Matematik Atölyesi – Bulmaca #4

Haylaz Öğrenciler

Arkadaşlıklar arasında sıra arkadaşlığının diğerlerine kıyasla bambaşka bir yeri vardır. Sınıf içerisinde her öğrencinin öyle bir eşi vardır ki bu ikisi birbirine yakın oturduğunda (yan yana, önlü-arkalı veya diyagonal) rahat durmaları neredeyse imkansızdır. Bunun farkında olan öğretmenler sene içerisinde deneme yanılma yaparak en ideal oturma düzenini sağlamaya çalışır.

Steve Hocanın Problemi

Steve hoca ders verdiği sınıflardan birinde birbirlerine yakın olduğunda (birbirine yakın olmaya bundan sonra komşuluk diyeceğim) haylazlık yapmadan duramayan 8 öğrenciyi fark etmişti.

Koşullar

  • Komşu öğrenciler: Birbirleriyle yan yana, önlü-arkalı veya diyagonal olarak oturan iki öğrenciye denir.
  • Eğer iki öğrenci haylazlık yapıyorsa aralarında <–> bulunur.
  • Steve’in sınıfındaki 8 öğrencinin birbirleriyle ilişkileri şöyleydi:
  • Deniz <–> Ali <–> Kirk <–> Jane <–> Poseidon <–> Rebecca <–> Lucreita <–> Bran
  • Bu 8 öğrencinin oturma düzeni aşağıdaki gibidir:

sekiz.jpg

Sınıfın geri kalanının düzenini bozmak istemeyen Steve hocanın problemi şuydu:

“Bu 8 öğrenciyi çiftler birbirine komşu olmayacak şekilde nasıl oturtabilirim?”

İpucu: Öğrencilere sayı atayın.

Cevap bir sonraki yazıda.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Bulmaca #3

Sihirli Baklavanın Hikayesi

Ekskalibur ismini çoğunuz duymuştur. Britanya kralı Arthur’un ünlü kılıcı olan Ekskalibur büyülü bir kılıçtı. Öyle ki onu kullan kişi insanüstü özelliklere sahip oluyordu. Ekskalibur bir mitoloji hikayesi olarak görülebilir.

7043641

Bu yazıda da tahminen daha önce hiç duymadığınız bir mitolojik hikayeden bahsedeceğim: Matematikçi Serkan’ın sihirli baklavasından!

Şanssız Baba

“Serkan” ismi görece yeni bir isimdir. Bu yüzden Serkan’ın Sihirli Baklavası hikayesinin 2700 yıllık bir tarihinin olması sizi şaşırtabilir.

Medeniyetin beşiği Mardin’de dünyaya gelen Serkan’ın babası zamanının en ünlü baklava ustasıydı. Fakat Serkan’ın doğumundan hemen sonra büyük bir badire atlatmıştı: Yaptığı baklavadan sekiz kişinin zehirlenmesi, Serkan’ın babasının büyük bir travma yaşamasına neden olmuştu. Olaydan sonra sürekli zehirlenen insanları kabuslarında gören Serkan’ın babası, bir daha baklava yapmamaya yemin etmişti.

247505
MS. 2018 – Baklava ustası Nadir Güllü

Sihirli Baklavanın Doğuşu

Yıllar bu yeminle geçmişti. Kunduracılık yaparak ailesine yardımcı olan Serkan bir yandan da üniversite giriş sınavına hazırlanıyordu. Sınavdan bir hafta önce okuldaki rehber öğretmeni sınavda zihin açıklığı versin diye herkese olips şeker dağıtmıştı. Fakat Serkan çok sevdiği portakallı olips yerine naneli olips alabilmişti.

indir (4)

Portakallı olips alamamanın üzüntüsüyle eve dönen Serkan’a moral vermek isteyen babası ona bir sürpriz hazırlamıştı:

“Oğlum! Bir defaya mahsus yeminimi bozdum ve senin için sihirli bir baklava yaptım. Bu baklavayı yedikten sonra karşında hiç bir soru dayanamayacak ve Boğaziçi senin, Odtü benim, hangi üniversiteyi istersen ona gidebileceksin.

