Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #7

H&G Oyunu

Bu ismi çoğunuzun küçükken öğrendiği Hansel ve Gretel’in hikayesinden esinlenerek koydum. (Eğer hikayeyi bilmiyorsanız lütfen okuyun.)

H&G’de amaç iki yer arasındaki en kısa yolu bulmaktır. Fakat oyun oturulan yerden değil, bizzat deneyimlenerek ilerler. Sonuca yaşanılan deneyimlerden çıkarım yaparak ulaşılır.

Şimdiden belirtmem gerekiyor: Bu oyunu böceklerden, özellikle karıncalardan öğrendik. Yazının devamında buna değineceğim.

Peki H&G nasıl oynanır?

  • Oyuncular belirtilen iki yer arasında yürüyüş yapar.
  • Her oyuncunun başlangıç ve bitiş yerleri aynıdır.
  • Yürüyüş için birden fazla yol vardır.
  • Amaç bu iki yoldan hangisinin daha kısa olduğunu bulmaktır.
  • Oyun sırasında kalem dışında hiçbir aletin kullanımına izin verilmez. (Saat, telefon vs. dahil.)
  • Oyuncular başlangıç ve bitişe vardığı her sefer için kalemle bir çizgi çizer.
  • Oyuncuların hızlarının aynı (ya da en azından benzer) olması için koşmaları yasaktır.

Oyun #1

H&G için hazırlanan iki yol aşağıdaki gibi olsun:

20190425_134042.jpg

Bu iki yol üzerindeki ilk yürüyüş başlarken hem A hem de B’de oyuncular bir süre aynı yolu gider, fakat yürüyüş devam ettikçe A’dekiler B yolundaki oyunculardan çok daha önce bitişe varır:

20190425_134109.jpg

B’de yürüyen oyuncular bitişe ulaştığında diğer yoldakilerin ilk çizgiyi koyduğunu görür. Bu da A yolunun B’den daha kısa olduğunu belirtir. Oyuncuların bir kısmı B’ye hala inanıp geri dönüşü yaptığında, bitişe ulaştıklarında A’dakilerin ikinci çizgiyi çektiğini görür.

Böylece B’nin daha uzun olduğunu (gerçekten inatçı olanlar hariç) herkes görmüş olur. Oyun devam ettiği sürece A’dakiler B’dekilere fark atacağı anlaşılmıştır.

Oyun #2

İlk oyunda herkes A yoluna geçmişken A üzerine aşağıdaki gibi bir engel koyalım:

20190425_134136.jpg

Oyunculardan en az biri B’yi denemeye karar verir. Bir kaç tur sonra çizgi sayılarında B’nin A’ya yaklaştığını fark eden oyuncular B yoluna geçmeye başlar:

20190425_134159.jpg
Yavaş da olsa B’deki oyuncular A ile farkı kapatır.

Zamanla oyuncuların hepsi B’nin daha kısa yol olduğunu kabul eder.

Oyun #3

İkinci oyun devam ederken C ismi verilmiş olan üçüncü bir yol açılsın:

20190425_134223.jpg

Yine oyunculardan en az biri C’yi denemeye karar verir. Aynı bir önceki oyun gibi oyunculardan dikkatli olanlar çizgi sayılarına bakarak hangi yolun daha kısa olduğuna karar verir.

En İyi H&G Oyuncuları: Karıncalar

Yazının başında karıncaların bize en kısa yolu bulmayı öğrettiğini söylemiştim. 1992’de Marco Dorigo ismindeki bir bilim insanı karıncaların yemek arayışlarıyla ilgili bir araştırma yapmıştı. Dorigo araştırması sonucunda karıncaların yuvalarıyla besin kaynakları arasındaki yolu nasıl gittiklerini açıklamıştı.

Karınca yuvası ve besin kaynağı aşağıdaki gibi olsun:

20190425_134508.jpg

Karınca besin kaynağını yuvasına aşağıdaki gibi bir yol izleyerek taşısın:

20190425_134535.jpg

Feromon: Aynı türün üyeleri arasındaki sosyal ilişkileri düzenleyen kimyasal madde.

Karıncalar yürürken arkalarında feromon, yani bir tür kimyasal madde bırakır:

20190425_134548.jpg

İşte karıncaların en kısa yolu bulmalarını sağlayan şey de bu maddedir. Bir yoldan ne kadar çok karınca geçerse o yolda o kadar çok feromon vardır. Aynı bizim kalemle çizgi çizmemiz gibi.

Gelin karıncaların yoluna bir engel koyalım:

20190425_134602.jpg

Karıncaların bir kısmı engelin aşağısından, diğer kısmıysa yukarısından yoluna devam eder:

20190425_134620.jpg

I numaralı yol daha kısa olduğu için karıncalar bu yolun üzerinde daha çok tur atarlar. Yani daha çok feronom bırakırlar:

20190425_134631.jpg

Zamanla diğer yoldaki karıncalar daha çok feronom olan yolu tercih eder.

