Matematik Atölyesi: Örüntü #4

Pisalı Leonardo

Sadece matematik değil, bilim tarihinin en önemli figürlerinden biri İtalya’nın Pisa kentinden çıkmıştı. Pisalı Leonardo Avrupa’ya günümüzde kullanılan rakam sembollerini ve sayı sistemini getiren ilk kişi olarak bilinir. Buna başka bir yazıda daha detaylıca değineceğim.

Leonardo’nun uğraştığı bir problem örüntülerin en güzel örneklerinden birisidir. (Kanımca en güzel örnek budur.) Bu problem Leonardo’nun adını dahi başka bir isimle bilmemize neden olmuştur.

Fibonacci

Eğer ilk başlıkta Fibonacci ismini kullanmış olsaydım, çoğunuz hangi problemden bahsettiğimi biliyor olacaktınız.

Pisalı Leonardo’nun uğraştığı problem şuydu:

Bir çiftlikteki tavşanlar doğduktan sonraki üçüncü aylarında üremeye başlar ve sonraki her ay yeni bir çift tavşan yavrular. Buna göre bir yıl sonunda çiftlikte kaç çift tavşan olur?

Çözüm

İlk ay elde bir çift bebek tavşan vardır. Bu çift ikinci aya gelince olgunlaşır ve üçüncü ayda yavrular.

Dördüncü ayda ilk çift tekrar yavrular, diğer çift tavşan ise olgunlaşır.

IMG_5687

Beşinci ayda ilk çift ve ikinci çift yavrularken, üçüncü çift tavşan olgunlaşır.

IMG_5688

Altıncı ayda ilk, ikinci ve üçüncü çiftler yavrular, dört ve beşinci çiftler olgunlaşır.

IMG_5689

IMG_5690

 

Bu noktaya kadar tavşanların yavrulama sayıları bize bir tür örüntüden bahseder. Üçüncü aydan itibaren her sonraki aydaki tavşan çifti sayısı, önceki iki aydaki çift sayısının toplamı kadardır. Örneğin üçüncü ay; bir ve ikinci ayın toplamıdır: 2=1+1.

Dördüncü ay; iki ve üçüncü ayların toplamıdır: 3=1+2.

 

O halde bir yıl (yani 12 ay) sonunda toplam tavşan sayısı şu olur:

IMG_5694

Fibonacci’nin Güzelliği

Bu örüntüyle sonsuza dek giden sayı dizisine Fibonacci sayı dizisi denir. Fibonacci sayıları o kadar güzeldir ki, doğanın bir çok yerinde karşımıza çıkarlar.

Bilindik örneklere sonraki yazılara bırakacağım. Sonuçta nüfusun çoğunluğunun şehirde yaşadığı yerde gerçek hayat örneği vermek için modern hayatı ön plana koymamız gerekir.

Merdiven ve Fibonacci:

Diyelim evinizin girişindeki merdivende üç tane basamak var.

  1. Bu merdiveni kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz?
  2. Aynı soruyu merdiven sayısı 5, 6, 8 ve n sayıları için ayrı ayrı inceleyin.
  3. Bu sorularla Fibonacci sayılarının ne tür bir ilişkisi var?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Örüntü #3

Serkanus Problemi

Oyuna katılanlar yuvarlak bir masanın etrafına oturur. En sona kalan pastayı alır.

Kurallar:

  • Masanın etrafına saat yönünde 1’den başlanıp oyuna katılan kişi sayısı kadar sayılar yazılır.
  • Herkes bir sayı seçerek masadaki yerini alır.
  • Elemelere 1 numaralı yerde duran kişiden başlanır.
  • Sırada olan kişi hep kendisinden sonra geleni eler.

Oyun 1: Bir kişi.

Tek numara ve tek kişi demek oyunun başlamadan bittiği anlamına gelir.

IMG_5427

Kazanan: 1.

Oyun 2: İki kişi.

Oyunu iki kişi oynarsa yuvarlak masanın etrafında 1 ve 2 numaraları yazılır. Oyuncular yerlerini alır ve 1 numaralı oyuncu kendisinden sonra gelen 2 numaralı oyuncuyu eleyerek oyuna başlar.

Geriye kimse kalmadığı için 1 numaralı oyuncu pastayı eve götürür.

Kazanan: 1.

Oyun 3: Üç kişi.

Oyunu üç kişi oynarsa, yuvarlak masanın etrafında 1-2-3 numaraları yazılı olur demektir. Oyuna 1 numaradan başlanır; bu oyuncu kendisinden sonra gelen yani 2 numaralı oyuncuyu eler.

