha sonra çember ve karenin alanları oranını, ağırları oranlarına eşitleyin. Bakalım karşınıza ne çıkacak?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #14

Pazarda Matematik

Çocukluğuma dair hatıralarımın önemli bir kısmı pazar maceralarından oluşuyor. Evin en küçük çocuğu olduğumun için pazara gidip anne-babama yardımcı olmak asli görevlerim arasındaydı. Pazar alışverişini gerçekten hiç sevmiyordum. Fakat bir şey vardı ki pazarda zamanın biraz da olsa hızlı geçmesini sağlıyordu: Meyve-sebze reyonları.

Küçüklüğümden beri meyve-sebze reyonlarına büyük hayranlıkla bakarım. Pazarcı veya manav tüm reyonları dizen her kimse harikulade geometrik şekiller kullanır. Bir itirafım olacak: Küçükken meyvelerin nasıl dizilmesi gerektiğine karar veren bir kural olduğunu sanıyordum. Çok sonradan öğrendim ki gerçekten böyle bir kural var.

Farklı Paket

Pazarda bulunan harikulade reyonların yanında göz zevkimi bozan bir şey vardı: Yumurta kasası. Pazara gelen meyve-sebzelerin kasaları aşağıdaki şekildeydi:

Fakat nedense yumurta kasası pazardaki geleneksel geometrik dizilişin karşısındaydı:

15 lbs-2

Neden yumurtalar meyve-sebzelerden farklı bir dizilişteydi? Yoksa bunun farkına varan tek kişi ben miydim?!

Oreolarım Var

Diyelim ki Starbucks’ta yan masada hoşunuza giden birini gördünüz ve oreolarınızdan teklif ederek çocuğu/kızı tavlamaya çalışacaksınız. Ne kadar çok oreo, o kadar çok büyük şans diye düşünüyorsunuz. Bu yüzden de peçeteye en fazla sayıda oreo koyup yan masaya takdim etme peşindesiniz.

20190109_134258
Kullanılmış peçete şansınızı etkilemez. Çünkü oreonuzu paylaşmak üzeresiniz.

Eğer oreoları peçeteye yumurta kasası şeklinde dizerseniz altta kalan 3 oreonun sığmadığını görürsünüz:

20190109_134158
Alt sıradaki oreolar sığmıyor. Bu yüzden sadece 6 adet oreo ile yan masaya gitmek zorundasınız.

Halbuki meyve-sebze kasası gibi oreolar dizilirse peçeteye 6 yerine 8 oreo sığabiliyor:

20190109_134228
Şansınız daha yüksek olamaz!

Arı Peteği

Bir önceki yazıda bal arılarının en uygun geometrik şekli bulduğundan bahsetmiştik. Bal arıları gibi pazarcılar da en uygun geometrik şekli bulduklarının farkında mı bilmiyorum. Peki neden yumurtalar arı peteği şekilde değil de normal dizilir?

Çünkü sınırlı boyutlarda diziliş yapılacak kasanın (veya oreodaki peçetenin) boyutu yumurta kasasıyla elma kasası arasındaki farkı yaratır:

Aynı peçeteye bu sefer normal dizilimle 9 oreo sığarken bal peteğiyle sadece 8 tane orea sığdı.

Yani yumurta kasasının boyutu aynı kaldığı sürece en uygun geometrik şekil normal dizilim olur. Yumurta kasası üreten şirketi tebrik ederim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Soru: Elimizde 20 adet yumurta olsun. Bir yumurta 4 cm çapındaki boşluğa yerleştirilebiliyor. Hangi dizilimi kullanırsak yumurta kasasının kapladığı alan en az olur?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Geometri #13

Kurabiye Pişirmek

Canınız çikolata parçacıklı kurabiye istedi ve bolca pişirmesi için annenizi ikna etmeye çalışıyorsunuz. Sonunda bir anlaşmaya vardınız: Sadece bir tepsi kurabiye yapılacak fakat kurabiyeleri tepsiye siz dizeceksiniz. Kurabiyeler üst üste gelmemeli ve düzgün geometrik şekle sahip olmalı. Yani tüm kurabiyeler aynı şekle sahip olmalı ve her bir kurabiye tam olmalı. Yarım kurabiyeye yer yok!

Sonuçta ne kadar çok kurabiye dizerseniz yemek için o kadar çok kurabiyeniz olacak.

Fırın tepsisinin boyutları 46,5’e 37,5 cm. Bir kurabiyenin çapı ise 5 cm.