Karınca Kolonileri Algoritması (KKA)

Gündelik hayatta her işimizi en hızlı ve en kısa yoldan halletmeye çalışıyoruz. İşte bunu yaparken bize yardımı olan algoritmalardan birinin adı Karınca Kolonileri Algoritması’dır. Bu algoritmanın mantığı karıncaların en kısa yolu bulma yönteminden gelir.

Quicktron-Alibaba-warehouse
Alibaba’nın içinde sadece robot çalışan deposu.

Örneğin KKA robotların hareketlerini belirlemesinde büyük önem teşkil eder. Bir alanda birden çok robotun birbirine çarpmadan hareket edebilmesi için KKA kullanılır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #6

Şimiotaksi

Akıllı telefonlar için taksi uygulaması gibi bir ismi olsa da şimiotaksi kimya göçümü anlamına gelir. Canlılar kendilerini (iyi ya da kötü yönde) etkileyen kimyasal maddeler yüzünden yanlı rastgele harekette bulunurlar. İşte bu harekete şimiotaksi denir.

Eğer ortamdaki madde o canlının yaşamı için gerekliyse canlı o maddeye doğru ilerlerken tersi durumda canlı maddenin bulunduğu yerden uzaklaşır:

Resme göre kırmızı madde canlı için zararlı, mavi maddeyse canlının sevdiği ortam anlamına gelir.

Rastgele Güzergah

Bir önceki yazıda bir boyutta yanlı rastgele yürüyüşten bahsetmiştim. Şimdi bildiklerimizden yola çıkarak iki boyutta yanlı rastgele yürüyüş yaratmaya çalışalım.

İki boyutta rastgele yürüyüş için dört olası sonuç vardı: Aşağı, yukarı, sağ ve sol. Bu dört sonucun her biri eşit (1/4) ihtimale sahipti. İki boyutta yanlı bir rastgele yürüyüş için yine ihtimalleri aynı bırakalım fakat aşağı ve sola giderken birer, yukarı ve sağa giderken ise ikişer adım atılması kuralını getirelim. Böylece N tane rastgele adım sonrasında başlangıç noktasının yukarı ve sağ tarafında olma ihtimali daha yüksek olacaktır:

İki boyutta rastgele yürüyüş için kullandığımız 12 yüzlü zarı 10 defa attıktan sonra (1-2-3 yukarı, 4-5-6 aşağı, 7-8-9 sağa, 10-11-12 sola) rastgele adımlar resimdeki gibi oldu.

Resimde de görülebileceği üzere iki boyutta yanlı yürüyüş ile şimiotaksi özünde aynı şeylerdir. Eğer bir koordinat düzleminde yukarı ve sağ tarafta bir canlının besin kaynağı yer alıyorsa, canlı rastgele yürüyüşünü o tarafa doğru yapar.

Gelin bir de şu resimlere bir göz atalım:

Solda bir canlının herhangi bir etki altında kalmadan yaptığı rastgele hareketileri görebilirsiniz. Sağdaki örnekteyse mavi noktalar madde için besin kaynağını gösteriyor olsun. Besin kaynağının yoğunluğu yukarı ve sağ tarafta daha çoktur. Bu yüzden de canlı o bölgeye doğru hareket eder. Yani canlının rastgele hareketleri yanlıdır ve besin yoğunluğuna doğrudur.

Dalış ve Dönüş

Koli basili (çoğu zaman uysal olmasına rağmen) bazı durumlarda ölüme kadar varan hastalıklara yol açabilen bir bakteri türüdür. Koli basili bakterisi için besin kaynaklarından biri şekerdir. Bu yüzden bakteri şeker yoğunluğunun yüksek olduğu yerlere doğru hareket eder.

Koli basilinin üzerinde bakterinin hareket etmesini sağlayan iplik benzeri organeller/kamçılar vardır. Bu kamçılar saat yönünün tersinde iken yüzer gibi ilerlemesini (suya dalışı hayal edebilirsiniz), saat yönü istikametindeyken ise farklı bir yöne doğru dönmesini sağlar. Yani koli basili bakterisinin hareketleri dalış ve dönüş diye adlandırılabilir.

shutterstock_487315975.jpg

Bakterinin hayatta kalmak için kullandığı dalış ve dönüş aslında bir tür yanlı rastgele yürüyüştür.

Besin etrafında bulunan koli basili bakterileri rastgele hareketlerini besinin olduğu yere doğru yapar.

Sonuç

Beyni olmayan tek hücreli canlılar dahi matematiği kullanarak yaşıyor.

Peki bilinen en akıllı canlı olan insanların önemli bir kısmı nasıl oluyor da matematikten hiç anlamadığını iddia ediyor?

İnsanoğlu etrafında olan bitenleri anlamak için matematiği kullanmak zorundadır. Çünkü matematik bu olan bitenleri açıklayan dilin ta kendisidir.

