Matematik Atölyesi – Sosyal Durumlar #3

Sevgililerin Savaşı

Bruce: Tüm sezon boyunca bu maçı bekledim. Ezeli rakibimizle evimizde oynayacağız. Bu zaten heyecanlı olmak için yeterli bir sebepken maçın sonucu şampiyonu belirleyecek: Biz ya da onlar.

Derby-Matches-Derby-Days

Kombine bilet almamın tek nedeni bu maça gidebilmekti. Zaten 2006’dan beri her derbi maçına gittim. Bu sene maçın sonunda şampiyonluk olması ise pastanın çileği olacak. Yenmeliyiz ve ben de buna tanık olmalıyım.

Jane: En sevdiğim müzik grubu son turnesini yapıyor ve turne içerisinde yaşadığım şehir de var. Onları ilk ve son defa canlı izleme şansını yakaladım.

635717049166625894-XXX-20150704-FOO-FIGHTERS-CONCERT-AN-32.JPG-USA-DC-

Grubu ilk kez 11 yaşındayken dinlemiştim. O gün dinlediğim albüm aynı zamanda kişisel favorim ve grubun en çok satan albümü. Veda turnesinde oldukları için en çok o albümden şarkı çalacaklarmış. Bu konseri kaçırmamam gerekiyor.

Bir süredir beraber olan Bruce ve Jane çifti önemli bir açmazda: İkisinin de uzun zamandır beklediği aktiviteler aynı güne, hatta aynı saate denk geldi.

İdeal Çift

Jane ile Bruce’un birbirlerine eşit (en azından denk) derecede aşık olduğunu varsayalım.

Çift için birlikte zaman geçirmek önemli. Bu 1 puan olsun.

Jane için konsere gitmek, Bruce içinse maça gitmek ekstra mutluluk verir. Bu da ekstra 1 puan olsun.

Eğer ikisi farklı aktivitelere giderse, ikisi de eşit derecede mutsuz. Yani farklı yerlerde olmak ikisine de 0 mutluluk getirsin.

O halde oyunun matrisi aşağıdaki gibi olur:

IMG_6574

Eğer Jane maça, Bruce konsere veya Jane konsere, Bruce maça giderse her ikisi de 0 mutluluk yaşar. Oyunda Jane için en iyi seçim konser, Bruce için en iyi seçim ise maçtır. Eğer konser-maç seçimi Nash dengesi ise, her halükarda ikilinin tercihleri değişmemelidir. Önce Bruce’un maça gittiğini varsayalım.

IMG_6574

Bunu bilen Jane konsere giderse 0, maça giderse 1 puan alacaktır. Jane maça gitmeyi seçer. Yani denge maç-maç olur. Nash dengesi için bir de Jane’in ilk seçeneği yaptığını varsayalım. Jane konsere giderse Bruce için aşağıdaki tercihler kalır:

IMG_6574-2.jpg

Bu durumda Bruce konsere giderse 1, maça giderse 0 puan alacağı için konsere gitmeyi tercih eder. Konser-konser tercihi Nash dengesidir.

Oyunda iki tane Nash dengesi vardır: Her ikisinin de maça veya konsere gitmesi. Bu da ancak çift birlikte karar verirse gerçekleşir.

Kişisel fikrim: İdeal çift de olsa böyle bir durumda Bruce maçın skorunu telefonundan takip eder.

Jane, Bruce’u Pek Sevmiyor

Bazı çiftler vardır ki yanlarında biraz zaman geçirseniz dahi ilişkilerinin pek uzun sürmeyeceğini anlarsınız. Bizim çiftimiz için de Jane’in Bruce’dan yavaş yavaş uzaklaştığını varsayalım. Yani Jane Bruce’u artık sevmiyor, fakat Bruce Jane’e hala aşık. Jane için sadece konserde olmak önemliyken, Bruce için Jane ile birlikte olmak ve maça gidebilmek önemli.

Problemimizi bu bilgiler üzerine kuracağız.