51rixjatvel._sx450_

Soru: Bu tepsiye düzgün şekilde kaç tane kurabiye sığdırabilirsiniz?

Bal Peteği

Kurabiye sorusunun cevabına bakmadan önce biraz bal yapımından bahsetmeliyim. Bal arıları matematiği muhteşem bir şekilde kullanır. Bal petekleri de onların geometrik şaheseridir.

shutterstock_113350987

Peki bal arıları neden bal peteklerini tam olarak bu şekilde (yani altıgen şeklinde) inşa eder?

Bal arıları bal biriktirmek için ufak depolara ihtiyaç duyar. Bu depoları şimdilik iki boyutlu gibi düşünün. Böylece bal arılarının problemi düz bir kağıdın hangi geometrik şekille döşenmesi gerektiğine döner.

Arının Sorumluluğu: “Düz bir kağıdı tek bir düzgün geometrik şekille kaplayacağım fakat bunu yaparken en az çizgiyle en büyük alanı yaratmam gerekiyor.”

Üç Düzgün Şekil

Sadece üç düzgün geometrik şekil bir kağıdı boşluksuz döşeyebilir: Eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen.

bad tessellates
Yedigen, sekizgen ve dokuzgen için durum böyledir. Diğer çokgenleri kontrol edebilirsiniz. Hiçbiri boşluksuz döşeme yapamayacaktır.

Biz kareden başlayalım. Diyelim ki bal arısı kağıdın tamamını bir kenarı 2 birim olan karelerle dolduracak. Böyle bir karenin alanı 4 birim kare iken çevresi 8 birimdir.

Aynı alana sahip eşkenar üçgenin bir kenarı 3 birimden biraz fazladır. Bu da üçgenin çevresinin 9 birimden fazla olduğu anlamına gelir. Yani bir kağıda kare döşemek üçgen döşemekten çok daha iyidir.

Sırada altıgen var. Alanı 4 birim kare olan düzgün altıgenin çevresi 7,45 birim yapar ki bu sonuç hem eşkenar üçgenin hem de karenin çevresinden daha küçüktür. Bu nedenle bal arısı düz kağıda döşeme işlemini düzgün altıgen ile yapar.

Çemberden Altıgene

Bilim insanları günümüzde hala bal peteğinin yapımını inceliyor. Bal arılarının bu muazzam yapıları oluştururken iki şekilden birini tercih ettiği düşünülüyor: Çember veya düzgün altıgen. Bir teoriye göre bal arıları çevre uzunluğu düzgün altıgenden çok daha az olan çemberi kullanıyor ve zamanla bu çemberler bizim gördüğümüz peteklerdeki düzgün altıgenlere dönüşüyor.

Çemberlerden düzgün altıgenlere aşağıdaki şekilde ulaşılabilir:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Kurabiye sorusunun çözümü çember-düzgün altıgen ilişkisinde saklıdır. Bu bilgi ışığında kaç tane kurabiye yapılabileceğini bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #12

Cogito Ergo Sum*

*Düşünüyorum, öyleyse varım. Bu sözün sahibi olan Rene Descartes, birçoklarınca modern felsefenin kurucusu olarak gösterilir. Halbuki Descartes aynı zamanda devrim yaratıcı bir matematikçiydi.

200px-Frans_Hals_-_Portret_van_René_Descartes
Rene Descartes (1596 – 1650)

Hikayenin doğruluğu ispatlanamamış olsa da Descartes’in matematik buluşlarının belki de en önemlisi şöyle ortaya çıkmıştı:

Küçüklüğü sürekli hastalıklarla geçen Descartes yatağından geç saatte çıkmayı bir alışkanlık haline getirmişti. Öyle ki hayatının son birkaç ayına dek öğlen vaktine kadar yatağında uzanıp derin düşüncelere dalardı. Yine bir sabah yatağında düşüncelere dalmışken bir yandan odasına giren bir sineği gözleriyle takip ediyordu. Bir an için tavanda duran sinek Descartes’in gözlerini açmıştı: “Acaba odada bulunmayan birine sineğin tavandaki yerini nasıl açıklayabilirim?”

images (2)

Descartes için sorunun cevabı şuydu: Tavanın bir köşesini başlangıç noktası olarak kabul edilirse, tavanın enine ve boyuna belli mesafeler gidilerek sineğe ulaşılır.

İşte bu, kartezyen koordinat sisteminin ilk ortaya çıkış hikayesidir.

Descartes’in buluşunu yayımlaması ile analitik geometri ismi verilen yeni bir geometri alanı ortaya çıkmış oldu.