Artık bunu bildiğinize göre size hep garip gelen olayların ardındaki matematiği araştırmaya başlayabilirsiniz. Sorularınızı bana da gönderebilirsiniz. Cevaplamaktan büyük memnuniyet duyacağım.

Rastgele Hareketle İlgilenenler İçin: Doğada Rastgele Hareket

Brown Hareketi: Akışkan içerisindeki bir parçacığın gözle görülemeyen atom ve/veya moleküllerle çarpışarak yaptığı rastgele harekettir.

Hareket, ismini botanist Robert Brown’dan alır. 1827’de yaptığı bir deneyde polen taneciklerinin su içerisinde sürekli hareket ettiğini gözlemleyen Brown, hareketin suyun akımından kaynaklanmadığını fark etmesine rağmen neden meydana geldiğini açıklayamamıştı. Brown hareketini açıklayan ilk kişi 1905 yılında yazdığı makaleyle Albert Einstein olmuştu. (Brown hareketini görmek için tıkla.)

dust-particles-air-conditioner-depth-footage-011895151_prevstill

Brown hareketine verilebilecek en güzel örnek toz parçacıklarının güneş ışığında görülebilen hareketidir. Toz parçacıkları çıplak gözle görülemeyen hava molekülleriyle çarpıştığı için rastgele hareketler yapar. Bunu hayal ederken toz parçacıklarını pinpon topu, hava moleküllerini ise raket olarak düşünebilirsiniz. Anlaşılacağı üzere Brown hareketi hem sıvı hem de gaz içerisinde meydana gelebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #5

Sarhoşun Güzergahı

Sonunda sıra muhasebeci Ali’nin problemine geldi. Bir sarhoşun rastgele seçimler yaparak evine ulaşıp ulaşamayacağını belirlemek için bir boyutta rastgele yürüyüşten bahsetmemiz gerektiğini söylemiştim. Fakat biz yeryüzünde yaptığımız yürüyüşlerde sağ ve soldan başka seçeneklere de sahibiz.

Gelin sarhoşun güzergahını iki boyutta rastgele yürüyüş olarak düşünelim.

İki boyutta rastgele yürüyüş için dört farklı ihtimal vardır: Aşağı, yukarı, sağ ve sol. Bu dört yön bize geometrinin tanıdık bir kısmı olan koordinat düzlemini hatırlatır. Koordinat düzleminde orijini sarhoşun başlangıç noktası olarak belirlediğimizde ilk adım için aşağıdaki ihtimaller belirir:

İki boyutta rastgele bir yürüyüşü test etmek için 12 yüzlü zar kullanılabilir. Zar atıldığında:

1-2-3 gelirse yukarı bir adım,

4-5-6 gelirse aşağı bir adım,

7-8-9 gelirse sağa bir adım,

10-11-12 gelirse sola bir adım atılır.

IMG_6524

Soru: İki boyutta N tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına kaç adım uzakta olunur?

Bu sorunun cevabı tıpkı bir boyutta olduğu gibi adım sayısının kareköküdür. Yani cevap N tane rastgele adım için √N olur. Fakat bu sefer orijini merkez, yarıçapı ise √N olan bir çemberi hayal etmemiz gerekir. Yürüyüşün tamamlanma ihtimalinin en yüksek olduğu alan bu çemberdir.

çember.jpg
20 tane adım için √20=4,47. Buna 5 dersek, 20 rastgele adım sonunda taralı alan içinde bir yerde olma ihtimalimiz yüksektir.

Bir boyutta rastgele yürüyüş sonrası üç çıkarımdan bahsetmiştim. Bu çıkarımlardan üçüncüsüne göre bir boyutta atılan rastgele adım sayısı ne kadar çok olursa başlangıç noktasına dönme ihtimali o kadar fazladır.

Aynısı iki boyuttaki rastgele yürüyüşler için de geçerlidir; adım sayısı ne kadar fazlaysa adımı atan kişinin başlangıç noktasına dönme veya ona çok yakın olma ihtimali de o derece yüksek olur.

“Sarhoş bir insan muhakkak evinin yolunu bulur, fakat sarhoş bir kuş sonsuza dek kaybolabilir.”
Shizuo Kakutani

Bu sonuç sarhoş Ali’nin sürekli başladığı yere gelme ihtimalinin evine varma ihtimalinden daha yüksek olduğunu söyler. Fakat Ali rastgele tercihler yapmasına rağmen er ya da geç evine ulaşır.

Hatta bunu bir adım daha öteye götürelim: Eğer muhasebeci Ali yeterince uzun süre boyunca yürümeye devam ederse, mahallesinde bulunan tüm sokakları ziyaret etmiş olur. Bu yüzden iki boyutta rastgele yürüyüş tekrar eden bir yürüyüştür. Fakat işler üç ve üstü boyutta değiştir. İkiden büyük boyutlarda rastgele hareket geçicidir. Shizuo Kakutani bu nedenle sarhoş bir kuşun sonsuza dek kaybolabileceğini söylemiştir.

güzergah
Eğer Ali yürüyüşünü yeterince uzun tutarsa mahallesinin tüm sokaklarını gezmiş olur.