Her ikisi de konsere giderse: Jane Bruce ile beraber olmaktan 0, konserde olmaktan 2, toplamda 2 puan alır. Bruce ise sadece Jane ile beraber olduğu için 1 puan alır.

Her ikisi de maça giderse: Jane konserde olmadığı için -1, Bruce ile birlikte olduğu için 0, toplamda -1 mutluluk puanı alır. Bruce ise beraber oldukları için 1, maçta oldukları için ekstra  1, toplamda 2 puan alır.

Jane konsere, Bruce maça: Jane konserde olmaktan 2, Bruce ile olmamaktan 0, toplamda 2 puan alır. Bruce ise maça gitmekten 1, Jane ile olmamaktan 0, toplamda 1 puanda kalır.

Jane maça, Bruce konsere: Jane konserde olmadığı için -1, Bruce ile olmamaktan 0, toplamda -1 puan alır. Bruce ise konserden ve Jane ile olmamaktan 0’ar puan alır.

O halde matris aşağıdaki gibi olur:

IMG_6573

Jane için en iyi seçenek konsere gitmek iken, Bruce için en iyi seçenek maça gitmektir. Gelin konser-maç seçeneğinin Nash dengesi olup olmadığını test edelim.

IMG_6573

Eğer Jane Bruce’un maça gideceğini bilirse konseri seçmesi 2, maçı seçmesi -1 puan getirir. Bu yüzden Jane konsere gitmeyi seçer. Yani konser-maç seçeneği değişmemiş olur.

IMG_6573-3.jpg

Eğer Bruce Jane’in konsere gideceğini bilirse konser ve maç seçenekleri ona 1’er puan getirir. Yani Bruce için iki ihtimal de aynıdır.

Bu yüzdendir ki oyunda iki tane Nash dengesi vardır: Konser-konser ve konser-maç. Her iki seçenek de (2,1) sonucunu verir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bruce’un Jane’e artık aşık olmadığı durumda neler olabileceğini, matrisi ve Nash dengesini bulun.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Sosyal Durumlar #2

Tek Kural Var: Kural Yok!

Eğer hayatınızın herhangi bir zaman dilimde İstanbul’da araba kullandıysanız burada trafik kurallarının pek işlemediğini biliyorsunuzdur. Bilmeyenler için birkaç örnek verelim: Bu şehirde yaya geçidinde yol veren araba değil yayadır. Sola dönecek araba sağ şeritte durur, kimi zaman sola işaret veren bir anda sağa döner. Bu şehirde trafik kurallarının çok azı işler.

Bu cesur muhabir yaya geçidini kullanmak için otomobil sürücülerini ikaz ediyor. İkinci fotoğraftaki durumu her şeyi anlatıyor. Merak etmeyin, karşıya sağ salim geçmeyi başarıyor.

Bunu bildiğiniz halde İstanbul’da yaşayıp araba kullanma zorunluluğunda kalıyorsanız, trafikte karşınıza her an her tür garipliğin çıkabileceğini aklınızın bir kenarında bulundurmalısınız. Mesela trafik ışığı size yeşil diğer yöne kırmızı olsa da kontrollü geçmenizde bir yarar var.

İşte bu ve benzeri bir sürü örnekten de anlayabileceğiniz üzere ehliyet alırken öğrendiğiniz geçiş üstünlüğü kurallarının neredeyse hiç işlememesi şaşırtıcı değil.

Kim Kaybedecek?

Diyelim ki aşağıdaki gibi bir yolda ilerleyen 1 numaralı araç siz olun. Trafik kurallarına göre aynı değerde yollar olduğunda geçiş üstünlüğü sağdan gelen araçta, yani sizdedir. Fakat İstanbul’da bu kural çoğu zaman uygulanmadığı için 2 numaralı aracın size yol verip vermeyeceğini bilmiyorsunuz.

IMG_6413

Bu durumda verilecek iki farklı karar var: Yol ver ya da yol verme.

Durum 1: Her ikiniz de yol vermeyi seçtiniz. Bu, iki arabanın yolun ortasında öylece durması anlamına gelir. Kazananın olmadığı bir durumdur.