IMG_5708
Sihirli Baklava

Fakat sihirli baklavayı hak ettiğini bana ispat etmen gerekiyor. Bunun için sana bir bulmaca hazırladım.

  • Baklava dört kutunun birinde.
    madobak
  • Sınav gününe dek her gün kutulardan sadece birini seçme şansın var.
  • Her gün baklavayı başka bir kutuya koyacağım.
  • Baklavayı sadece bir önceki gün bulunduğu kutuya komşu kutulardan birine koyabilirim. Yani örneğin baklava 1 numaralı kutudaysa ertesi gün komşu olduğu tek kutu olan 2 numaraya geçebilir. Eğer 2 numaralı kutudaysa ertesi gün komşu olduğu 1 ya da 3 numaralı kutudan birine geçebilir.”
    maddo

Mitolojide bulunan en gerçekçi hikaye olan Serkan’ın sihirli baklavası, 2700 yıl sonra bile kulaktan kulağa aktarılmaya devam ediyor.

Sorular

  • Serkan’ın sihirli baklavasını nasıl bulabilirsiniz?
  • Baklavayı kesin olarak bulmak için bir yöntem üretebilir misiniz?
  • Bu yöntem kutu sayısı 5 olduğunda işe yarar mı? Peki ya n tane kutu olduğunda?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Bulmaca #2

Küçüklüğümde izlediğim filmlerden bir “en iyi 10” listesi yapsam Zor Ölüm (Die Hard) üçlemesindeki (dörtleme olduğunu biliyorum. Hatıralarımın bozulmasından korktuğum için 2007’de çıkan son filmi izlemedim.) filmlerin tamamı listeye girerdi.

Serinin üçüncü ve son (evet inat ediyorum) filminde çılgın Alman teröristimiz Simon Gruber, ana karakterlerimiz John McClane ve Zeus Carver’a bir bulmaca bırakmıştı. Film boyunca sosyopat teröristimiz Simon, McClane&Carver ikilisine acı çektirmeyi başarmıştı. İkilinin en zorda kaldığı anlardan biri olan bu bulmaca, tüm seride en sevdiğim sahnedir.

die-hard-vengeance-laptop

İlgili sahne için tıklayın… ya da önce soruyu kendiniz çözmeye çalışın, video bir yere kaçmıyor.

Simon diyor ki…

“Çantanın içinde zaman ayarlı bir bomba var. Bombayı durdurmak için tek şansınız 5 ve 3 litrelik su şişelerini kullanarak 4 litre su elde etmeniz. Eğer doldurduğunuz su tam 4 litre gelmezse çantadaki terazi bunu fark edecek ve geri sayım durmayacak.”

dayhard

Eğik Bilardo Masası

Bir önceki yazıda nokta ve çizgilerin bulmaca çözerken nasıl yardımcı olduğundan bahsetmiştim. Çok ilginç ama bu bulmacada da grafik çizerek hızlı bir şekilde sonuca ulaşılabiliyor. Önce uygulayacağımız yöntem için bazı kurallar koymamız gerekiyor.

Kurallar

  • Noktalar şişelerdeki su miktarını (litre bazında), çizgiler ise kazanılan&kaybedilen su miktarını göstersin.
  • Noktaları gösterirken sayı ikilileri kullanalım. İlk sayı 5 litrelik şişedeki miktarı, ikinci sayı 3 litrelik şişedeki miktarı ifade etsin.
  • Örneğin elimizdeki şişelerde hiç su olmaması (0,0) noktasıyla ifade edilir.
  • (1,2) noktası 5 litrelik şişede 1 litre, 3 litrelik şişede 2 litre su var anlamına gelir.

O halde grafiğimiz şu şekilde olur.

dayhard1

Sorunun Çözümü

Çizdiğim bu grafiğe eğik bilardo masası dememin bir nedeni var: Noktalar arası hareket tıpkı bir bilardo topunun masada yaptığı hareket gibidir. Bir yön seçeriz ve topu oraya doğru göndeririz. Doğal olarak top ancak masanın bir kenarına ulaştığında tam yansıma yaparak yoluna devam eder.