Yanlı Rastgele Yürüyüş

Bir boyutta rastgele yürüyüş için iki sonucun (sağa ve sola bir adım atmak) eşit ağırlıkta (1/2) olasılığa sahip olduğunu artık adımız gibi biliyoruz.

Gelin başka bir rastgele yürüyüş tipi bulmaya çalışalım. Fakat bunu yaparken ihtimalleri aynı, adım sayılarını ise farklı tutalım. Yani sağ veya sol tercihi ½ olasılıkla gerçekleşecek, ama sağa iki adım atılırken sola bir adım atılacak.

İşte bu, bir yanlı rastgele yürüyüş örneğidir. Normal rastgele yürüyüşte bir adım +1 veya -1 değerini alabilirken, yarattığım yanlı rastgele yürüyüşte bir adım +2 veya -1 olur.

Rastgele yürüyüşün yanlılığı N adım atıldıktan sonra başlangıç noktasının sağında bulunma ihtimalinin çok yüksek olmasından gelir. Önceki yazılarda bir boyutta yürüyüşü havaya para atarak (yazı-tura ile) göstermiştim. Yazı sağa, tura ise sola doğru adım atmak anlamına geliyordu. Yanlı rastgele yürüyüşe göre havaya atılan bir paranın yazı gelmesi sağa iki adım, tura gelmesiyse sola bir adım demektir.

Parayı 10 defa havaya attıktan sonra durduğum nokta:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir madeni parayla aynı deneyi siz de yapın ve sonuçlarınızı karşılaştırın.

Not: Bitmedi. Devamı yarın ki yazıda.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #4

Neredeyim Ben?

Matematikçiler genelleme yapmaya bayılır. Bazen benim de hoşuma gitmemesine rağmen genel durumları kullanmak matematikte sihir yapmamıza olanak verir. Sihirden daha güzel bir şey var mı?!

Diyelim ki (genelleme geliyor) bir boyutta N tane rastgele adım attık. Düşük bir ihtimal olsa da N tane adımın hepsi sağa (veya sola) doğru atılabilir. Bu, başlangıç noktasının sağında +N noktasında (veya solunda -N noktasında) durduğumuz anlamına gelir. Yani başlangıç noktasına N adımda en fazla N kadar uzakta olunabilir.

Eğer N adımın yarısını sağa, diğer yarısını ise sola doğru atarsak tam olarak başlangıç noktasında dururuz. Bu da başlangıç noktasına en az 0 adım uzakta olabileceğimiz ihtimaldir.

IMG_6504

O halde N tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına 0 ile N birim kadar uzakta oluruz.

Soru: Bir boyutta belli sayıda rastgele adım attıktan sonra başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta olabileceğimizi adımları atmadan önce nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun cevabı N tane rastgele adım için N’in kare köküdür. Örneğin 100 rastgele adım sonrasında başlangıç noktasına √100 = +/- 10 adım uzaklıkta oluruz.

Nedenini öğrenmek için tıklayın.

Peki bu bilgiyi ne zaman ve nasıl kullanabiliriz?

Basketbol Takımının Sırası

Avrupa’nın en büyük basketbol organizasyonu olan Euroleague’de 16 takım sezona başlar. Lig usulü oynanan normal sezonda takımlar birbiriyle ikişer defa karşılaşır. Normal sezon sonunda ilk 8 sırada yer alan takımlar aralarında playoff oynar ve şampiyonu belirler.

yuro.jpg
23 Aralık 2018 itibariyle Euroleague puan tablosu.

Diyelim ki bu ligde orta sıraları hedefleyen bir takımın taraftarısınız. Yani takımınız playoff’a 8. sıradan da olsa kalmak istiyor. Sene başında maç takvimine bakıp takımınızın playoff mücadelesi verebilmesi için kaç galibiyet alması gerektiğini tahmin etmeye çalışıyorsunuz: “Barselona’yı evimizde yensek, Daçka’yı her iki maçta da yeneriz herhalde…”

Aslında bunu yapmaya mecbur değilsiniz. Gayet tabi ki takımınızın kaç maç kazanabileceğini matematikten yararlanarak tahmin edebilirsiniz.

Bir basketbol mücadelesinin iki tane sonucu vardır: Kazanmak veya kaybetmek. Her ne kadar takımların güçleri arasındaki fark olasılığı etkilese de bir basketbol maçında sadece iki ihtimal olduğu gerçeği değişmez.

Rastgele Yürüyüşle Benzerlikler

Bir boyutta rastgele yürüyüş yaparken sağ ve sol olmak üzere sadece iki olası sonuç vardı. Basketbol maçlarında da tıpkı bir boyutta rastgele yürüyüş gibi iki olası sonuç vardır.