Analitik geometri = Kartezyen geometri = Koordinat geometrisi

Kartezyen Koordinat Sistemi

Descartes’in tavanının sol alt köşesi başlangıç olsun. Tavanın başlangıç noktasından iki yöne doğru gidilebilir: Yukarı veya sağa.

yukarısaga

Descartes’e göre tavanın herhangi bir yerinde bulunan nokta veya cisme iki adımda ulaşılabilir: X kadar sağa, Y kadar yukarı şeklinde.

O halde noktanın (veya cismin) pozisyonu iki ayrı sayıyla ifade edilebilir. Bunu gösterirken parantez içinde önce sağa sonra yukarı ne kadar gidildiği yazılır.

Örnek: Birim santimetre, sineğin bulunduğu yer ise şekildeki gibi olsun.

hqdefault (1)

Sineğe ulaşmak için sağa 4 cm, yukarı 3 cm gidilmesi gerekiyorsa, sinek (4,3) konumunda bulunuyor denilir.

Hırsızı Yakala

Oyun için gerekenler:

  • 6×6’lık bir kartezyen koordinat sistemi.
  • Zar.
  • Kağıt ve kalem.

İki kişilik bir oyun olan “hırsızı yakala”da oyuncular sırayla hırsız ve polis olur. Hırsızın görevi koordinat sisteminde saklanmak iken polisin göreviyse hırsızı en kısa sürede (yani en az tahminle) bulmaktır.

IMG_6397
Hırsızı yakala oyunu için gereken koordinat düzlemi.

Hırsız iki defa zar atarak yerini belirler: (İlk zar, İkinci zar).

Polis ilk tahminini yapar. Eğer tahmin doğruysa sorun yok. Turnayı gözünden vurmuş oldunuz.

Eğer tahmin yanlışsa hırsız polise bir mesaj gönderir. Mesajda bir sayı yer alır. Bu sayı hırsızın konumuyla polisin konumlarını belirten sayı ikilileri arasındaki farkı belirtir.

Örneğin hırsız (2,2) konumundayken polis (4,1) tahminini yaparsa hırsız konumlar arasındaki farkları toplar. Konumlar arası farklar: 4-2=2 ve 2-1=1 olur. O halde örnekte hırsızın polise attığı mesajda 3 yazar.

Polis ikinci tahminini bu sayıyı göz önünde bulundurarak yapar ve bu döngü polis hırsızı yakalayana dek sürdürülür.

Örnek

Hırsız zarları atar. İlkinde 3, ikincisinde 4 gelmiştir. O halde hırsızın konumu (3,4) noktasıdır.

Polis ilk tahminini (2,2) diye yapar ve ıskalar.

Konumlar arası farklar 3 – 2 = 1, 4 – 2 = 2’dir. Bu yüzden hırsız polise 3 mesajını gönderir.

Polis zor bir durumdadır çünkü 3 cevabı içerisinde çok fazla ihtimal bulunduran bir cevaptır.

İhtimal 1: Polis x’e 3 ekler. Tahmin: (5,2).

İhtimal 2: Polis x’e 2, y’ye 1 ekler. Tahmin: (4,3).

İhtimal 3: Polis x’e 1, y’ye 2 ekler. Tahmin: (3,4).

İhtimal 4: Polis y’ye 3 ekler. Tahmin: (2,5).

İhtimal 5: Polis x’den 2, y’den 1 çıkarır. Tahmin: (0,1).

İhtimal 6: Polis x’den 1, y’den 2 çıkarır. Tahmin: (1,0).

İhtimal 7: Polis x’den 2 çıkarır, y’ye 1 ekler. Tahmin: (0,3).

İhtimal 8: Polis x’den 1 çıkarır, y’ye 2 ekler. Tahmin: (1,4).

İhtimal 9: Polis x’e 2 ekler, y’den 1 çıkarır. Tahmin: (4,1).

İhtimal 10: Polis x’e 1 ekler, y’den 2 çıkarır. Tahmin: (3,0).

Polis ikinci hamlesinden itibaren aynı stratejiyi kullanarak hırsızı yakalamaya çalışır.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Eğer polis onuncu ihtimali seçerse bir sonraki hamlesini kaç tane ihtimal arasından yapar?
  2. Ben hırsızım, siz de polis. İlk tahmininiz (3,3), size gönderdiğim mesaj 2 olsun. Nerede saklanıyorum? Yorumlara cevabınızı yazabilirsiniz.