Durum 2: Her ikiniz de yol vermemeyi seçtiniz. Bu seçenek trafik kazası anlamına gelir. Kazanan olmadığı gibi her ikiniz de masrafa girmiş oldunuz.

Durum 3: Siz yol verdiniz, 2 numaralı araç yol vermedi. Böylece 2 numaralı araç geçip gitmiş olur. Kısa süreli kazanan o olur.

Durum 4: Siz yol vermediniz, 2 numaralı araç yol verdi. Böylece siz yolunuza devam ettiniz ve kısa süreli de olsa kazanan oldunuz.

Nash Dengesi

Gelin bu durumu oyun teorisini kullanarak analiz edelim. Arabanız duruyorsa (yol verdiyseniz) 0, arabalar çarpışmışsa (kaza olduysa) -1, arabanız ilk geçen olduysa (biri yol verip, diğeri yol vermediyse) 1 puan alınsın.

O halde matris aşağıdaki gibi olur:

IMG_6414

Eğer şoförlerden birbirlerinden habersiz tercih yapar ve tercihlerinde sadece kendilerini düşünürse, her iki şoför de en yüksek getiri olan 1 puanı almaya çalışır. Bu, her iki şoförün de yol vermemesi anlamına gelir. Yani sonuç kaza olur.

Fakat oyunun Nash dengesi çok ilginç sonuçlar verir.

  1. Diyelim ki ilk şoför ikinci şoförün yol vereceğini biliyor. Bu durumda ilk şoför yoluna devam eder. Aynı şekilde eğer ikinci şoför ilk şoförün yol vereceğini bilirse, bu sefer ikinci şoför yol vermemeyi seçerdi. Yani tercihler hep zıt olur.
  2. Diyelim ki ilk şoför ikinci şoförün yol vermeyeceğini biliyor. Bu durumda ilk şoför yol verir. Aksi takdirde trafik kazasına sebebiyet verir. Aynı durumda ikinci şoför de yol vermek zorundadır. Yani tercihler yine zıt yönde olur.

O halde oyunun iki tane Nash dengesi vardır: (1,0) veya (0,1).

Oyun teorisinde bu tür oyunlarda herkes birbirine muhtaçtır. Kimi durumlarda şoförler için asıl amaç kavşağı ilk geçen olmak değil arabasının hasar almasını önlemektir.

İnsanların birbirine muhtaç olması adil ve düzenli bir sosyal yaşamın gereklerindendir. Eğer bir toplumda insanlar sürekli kendini düşünür ve hep kendi yararı için tercihler yaparsa, o toplumda işler normalde olduğundan daha yavaş yürür. Bugün İstanbul’da trafiğin insanlara sirayet ettirdiği stresin tek sebebi sürücülerin çoğunluğunun kurallara uymamasıdır.

1209198_620x410
Emniyet şeridinden gidenlerin hepsi şeridinde bekleyenlerin zamanını çalıyor. Çalmanın günah olduğu biliniyor, değil mi?

Örnek mi istiyorsunuz? On dakikalık yolu elli dakikada alan kişi artık sabırsızlanır. Bu yüzden evine beş dakika erken gidecek diye tek şeritlik yolu iki hatta üç şerit yaparak aslında binlerce kişinin evlerine bir saat daha geç gitmesine yol açar. İşin fenası on dakikalık yolu elli dakikada almasının sebebi o şoför gibi yapan kişilerdir…

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Sosyal Durumlar #1

Haylaz Öğrenciler

Matematik sınavı ertesi gün yapılacak. En yakın arkadaşınızla berabersiniz ve önünüzde iki seçenek var: Ders çalışmak veya konsol oyunu oynamak. Kararı hızlı verip altı saat boyunca Fifa oynadınız. Verdiğiniz kararın sonucunda sınavdan neredeyse boş kağıt vererek çıktınız. Fakat sınavdan önce bir plan yapmıştınız: Soruları öğrenip aynı günün akşamına cevapları kağıda geçirmek ve sonraki gün içerisinde sınav kağıtlarını değiştirmek.