Bir basketbol takımı normal sezonda 15×2 = 30 maç yapar. Bu, bir boyutta 30 tane rastgele adım atmakla aynı şeye tekabül eder.

O halde bu basketbol takımının 30 maç sonunda kazandığı maç sayısının kaybettiği maç sayısından farkı 30’un karekökü olur.

√30 = 5,47…

Biz buna 6 maç diyelim. Bu 6 maçın sonucu şansa bağlıdır. Takımınız hepsini kazanmış veya kaybetmiş olabilir. Bu, 30 maç sonunda takımınızın en iyi durumda kaybettiğinden 6 maç daha fazla maç kazanabileceği anlamına gelir. En kötü durumdaysa kazandığından 6 maç fazlasını kaybedebilir:

IMG_6506

Sonuç

Rastgele yürüyüşten elde ettiğimiz bilgi bize Euroleague’de 18 ile 12 arasında maç kazanan bir takımın playoff mücadelesi vereceğini söyler.

Önceki iki sezonun Euroleague sıralaması bu şekildeydi. Görüldüğü üzere 18 ile 12 galibiyet arasında kalmak ilk 8’e girmek için mücadele etmek anlamına geliyor.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir boyutta rastgele yürüyüşten öğrendiklerimizi 18 takımlı ligde mücadele eden bir futbol takımı için kullanmayı deneyin. Buradaki fark bir futbol müsabakasının üç ihtimalle bitecek olmasıdır.

Öğrendiklerinizi bu duruma nasıl uygulayabilirsiniz? Ortalama bir takım bu ligde kaç puan aralığında sezonu bitirmelidir?

Not: Sarhoş Ali’yi unutmadım. Cevaba yavaş yavaş ilerliyoruz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #4(Ekstra)

Soru: Bir boyutta belli sayıda rastgele adım attıktan sonra başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta olabileceğimizi adımları atmadan önce nasıl tahmin edebiliriz?

Diyelim ki bir boyutta N tane rastgele adım attık. Bu noktada adımlara kısa isimler vermem gerekiyor, yoksa hepsini tek tek yazmak hem karışıklık yaratır hem de beni boşa yormuş olur. Adım kelimesinin baş harfini ele alıyorum ve örneğin birinci adımı a1 olarak tanımlıyorum. Bu durumda

ikinci adım: a2,

üçüncü adım: a3,

dördüncü adım: a4,

N’inci adım: aN

olur.

Her adımın iki olası değeri olduğundan bahsetmiştim: +1 veya -1. Ayrıca bu iki sayının gelme olasılığının da aynı ve ½ olduğunu söylemiştim. Elimdeki bilgiler ışığında herhangi bir rastgele adımın alabileceği ortalama değeri bulabilirim.

Bu değer sayıların olasılıkları aynı olduğu için aritmetik ortalama ile bulunur: Yani sayıları topla ve toplamı ikiye böl. a1’in ortalama değerini <a1> ile gösterirsek:

IMG_6511

Böylece her adımın ortalama değeri 0 (sıfır) çıkar.

<a1> = 0

<a2> = 0

<a3> = 0

<aN> = 0

olur.

Tüm ortalama değerlerin toplamı rastgele N tane adım sonrası başlangıç noktasından ne kadar uzakta olduğumuzu gösterir. Başlangıç noktasına uzaklığı da u ile gösterelim. Yani;

u = <a1> + <a2> + <a3> + … + <aN> = 0 + 0 + 0 + … + 0 = 0.

Bulunan sonuca göre başlangıç noktası olarak 0’dan başlanıp N tane rastgele adım atıldığında başlangıca 0 (sıfır) uzaklıkta olmayı beklemeliyiz. Halbuki N tane adımın tamamı (örneğin) +1 olabilir. Öyle bir durumda cevap N adım uzaklık olur. Fakat matematik bize diyor ki N tane adımı birçok defa denerseniz sonuç eninde sonunda 0 (sıfır) olacaktır.

Daha Güzel Matematik Kullanalım

Sıfır sonucu ne sizi, ne beni ne de bunlarla uğraşan matematikçileri memnun etmez, çünkü bu sonuç tüm gerçeği yansıtmıyor. Evet, rastgele atılan N adım sonrasında başlangıç noktasına dönmemiz mümkün olsa da bunun tek sonuç olmadığını hepimizi biliyoruz.

Aslında sonuç olarak bir aralıkla karşılaşmak daha uygun olurdu. Bunu başarabilmek için matematiksel manipülasyonlara başvurmamız gerekir.

Biz bir adımın +1 veya -1 sonucunu alabileceğini biliyoruz. Peki her adımın karesini alsak, adımların karelerinin alabileceği tek sonuç +1 olmaz mı? Evet olur, çünkü +1’in de -1’in de karesi +1 yapar.

a12 = 1

a22 = 1

a32 = 1

aN2 = 1

Başlangıç noktasına uzaklığa u demiştim. O zaman u’nun karesini alalım. Karşımıza uzun bir denklem çıkar:

u2 = (<a12> + <a22> + <a32> + … + <aN2>) + 2 (<a1a2> + <a1a3> + <a1a3> + … + <a1aN> + <a2a3> + … + <a2aN> + … )

Denklemin ilk kısmı N tane 1’in toplamı yapar: N.

Denklemin ikinci kısmında tüm çarpımlar birbirine eşittir. Bu sebeple çarpımlardan sadece birini hesaplamamız yeterlidir.

<a1a2> için a1a2 değerini hesaplayalım:

Resimde de görüldüğü üzere denklemin ikinci kısmı 0 (sıfır) toplamını verir. O halde başlangıç noktasına uzaklığın karesi

u2 = N

olur. Burada her iki tarafın karekökü alınırsa Başlangıç noktası için iki değer ortaya çıkar: +√N ve -√N.

Bulduğumuz sonuca göre örneğin bir boyutta 100 tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına √100 = +/- 10 adım uzaklıkta olunur.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #3

Evine Dönen Sarhoş

Muhasebeci Ali bir haftayı daha bitirmişti. Genelde hafta sonlarını sakin geçiren Ali bu cuma akşamında mezun olduğundan beri görmediği üniversite arkadaşlarıyla buluşacaktı. Neredeyse sabaha dek eskiyi yad eden grup muhabbeti bol alkolle karıştırmış, alkole pek dayanıklı olmayan Ali gecenin sonunda körkütük sarhoş olmuştu.

cemill

Buluştukları yer Ali’nin evine yürüme mesafesindeydi. Zaten bu yüzden kendini tutmadan içen Ali, her halükarda evini bulabileceğini düşünüyordu.

Fakat Ali gözünün önünü göremeyecek durumdaydı. Bu yüzden evine dönerken rastgele bir yol izliyordu.

“Bu sokak tanıdık geliyor, ben burada yaşıyorum sanırsam.”

Soru: Bir sarhoş izlediği rastgele güzergaha rağmen evine ulaşabilir mi?

Bir Boyutta Rastgele Yürüyüş

Ali’nin problemine dönmeden önce bir boyutta rastgele yürüyüşten bahsetmem gerekir. Bir boyutlu bir yol küçüklüğümüzden aşina olduğumuz sayı doğrusunu ifade eder.

Sayı doğrusu üzerinde gidilebilecek iki yön vardır: Sağ ve sol.

Kurallar:

  • Bir boyutta sağa doğru atılan 1 adım +1, sola doğru atılan bir adımsa -1 değerinde olsun.
  • Sağ ve sol tercihi eşit olasılığa sahip olsun.
  • Bu yüzden hem sağa hem de sola doğru bir adım atılması ihtimali 1/2 olur.

IMG_6486

Bir sayı doğrusu çizip sıfırı başlangıç noktası kabul edelim. İlk adım ya sağa ya da sola atılır. Ya +1, ya da -1. İhtimaller ise 1/2’dir.

İkinci adım ilkine bağlı olacağı için biraz daha karmaşık olacaktır. İlk adım için sıfırdan +1’e ya da -1’e gidilebiliyordu. Yani iki ihtimal vardı. İkinci adımda ihtimal sayısı dörde çıkar:

+1 -> 0,

+1 -> +2,

-1 -> 0,

-1 -> -2.

Bunların hepsi eşit olasılıkta olduğu için dört ihtimal de 1/4 olur.

IMG_6488

İkinci adımın:

+2’ye atılma ihtimali 1/4,

-2’ye atılma ihtimali 1/4,

0’a atılma ihtimali 1/4+1/4=2/4’tür.

Peki ya üçüncü adım?

Üçüncü adım +2, -2 ya da 0 noktalarından birinden başlanarak atılır:

  1. +2’deyse +3 veya +1’e adım atılabilir. +2’ye gelme olasılığı 1/4 idi. O zaman +3 ve +1 için ihtimaller bunun yarısı olur: 1/8’er.
  2. -2’deyse -3 veya -1’e adım atılabilir. -2’ye gelme olasılığı 1/4 idi. O zaman -3 ve -1 için ihtimaller bunun yarısı olur: 1/8’er.
  3. 0’daysa +1 veya -1’e adım atılabilir. 0’a gelme olasılığı 2/4 idi. O zaman +1 ve -1 için olasılıklar bunun yarısı olur: 2/8’er.

IMG_6489

Üçüncü adım için ihtimaller:

+3: 1/8.

-3: 1/8.

-1: 1/8+2/8=3/8.

+1: 1/8+2/8=3/8.

Aynı yöntemleri kullanarak dördüncü ve beşinci adımlara ulaşınca aşağıdaki sonuçlar ortaya çıkar:

100 adım atıldıktan sonra durulan nokta ve onun olasılığı aşağıdaki gibidir:

image002
En yüksek ihtimal başlangıç noktasına (yani sıfıra) geri dönüştedir.