Sıra 3 numaralı oyuncuya gelmiştir. O da kendisinden sonra gelen oyuncu olan 1 numaralı oyuncuyu eler.

Masada en son kalan kişi 3 numaradır. Pastayı hak eden sıra budur.

Kazanan: 3.

Oyun 4: Dört kişi.

Oyunda dört kişi varsa, yuvarlak masanın etrafına 1-2-3-4 numaraları yazılır ve oyuncular bu numaralardan birine geçer. 1 numaralı oyuncu 2 numaralı oyuncuyu eler.

Sıradaki 3 numaralı oyuncu, kendisinden sonra gelen 4 numaralı oyuncuyu eler.

Şimdi sıra yine 1 numaralı oyuncuya gelir. Kendisinden sonra gelen 3 numaralı oyuncuyu eler ve oyunda en son kalan kişi olur.

Kazanan: 1.

Oyun 5: Beş kişi.

Masada 1-2-3-4-5 numaralarına geçen oyunculardan 1 numara 2’yi eler.

3 numara 4’ü eler.

5 numara, kendisinden sonra gelen 1 numarayı eler.

IMG_5479

Sıradaki 3 numaralı oyuncudur. O da 5 numarayı eler ve oyunu kazanır.

Kazanan: 3.

Oyun 6: Altı kişi.

1-2-3-4-5-6 numaralı yerlere geçilir. 1 numara 2’yi eler.

3 numara 4’ü, 5 numara ise 6’yı eler.

Sıra 1 numaraya gelmiştir, o da 3 numarayı eler.

IMG_5480

Bir sonraki elemeyi yapacak kişi olan 5 numaralı oyuncu 1 numarayı eler ve pastayı alır.

Kazanan: 5.

Oyun 7: Yedi kişi.

1-2-3-4-5-6-7 numaralı yerlere geçilir. 1 numara 2’yi, 3 numara 4’ü, 5 numara ise 6’yı eler.

Sıradaki 7 numaralı oyuncu kendisinden sonra gelen 1 numarayı, 3 numara ise 5’i eler.

IMG_5481

Sıra yine 7 numaralı oyuncuya gelmiştir ve son kalan 3 numarayı eleyerek oyunu kazanır.

Kazanan: 7.

Oyun 8: Sekiz kişi.

1-2-3-4-5-6-7-8 numaralarında bulunan oyunculardan 1 numara 2’yi, 3 numara 4’ü, 5 numara 6’yı ve 7 numara 8’i eler.

Sıradaki 1 numara 3’ü, 5 numaraysa 7’yi eler.

IMG_5482

Sıra tekrar 1 numaraya gelir ve o da kalan son oyuncu olan 5’i eleyerek oyunu kazanır.

Kazanan: 1.

Oyun 9: Dokuz kişi.

1-2-3-4-5-6-7-8-9 numaraları yazılır ve 1 numara 2’yi, 3 numara 4’ü, 5 numara 6’yı, 7 numara 8’i eler.

Sıradaki 9 numara 1’i, 3 numara 5’i eler.

Eleme sırasındaki 7 numara 9’u eler.

IMG_5483

Son iki kalan sayı 3 ve 7’dir. Sıradaki 3 numara 7’yi eler ve pastayı kazanır.

Kazanan: 3.

Oyun 10: On kişi.

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 numaralarından 2, 4, 6, 8 ve 10 ilk turda elenir.

Sıradaki turda 1 numara 3’ü, 5 numara ise 7’yi eler.

Eleme sırası 9’a gelmiştir, o da 1 numarayı eler. Geriye 5 ve 9 kalır.

IMG_5484

Sıradaki 5 olduğu için elenen 9 olur. Pasta 5 numaralı oyuncun olur.

Kazanan: 5.

Örüntü

Buraya kadar kaç kişilik grupta hangi sıradaki oyuncunun kazandığına bir göz atalım:

IMG_5486

Fark etmişsinizdir: Çift sayılarda bulunan oyuncular oyunu kazanamaz. Hatta daha ilk turda hep elenir.

Ayrıca dikkat ederseniz oyuna katılan kişi sayısı ile kazanan kişinin numarası aynı olduktan sonra, oyuncu sayısı bir artırılınca kazanan 1 numaralı oyuncu oluyor. Sonraki turda 1’den sonra gelen ilk tek sayı, yani 3 numaralı oyuncu kazanıyor. Ondan sonraki turdaysa bu sefer 3’ten sonra gelen ilk tek sayı olan 5 numara oyunu kazanıyor.

IMG_5487

Bu örüntü ta ki oyuncu sayısıyla kazanan kişinin numarası eşitlenene dek devam ediyor.

Genelleştirirsek; kişi sayısı ile kazananın numarası aynı olduktan sonra oyunu kazananlar sırasıyla tek sayılar oluyor.

O halde 11 kişiden devam edersek oyunun kazananları şöyle olmalıdır:

IMG_5488

15 kişilik oyunda kazanan 15 numaralı olduğuna göre, fark ettiğimiz örüntü 16 kişilik oyunda kazananın 1 numara olacağını söyler. Gelin deneyerek bunun doğru olup olmadığını kontrol edelim:

İlk turda 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ve 16 elenir.

IMG_5489

İkinci turda 3, 7, 11 ve 15 elenir.

IMG_5490

Üçüncü turda 1, 5, 9 ve 13 sayıları kalmıştır. Sıradaki 1 numara 5’i, 9 ise 13’ü eler.

IMG_5491

Dördüncü turda geriye 1 ve 9 numaralı oyuncular kalmıştır. Eleme sırası 1’de olduğu için kazanan 1 numaralı oyuncu olur.

IMG_5492

Kısacası bulduğumuz örüntü çalışıyor!

Josephus Problemi

Adını 1. yüzyılda Musevi tarihi hakkında bir çok önemli çalışma yapmış olan Flavius Josephus’dan (MS 37- MS 100) alan ünlü bir problemdir.

Hikaye 1. yüzyılda geçer. Rivayete göre Roma ile Yahudi krallıkları arasındaki savaşta yenik düşen Josephus, 40 askeriyle birlikte bir mağaraya sığınmak durumunda kalmıştı. Bu 41 adamın iki tercih hakkı vardı: Teslim olmak ya da intihar etmek.

Askerler intihar etmekte karar kılınca Josephus, yakın arkadaşının ve kendi canını kurtarmak için hemen bir plan düşünmüştü: Tüm askerler bir çember olacak şekilde dizilecek ve son adam kalana dek sırayla herkes solundaki ikinci adamı öldürecekti.

Cin Josephus

Bir çemberde belli bir sırayla intihar edilmesini teklif eden Josephus eğer doğru sırada olursa kendisinin ve arkadaşının sağ kalan son iki kişi olacağını biliyordu.

Peki Josephus ve arkadaşı çemberin kaçıncı sıralarında olmalıydı?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Örüntü #2

Karelerden Örüntü Oluşturma

Bir kare çizelim. Bu karenin çevresine birer kare daha çizelim. Toplam dört kenarı olduğu için dört kare çizilmiş olur. (4)

Şimdi elde edilen şeklin çerçevesine yeni kareler çizelim. Yani sekiz yeni kare çizilir. (8)

İşlem aynen devam ettirilirse bu sefer on iki tane yeni kare çizilir. (12)

pat5

Karenin etrafına çizilen kareler bir tür örüntü oluşturur. Örüntüye göre her yeni şekle bir öncekinden dört fazla kare eklenir. Toplam kare sayısı: 1, 5, 13, 25, 41… diye devam eder.

Üçgen Örüntü

Aynı şeyi bir de eşkenar üçgenle deneyelim.

patüç1

Bir eşkenar üçgenin etrafına üç tane yeni eşkenar üçgen çizilebilir. (3)

patüç

Bu yeni şeklin etrafına ise altı tane yeni eşkenar üçgen çizilebilir. (6)

patüç2

Görüldüğü üzere her seferinde üçgen sayısını üçer üçer artırıyoruz. O halde eşkenar üçgenlerle de bir örüntü kurmak mümkündür. Bu örüntüde üçgen sayıları 1, 4, 10, 19… diye devam eder.

Örüntü ve Cebir

Peki geometrik örüntüyü cebire indirgediğimizde karşımıza nasıl bir durum çıkar?

Aşağıdaki örnek bir örüntü çeşidini verir.

  • Bir kağıda istediğin sayıyı yaz.
  • Sayıyı 3 ile çarp.
  • Çıkana 6 ekle.
  • En baştaki sayıyı çıkar.
  • Sonucu 2’ye böl.
  • Bölümün sonucundan en baştaki sayıyı çıkar.
  • Sonuç 3.

Her zaman için bu işlemler 3 cevabını verir. Peki ama neden?

Bir sayıyı 3 ile çarpmak aslında bir sayıyı 3 defa toplamak demektir. 3x=x+x+x eşitliğinde görüldüğü gibi.

Sonraki iki adımda bu sayıya 6 eklenip, sayının kendisinin çıkarılması isteniyor. Yani elimizde x+x+x+6-x -> x+x+6 kalır. Bunu x+x+3+3 diye yazabiliriz.

O halde bir sonraki adımda sayıyı 2’ye bölünce elde (2 tane x ve 2 tane 3’ün yarısı 1 tane x ve 1 tane 3’tür) x+3 kalacağı görülebilir.

Son adımda ise baştaki sayıyı çıkarmamız isteniyor. Yani x+3-x. Bu da 3 sonucunu verir.

Yani x yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım, sonuç x’e bağlı olmadığı için değişen bir şey olmaz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Düzgün beşgenlerle örüntü elde etmek mümkün müdür? Deneyin.
  2. Örüntü ve cebirde gösterilen örneği hikayeleştirmeye çalışın. Hatta örüntüyü de değiştirebilirsiniz. İpucu: Sayı yerine para demek en kolay hikaye yazma tarzıdır. Yine de siz sıkıcı bir bakkal hikayesi yazmaktan kaçının.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Örüntü #1

Genellikle matematikte örüntüden bahsedilirken en başta sayı örüntüleri ele alınır. Fakat Öklid’in Elementler kitabındaki yöntemleri kullanarak geometri üzerinden de örüntüye giriş yapmak mümkündür. Böylece çocuklar hem kendi şekillerini yaratabilir, hem de gördükleri örüntü şekillerinin nasıl oluşturulduğunu anlayabilirler.

Örüntü: Olay veya nesnelerin düzenli bir biçimde birbirini takip ederek gelişmesidir.

Elementler’den şu ana dek öğrendiklerimiz arasında bir doğru parçası çizmek, bunu iki eşit parçaya ayırmak ve doğruya bir dik indirmek vardı. Örüntü şekilleri yapmaya başlamadan önce bir çemberin içine 6-gen çizmeyi de Elementler’i kılavuz kabul ederek öğrenelim.

6-gen Yapmak

Elementler 4. kitap, 15. önerme der ki:

Birbirlerinin merkezlerinden geçen iki eş çember çizin.

Çemberlerin kesiştiği iki noktayı seçin. Noktalardan başlayarak çemberlerden birinin merkezinden geçen doğru parçaları çizin.

Temizlik yaptıktan sonra (umarım siz daha iyi bir silgi kullanırsınız) çember üzerinde bulunan noktaları birleştirin. Karşınıza bir düzgün 6-gen çıkacak.

Artık örüntü yapmak için önümüzde bir engel kalmadı. O halde birini yapmayı deneyelim.

İlk Örnek

DD018FAC-7D36-413D-931D-5267C53D5C05
İlk ulaşmamız gereken örüntü.

Önce bir çember ve bu çemberin etrafına kare çizelim. (Benimki gibi ufak tefek yamukluklar sorun değil. Her seferde daha düzgün çizmeye başlayacaksınız.)

Çemberi şekildeki gibi sekiz parçaya ayıralım ve doğruların çemberi kestiği noktaları işaretleyelim.

IMG_4754

Noktalar arasında şekildeki gibi doğru parçaları çizelim.

 

Daha sonra yukarıdan aşağı.

Bu noktada durup ulaşmak istediğim şekli çizebilirim.

Silgiyle temizlersek (umarım ki daha düzgün bir silgiyle) aşağıdaki sonuca ulaşırız.

IMG_4762

Yıldız Çizmek

IMG_4784
Yıldız çizmeye çalışalım.

Bu yıldıza ulaşabilmek için önce bir düzgün 12-gen çizmemiz gerekiyor. Çünkü yıldızın sivri noktaları 6-genin kenarlarının tam ortasında.

12-gene 6-gen üzerinden ulaşılır. Bunu yaptıktan sonra 6-genin kenarlarını çizince karşıya çıkan şekilde 6-genin her kenarının 3’er noktada kesildiği görülür.

img_4776.jpg

Şimdi oluşturulan şekilde sol ve sağ karşılıklı kenarlar seçilsin. Bu kenarların üzerinde bulunan noktalar çapraz olarak birleştirilsin.

Aşağıdaki gibi doğru parçaları eklendikçe örüntü yavaştan belirmeye başlıyor.

Artık kalın kalemle izleri takip edebilir ve yıldıza ulaşabiliriz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki fotoğrafta bulunan örüntüyü öğrettiğim yöntemlerle ortaya çıkarabilir misiniz? (İpucu: 12-gen çizerek başlayın.)

img_4664.jpg

M. Serkan Kalaycıoğlu