Sınavdan sonraki sabah öğretmenler odasının bulunduğu kattaki tuvalette saklanıp herkesin derse girmesini beklediniz. Ders zili çalıp tüm koridorlar boşaldıktan sonra sınav kağıtlarını değiştirmeyi başardınız fakat sevincinizi yaşarken okul müdürüne denk geldiniz.

Müdür, iki öğrencinin ders saatinde öğretmenler odasının bulunduğu katta ne aradığını düşünmüştü: “Bu çocuklar öğretmenler odasına girip orada bir iş karıştırmış olmalı.”

Müdürün elinde herhangi destekleyici bir kanıt yoktu. Fakat sizi ayrı odalara gönderip tek tek sorgulamayı akıl etmişti. Her halükarda ders kırdığınız için birer gün ceza yiyecektiniz. Ama sınav kağıdını değiştirmenin çok daha büyük cezası olduğunu biliyordunuz.

Tek başınıza oturmuş bunları düşünürken müdür bulunduğunuz odaya geldi. Arkadaşınızın her şeyi itiraf ettiğini ve sizin de yaptığınızı itiraf etmeniz gerektiğini, aksi takdirde daha büyük bir ceza alacağınızı söyledi.

Acaba müdür haklı mı? Arkadaşınız gerçekten sizi satmış olabilir mi?

Ne yapmanız gerekiyor? İtiraf mı edeceksiniz? Yoksa inkar mı?

Tutsak İkilemi

Bu hikaye aslında matematiğin önemli bir alt branşı olan oyun teorisini açıklayan tutsak ikilemi isimli oyunun bir parçasıdır. Tutsak ikilemi en basit haliyle şöyle özetlenebilir: Daha az ceza yemek için arkadaşını satıp sadece kendinizi mi düşünürsünüz? Yoksa hem kendiniz hem de arkadaşınız için en iyi seçimi mi yaparsınız?

Oyun teorisinde işbirlikçi oyunlarda önemli olan şudur: Herkesin kaderi ortak verilecek olan kararlara bağlıyken bencil olup sadece kendi iyiliğiniz yönünde mi yoksa herkesin iyiliği yönünde mi karar verirdiniz?

Ceza Matrisi

  • Tüm oyuncuları listeleyin.
  • Her oyuncu için alternatif seçimleri belirtin. Bu seçimlere strateji de denir.
  • Eğer iki oyuncu varsa birinci oyuncunun seçimleri matrisin satırlarına, ikinci oyuncunun seçimleriyle sütunlarına yazılır.
  • Matriste bulunan sayı ikilileri sırasıyla birinci ve ikinci oyuncunun o matris tercihinde alacağı sonucu gösterir.

Haylazlar için tüm matris aşağıdaki gibidir:

IMG_6314

İhtimaller

Eğer ilk oyuncu arkadaşını satmayı tercih ederse ya 10 gün ceza yer ya da serbest kalır.

IMG_6317

Bu durumda ikinci oyuncunun seçeneği satmak olursa oyuncular 10’ar gün ceza alacakken, sadık kalması durumunda birinci oyuncu ceza almaz. İkinci oyuncuysa 15 gün ceza alır.

Eğer ilk oyuncu arkadaşını satmamayı tercih ederse 15 ya da 1 gün uzaklaştırma alır.

IMG_6320

Bu durumda ikinci oyuncu arkadaşını satarsa serbest kalır, ilk oyuncu 15 gün uzaklaştırma alır. Eğer ikinci oyuncu da arkadaşına sadık kalırsa her iki oyuncu 1’er gün uzaklaştırma almış olur.

Bu noktada durun ve düşünün: Aynı durumda kalsaydınız neyi seçerdiniz?

Bencil

Oyuncular için en iyi senaryo ikisinin de birer gün ceza almasıdır. Bu da ancak her iki oyuncunun da birbirine sadık kalmasıyla gerçekleşir. Fakat burada dikkate alınması gereken bir şey daha var: En kötü senaryo.