Bir boyutta rastgele yürüyüşle ilgili aşağıdaki sonuçlara varabiliriz:

  1. Çift sayıda adım atıldığında çift sayıların, tek sayıda adım atıldığında ise tek sayıların üzerinde olunur.
  2. Adım sayısını arttırdıkça olasılığın 0 (sıfır), yani başlangıç noktasında en yüksek olduğu görülür.
  3. İkinci maddeden anlaşılacağı üzere ne kadar çok adım atılırsa başlangıç noktasına dönme ihtimali o kadar çok artar.

Bir Boyutta Rastgele Yürüyüş Oyunu

Eşit şanslarla iki ihtimalin olduğu akla gelen en basit örnek havaya para atmaktır. Para atarken ihtimaller sadece yazı ve tura iken her ikisinin de gelme ihtimali 1/2’dir.

O halde bir boyutta rastgele yürüyüşü yaparken yazı gelirse sağ, tura gelirse sol diyebilirim. Yani paranın yazı tarafı gelirse +1 adım, tura tarafı gelirse -1 adım atılmış olur.

502907-3-4-24aa2

  1. Parayı havaya 10 defa atın. Rastgele yürüyüşünüz nerede bitti?
  2. Aynı şeyi bu sefer 30 para atışıyla yapın. Sonuçların arasında nasıl bir fark gördünüz?

“Ali’ye ne oldu?” diye sorduğunuzu duyar gibiyim. Birazcık sabır lütfen. Cevaba emin adımlarla ilerleyeceğiz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Hayat-Matematik İlişkisi #2

Çember – Kibrit İlişkisi (2)

Kibrit

Binlerce yıl boyunca insanlar π sayısını (3,141592…) hesaplamak için çeşitli yöntemler denerken bazı özel kişiler bu gizemli sayıya tahmin dahi edilemeyecek yerlerde rastlamıştı. 18. yüzyılda yaşayan Georges Buffon bu özel insanlardan biriydi.

1777 yılında ortaya attığı bir olasılık probleminin çözümü, Buffon’u π sayısıyla karşı karşıya getirmişti. Ben de Buffon’un İğne Problemi olarak adlandırılan bu problemi “Serkan’ın Kibrit Problemi” olarak değiştirdim (ya da çaldım).

Buffon’un İğne Problemi: Üzerinde belli aralıklarla düz çizgiler çizilmiş bir kağıda atılan bir iğnenin, bu çizgilerden birinin üzerine gelme ihtimali nedir?

Serkan’ın Kibrit Problemi’ne başlarken gerekenler: Azami 100 adet kibrit, boş kağıt, kalem ve hesap makinesi.

Önce boş kağıda aralarında iki kibrit boyu mesafe olan çizgiler çizin.

Sonra kibritleri kağıdın üzerine rastgele dağıtın.

IMG_4648

Çizgilerin üzerine gelen kibritleri sayın ve toplam kibrit sayısına bölün.

Deneyimde kullandığım 100 kibritin 32 tanesi çizgilerin üzerine denk gelmişti. Bu iki sayının birbirine oranı bizim gizemli sayıya yakınsıyor.

IMG_4651
100/32=3,125

Bu değeri ilk denememde bulmam büyük bir şans. Çünkü sadece 100 kibritle π’ye  yakın bir sayıya rastlamak mümkün değil. Örneğin ikinci denememde 100 kibritin 34’ü çizgilere denk geldi. Bu da bana 100/34=2,9411… değerini verdi ki bu π’ye pek yakın değil.

π’ye daha yakın değer bulmak için yapmamız gereken şey kibrit sayısını artırmaktır. 1980’de Buffon’un İğne Problemi’ni inceleyen bir makalede 2000 adet iğne kullanılarak π=3,1430… gibi yakınsak bir değer bulunmuştur.

pi1000
Illinois Üniversitesi’nin yaptığı bu web sitesindeki simülatörü kullanarak 1000 adet iğne ile 3,1496… gibi bir değere ulaştım. Sitede bizzat deneyip çıkan sonuçları karşılaştırabilirsiniz.

Bu nasıl oluyor sorusunun cevabını ileride trigonometriden bahsettikten sonra vereceğim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Buffon’un İğne Problemi’ni kendiniz beş defa deneyin ve bulduğunuz sonuçların aritmetik ortalamasını alın. π’ye ne kadar yakınsadınız?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Hayat-Matematik İlişkisi #1

Çember-Kibrit İlişkisi (1)

Matematik doğada meydana gelen olayları açıklamak için kullandığımız bir dildir. Matematikçiler ise (iyi olanları tabi ki) bu dilin bir nevi ustalarıdır. Kimsenin görmediğini görmek, alakasız olduğu düşünülen olaylar arasında bağlantı bulmak ve bunu matematiğin evrensel diliyle tüm dünyaya anlatmak (iyi) matematikçilerin ortak özellikleri arasındadır.

Yani sanılanın aksine “matematikten anlamak” iyi hesap yapmak veya sayılarla arası iyi olmak demek değildir. Matematikçi ilişki gösterir, simetriyi işaret eder, örüntüyü açıklar… Hem de en olmayacak yerlerde!

Örneğin bir çember ile yüzlerce kibritin ortak bir noktası olduğunu ancak matematikle keşfedip açıklayabiliriz.

Çember

Önce çemberle başlayalım. Çemberin merkezinden geçen ve sınırlarına kadar uzanan düz çizgiye çap denir. Yarıçap ise merkezle çemberin sınırı arasındaki mesafedir.

Pergel yardımıyla bir çember çizerken pergelin açıklığı bize çemberin yarıçapını verir. Mesela pergeli 3 cm kadar açarsak, çizilen çemberin yarıçapı 3, çapı 6 cm olur.

Şekildeki çemberde çevre uzunluğu yaklaşık olarak 18,85 cm’dir. Gelin çap ile çemberin çevresi arasında nasıl bir ilişki olduğuna bakalım.

IMG_4642
18,85/6 = 3,1416666…

Şimdi de belirlediğimiz ölçüde bir çember oluşturalım. Bunun için kahve kupamı kullanacağım. Kupanın ağız kısmı yaklaşık 25,8 cm uzunluğunda bir çember şeklindedir.

Bu çemberin çapı ise yaklaşık 8,2 cm’dir. Çemberin çevresini çapına bölelim.

IMG_4639
25,8/8,2 = 3,14634146…

İki örnekte de bir çemberin çapına oranı 3,14 sayısına yakınsıyor. Bu sonuç tabi ki tesadüf değil. İnsanlığın çember ve çap arasındaki bu bağlantıyı fark etmesi en az 4000 yıllık bir olay.

Gizemli Sayının Kısa Bir Tarihçesi

M.Ö. 2000: En başta bu sayı 3 olarak düşünülmüş. Antik Mısır’dan günümüze kalan yaklaşık 4000 yaşındaki Rhind Papirüsü’ne göreyse sayı 3,16045 alınmış.

M.Ö. 250: Antik Yunan Arşimet’in hesabına göre sayının ortalama değeri 3,1418 idi.

M.S. 800: El Harezmi’nin hesabı ise günümüzde bilinen değere Arşimet’in bulduğundan daha yakındı: 3,1416.

İnsanoğlu zaman ilerledikçe bu sayının kesin değerini bulmak için uğraşmaya devam etmişti. 1874’e gelindiğinde İngiliz William Shanks bu sabit sayının ilk 707 basamağını hesaplamıştı. Ne yazık ki Shanks 528. basamakta bir hata yapmıştı. Yine de sayının ilk 527 basamağını doğru olarak hesaplamak harikulade bir işti ve Shanks’in tarihe geçmesine yetmişti.

1949’a gelindiğindeyse bu sayıyı hesaplama görevi bilgisayarlara geçmişti. Sayının ilk 2000 basamağı bulunmuştu.

pi2000
Bir Fenerli olarak denedim ve bu 2000 basamak içinde sadece 1907’nin bulunduğunu gördüm. Tesadüf değil!

18. yüzyılda, açık ara en çok sevdiğim matematik figürü olan Leonhard Euler bu sayıya sembolünü vermişti: π.

Pi sayısı olarak adlandırdığımız ve π sembolüyle gösterdiğimiz bu gizemli sayı 17-18. yüzyıl civarında çember dışında da bilim insanlarının karşısına çıkmaya başlamıştı. Bu ilişkilere daha sonraki yazılarda göz atacağız.

Deneyüstü π

1882 yılında Ferdinand von Lindemann ismindeki bir Alman, π sayısının transandantal yani deneyüstü bir sayı olduğunu ispatlamıştı.

Bir başka deyişle, π sayısı iki rasyonel sayının bölümü şeklinde gösterilemezdi.

Bir başka deyişe göreyse π sayısı sonsuza dek rastgele bir şekilde devam eden bir sayıydı.

Bir başka deyişle π sayısının içinde her şey bulunabilirdi… T.C. kimlik numaranızdan, doğum tarihinize, banka kartı şifrenizden, aklınızdan geçirdiğiniz herhangi bir sayıya dek her şey π sayının içindeydi.

Durmadan hesaplanmaya devam edildiği takdirde evrende var olmuş, olan ve olacak her sayı hali hazırda π sayısının içinde bulunabilir.

Kendi π Gününü Bul

Wolfram tarafından yapılan bu site doğum tarihinizin π’nin kaçıncı basamağında yer aldığını gösteriyor.

Ben de Leonhard Euler’in doğum tarihini denedim ve aşağıdaki sonuca ulaştım.

eulerpi
Euler’in doğum günü π’nin 1.435.697.ci basamağında ortaya çıktı.

Durmayın, deneyin ve kendi gözlerinizle görün. π sayısının içinde sizin de doğum tarihiniz var.

M. Serkan Kalaycıoğlu