Örneğin (0,0) noktasından gidilebilecek iki yön vardır; (0,3) ya da (5,0). Biz topu (0,3) yönüne gönderirsek aradaki (0,1) ve (0,2) noktalarını geçmiş oluruz. Yansıma, doğrultu üzerindeki son nokta olan (0,3)’te gerçekleşir gelince ve top (3,3)’e doğru devam eder.

Çözüme başlarken önce 5 litrelik (bundan sonra büyük şişe diyelim) şişeyi dolduralım. Bu, (5,0) noktasından başlamak anlamına gelir. Büyük şişedeki suyun 3 litresini diğer şişeye dolduralım dersek, bu da topu (5,0) noktasından (2,3) noktası doğrultusuna doğru vurmak anlamına gelir.

dayhard2

Buradan itibaren top tam yansımayla (2,0) noktasına doğru gider.

(2,0) noktasına gelen top, (0,2)’ye doğru yansır. Oradan da (5,2) noktasına ilerler.

(5,2)’den yansıyan top, (4,3)’e doğru gider. Artık durabiliriz çünkü (4,3) noktası büyük şişede 4 litre su olduğunu ifade eder.

dayhard7

 

Yanda görülen yol, 4 litre suya ulaşmak için yapılması gerekenleri tek tek anlatır:

  • Büyük şişeyi doldur.
  • 3 litresini diğer şişeye boşalt.
  • Küçük şişeyi boşalt.
  • Büyük şişede kalan 2 litre suyu diğer şişeye dök.
  • 5 litrelik şişeyi doldur ve ondan küçük şişede kalan 1 litrelik boşluğa su dök.
  • Böylece büyük şişede 4, diğerinde 3 litre su kalmış olur.

 

Eğer John McClane ve Zeus Carver grafik çizmeyi bilseydi, bulmacayı çok daha kısa sürede çözerlerdi. Oturduğum yerden Zor Ölüm’deki ikiliyi eleştirmek kolay tabi ki. Çok iyi biliyorum ki gerçek bir bomba ile karşı karşıya kalan ben olsaydım, öbür dünyaya erken yaşta göç etmiştim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Simon diyor ki…

  1. “4 litreyi elde etmek için ikinci bir yol daha var mı?”
  2. “1 dakika içinde bu iki şişeyle 1 litre su elde etmenin iki farklı yolunu bulun.”
  3. “6 ve 15 litrelik şişelerle 5 litre su elde etmek mümkün müdür? Her iki ihtimali de ispatla.”

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

 

Matematik Atölyesi: Bulmaca #1

Nehir Geçme Bulmacası

Evine dönerken yanında bir kurt, bir keçi ve biraz da lahana bulunduran çiftçinin karşısına bir nehir çıkar. Nehrin kenarında gördüğü kayık çiftçinin her seferde kurt, keçi ya da lahanadan birini yanına almasına izin verecek büyüklüktedir.

Problem ise şudur: Eğer yalnız kalırlarsa kurt keçiyi, keçi ise lahanayı yiyecektir. Bu durumda çiftçi ne yapmalıdır? (Not: Nehrin karşısına yüzerek geçmek mümkün değildir.)

farmer-wolf-goat-cabbage

Cevap

keçiik

Bu üçlü arasında sadece kurt ile lahananın yalnız kalmasında sorun yoktur. O halde önce keçi karşıya geçilir.

lahank

Geri dönülür kurt veya lahanadan biri alınır. (Biz lahanayı aldığımızı düşünelim.) Lahana karşıya bırakılınca keçi ile yalnız kalmaması için keçi geri götürülür ve nehrin sol tarafına bırakılır.

kurtk

Bu sefer kurt kayığa alınır ve nehrin sağ tarafına götürülür. Böylece nehrin sağ tarafında kurt ile lahana kalmış olur ki bunda bir sorun yoktur.

hepsik

En son hamlede keçi karşıya geçirilir ve problem çözülmüş olur.

Bulmacada kurt yalnız kaldıklarında lahanayı da yiyor olsaydı, çözüm mümkün olmazdı. Fakat bunu anlayabilmek için tüm varyasyonları denememiz gerekecekti. Bu da boşa zaman ve enerji kaybı anlamına gelir. Yani bulmacada çözüme ulaşılmasına rağmen doğru bir yöntem bulmuş değiliz.