Oyundaki en kötü senaryo oyunculardan birinin arkadaşına sadık olduğu, diğerininse olmadığı durumdur. Bu tercihler sonucunda arkadaşını satmayan oyuncu 15 gün ceza alır ki tüm oyundaki en ağır ceza budur. Arkadaşını satan ise ceza almadan kurtulur.

Eğer oyuncular bencilse, her ikisi de serbest kalacağı seçeneği tercih eder. Bu da arkadaşını satmak anlamına gelir. Fakat her iki oyuncu da birbirini satarsa 10’ar gün ceza alırlar.

Eğer oyuncular “birimiz hepimiz, hepimiz birimiz için” düşüncesine sahip olursa her ikisi için en ideal durumu tercih ederler. Böylece 1’er gün ceza ile kurtulurlar. Bunun için iki oyuncunun da arkadaşını satmaması gerekir.

indir (8)
John Nash

Nash Dengesi: Bir oyunda tüm oyuncuların hareketleri karşılaştırıldığında ortaya çıkan optimum sonuçtur. Nash dengesinde herkes kazanır çünkü herkes istediği sonucu almıştır. Bir oyunda Nash dengesinin olup olmadığını anlamak için her oyuncuya diğerlerinin hangi seçimi yaptığı açıklanır. Eğer buna rağmen yapılan oyuncuların seçimleri değişmiyorsa, burada Nash dengesi vardır.

Oyun teorisinin en önemli özelliklerinden biri olan Nash dengesi ismini ünlü matematikçi John Nash’den alır. (Akıl Oyunları filmini izlemiş olanlarınız bu isme aşinadır.) Nash’in düşüncesine göre tutsak ikileminde denge her iki oyuncunun da sadece kendini düşünüp diğerini satmasıdır.

Peki ama neden?

Sadakat

Öğrencilerin birbirine sadık olduğunu ve sonuçta 1’er gün ceza aldıklarını varsayalım. Eğer her öğrenciye diğerinin seçimini söylersek, ne yaparlardı?

İlk öğrenciye ikinci öğrencinin sadık olduğunu söyleseydik seçimini değiştirip arkadaşını satardı. Çünkü bu seçim sayesinde ceza almadan kurtulabilirdi.

IMG_6318
İkinci öğrenci sattıysa ilk öğrenci 0 ya da 1 gün cezadan birini seçebilir. Tabi ki 0’ı seçer.

İkinci öğrenci için de aynı şeyi yapardı!

O halde öğrenciler sadık olduklarını bildiklerinde seçimlerini değiştirir ve birbirini satardı. Sonuç: 10’ar gün ceza.

İhanet

Öğrencilerin birbirini sattığını ve sonuçta 10’ar gün ceza aldıklarını varsayalım. Eğer her öğrenciye diğerinin seçimini söylersek, ne yaparlardı?

İlk öğrenciye ikinci öğrencinin ihanet ettiğini söyleseydik, ilk öğrenci seçimini değiştirmezdi. Çünkü değiştirdiği takdirde 10 yerine 15 gün ceza alırdı.

IMG_6319
İkinci öğrenci arkadaşını satarsa, ilk öğrenci 10 ya da 15 gün cezadan birini seçer. Tabi ki ilk öğrenci 10 günü seçer.

İkinci öğrenci için de aynı şey geçerlidir!

O halde öğrenciler birbirlerine ihanet ettiklerini bildikleri durumda seçimlerini değiştirmezdi. Sonuç aynı kalırdı: 10’ar gün ceza.

Her iki durumda da sonuç birbirini satmak olduğuna göre, bu Nash dengesidir.

Bu çok ilginç bir sonuç. Çünkü oyuncular için en iyi ihtimal sadık kalıp sadece 1 gün ceza almak olmasına rağmen Nash dengesi her oyuncu için en doğru seçeneğin arkadaşını satmak olduğunu, yani 10 gün cezayı seçer. Bu durum oyunculardan birinin diğerinin neyi seçtiğini bilmediği her oyunda geçerlidir.

M. Serkan Kalaycıoğlu