Peki bu tip bir soruyla uğraşırken işi kolaylaştıracak genel bir yöntem bulmak mümkün müdür?

Nehir Algoritması

Matematiğin görece yeni bir alanı olan çizge teorisinde bir cismin ne olduğu değil, nerede ve kimlerle bağlantılı olduğu önemlidir. Bu dalda noktalar cisimleri, çizgiler ise bağlantıları gösterir. O halde bulmacadaki keçi, kurt ve lahananın her birini nokta olarak gösterelim. Örneğin kurt yalnız kaldıkları takdirde keçiyi yediği için kurtla keçi arasında yeme ilişkisini ifade eden bir çizgi bulunsun.

Yani çizgilerle bağlanan noktalar bulmaca için tehlike arz eder. Çizilecek grafikte bir nokta ortadan kaybolduğunda, noktaya bağlı olan çizgiler de kaybolur.

bağlant

Bulmacaya göre her seferinde yanımıza üçlüden birini alabiliyoruz. Bunu yaparken hangisini seçeceğimize nokta-çizgi yöntemiyle şöyle karar veririz: Noktalardan hangisi kapatılırsa (o noktaya bağlı olan doğrular da kaybolacağı için) tüm grafikte çizgi kalmaz?

baglant

Eğer keçiyi gösteren nokta kapatılırsa, ona bağlı olan doğrular da yok sayılır. Geride sadece kurt ve lahanayı gösteren noktalar kaldığı için soruya buradan başlamak gerekir.

Yarattığımız algoritmanın bize söylediği başka bir şey daha var: Kayıkta en az silinen nokta sayısı kadar yer olmalıdır. Böylece çizilen grafik ne kadar karmaşık olursa olsun kayıkta yer durumuna bakarak sorunun çözümünün olup olmadığı hemen anlaşılabilir.

Peki nehir bulmacasındaki üçlüye bir de tavşan eklenirse ne olur?

İkinci Nehir Örneği

Diyelim ki çiftçinin yanındakiler kurt, keçi, lahana ve tavşan olsun. Yalnız kaldıkları takdirde keçi ve tavşanı kurt, lahanayı ise keçi ve tavşan yiyor. Bu durumda grafik şöyle olur:

dörtlü

Bulmacanın bir önceki versiyonunda sadece keçiyi gösteren noktayı kapamak grafikteki tüm çizgileri yok etmişti. Bu sefer dörtlünün her biri teker teker denenmesine rağmen hiçbir nokta tek başına grafikteki tüm çizgileri yok edemiyor.

  1. Tavşan noktası ve noktaya bağlı çizgiler kaldırılınca.
  2. Lahana noktası ve noktaya bağlı çizgiler kaldırılınca.
  3. Keçi noktası ve noktaya bağlı çizgiler kaldırılınca.
  4. Kurt noktası ve noktaya bağlı çizgiler kaldırılınca.

O halde iki noktayı kaldırmayı denemeliyiz. Örneğin;

dörtlü5

tavşan ve keçi noktaları ile noktalara bağlı çizgiler kaldırılınca grafik bu hale geliyor. Yani sonuca ulaşmak için ilk adımı başarıp kayıkta kaç kişilik yer olması gerektiğini bulduk: Kayıkta en az iki kişilik yer olunca bulmaca çözülebilir.

Başta basit bir bulmaca gibi görünen nehirden karşıya geçme sorusunu çizge teorisiyle birleştirince karşımıza önce grafikler çıktı. Bu grafikleri düşünerek bir algoritma yazdık ve karmaşık durumları hızlıca çözme yolunun nereden geçtiğini öğrenmiş olduk.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kurt-keçi-lahana-tavşan sorusunu çözün.
  2. Kurt-keçi-lahana-tavşan dörtlüsünün yanına havuç, kedi ve fare üçlüsünü ekleyelim. Havucu keçi, tavşan ve farenin, fareyi ise sadece kedinin yediğini varsayalım. Bu durumda her şeyi nehrin öteki tarafına geçirebilmek için kayığın boyutu en az kaç kişilik olmalıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu