Trafik Işıkları

İki kişilik bir oyun olan trafik ışıklarına aşağıdaki linkten ulaşabilirsiniz:

https://www.geogebra.org/m/fwfdhejc

İyi eğlenceler!

Matematik Atölyesi – Oyun #13

Köprüyü Geçmek

Mezopotamya’nın en güzel şelalelerinin yanı başında bulunan Togan, bulunduğu bölgenin en verimli topraklarına sahipti. Sadece birkaç yüz kişinin yaşadığı bu köyde bir kişi hariç herkes tarımla uğraşıyordu: Berkut.

Hayatının sonbaharında olan Berkut’un tamamen beyazlamış uzun saçları ve hipster sakalı vardı. Berkut’un hikayesi Toganlılar arasında bir nevi efsaneye dönüşmüştü. Anlatılanlara göre, evinin sınırlarına giren herkes ortadan kayboluyordu. Bu yüzden Togan’ı ikiye ayıran derenin diğer tarafında bulunan tek ev Berkut’unkiydi.

Berkut

Onu sadece bahçesine çıktığı zamanlar derenin öbür tarafında izleyebilen çocuklar için Berkut büyük bir bilinmezdi.

Berkut’un evi.

Toganlılar henüz çocuk yaşlarda tanıştığı hayatlarının büyük kısmını tarlalarda geçirirdi. Ali de son bir senedir arkadaşları gibi ailesine yardım ediyor, neredeyse güneşin doğuşundan batışına dek tarlada çalışıyordu. Fakat Berkut’un durumu Ali ve arkadaşlarının ilgisini çekiyordu. Bir gece yine Berkut hakkında konuşan dörtlü sonunda bir karar vermişti: Ertesi gün öğleden sonra işten kaytarıp derenin karşısına geçeceklerdi.

Ertesi gün gelip çattığında bahçesinde sandalyesine kurulan Berkut, Ali ve arkadaşlarının dere üzerinde bulunan köprüyü kullanarak karşıya geçişini izledi. Çocuklar kendilerini gizlemeye çalışarak onun evine doğru yaklaşıyordu. Berkut, çocukların evine doğru geldiğini anladı ve içeri girdi.

Çocuklar çalıların arasına saklanarak Berkut’un evinin önüne varmıştı. Evin dereye bakan bahçesine gizlice giren çocuklar, verandada bulunan sehpada bir tabak kurabiye ve dumanı tüten bir çaydanlık görmüştü. Şaşkın halde sehpanın üzerindekilere bakan çocuklar Berkut’un dışarı çıktığını görünce çığlık atıp hızla bahçeden farklı yönlere doğru kaçıştı.

Ali ve arkadaşları ancak hava kararınca birbirlerini bulmuştu. Artık karanlıkta derenin karşısına geçmek zorundaydılar. Fakat köprü aynı anda sadece ikisini taşıyacak güçteydi ve ellerinde sadece bir lamba vardı.

Berkut’un kendilerini kovaladığını düşünen çocuklar, en kısa sürede karşıya geçmek istiyordu.

Karşıya geçiş süreleri:

Aslı: 1 dakika

Ali: 2 dakika

Necdet: 6 dakika

Selin: 10 dakika

Herhangi ikili köprüyü, yavaş olanın hızında geçer. (Örneğin Ali ile Necdet beraber köprüyü 6 dakikada geçer.)

Bu durumda dört çocuk köprüyü en az kaç dakikada geçebilir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #12

Üçgen İstilası

İki kişilik bir oyun olan üçgen istilasını oynamak için öncelikle bir üçgen çizin ve bu üçgenin köşelerine farklı isimler verin (1-2-3 gibi):

20190530_145646.jpg

Daha sonra büyük üçgenin içine aşağıdaki gibi küçük üçgenler çizin:

20190531_125538.jpg

(Küçük üçgen sayısı istenildiği kadar artırılabilir.)

Üçgende köşeleri aşağıdaki kurallara uyarak adlandırın:

a. 1-2 kenarında bulunan köşeler 1 veya 2 olabilir.

b. 1-3 kenarında bulunan köşeler 1 veya 3 olabilir.

c. 2-3 kenarında bulunan köşeler 2 veya 3 olabilir.

d. Büyük üçgenin içerisinde kalan köşeler 1, 2 veya 3’ten herhangi biri olabilir.

Oyunun İşleyişi

  • Yukarı kuralları izleyerek sırayla köşeler adlandırılır.
  • Oyuncular son köşesini adlandırdıkları üçgenleri istila etmiş sayılır.
  • Amaç 1-2-3 üçgeni yapmamaktır. En az 1-2-3 üçgeni istila etmiş olan kişi oyunu kazanır.

Sperner’in Üçgeni

Üçgen istilası oyunu aslen Sperner üçgeninden gelir. Emanuel Sperner’in bulduğu Sperner üçgeni, çok basit kuralları olmasına rağmen şaşırtıcı bir sonucu içerisinde barındırır. Sperner üçgeni aynı üçgen istilasında olduğu gibi büyük bir üçgenin içine küçüklerinin çizilmesi ve bunların köşelerinin adlandırılmasıyla elde edilir.

Kurallara göre köşeler etiketlendiğinde muhakkak köşeleri 1-2-3 olan bir üçgen bulunur:

20190531_125917.jpg
Örnekte üç tane 1-2-3 üçgeni vardır.

Hatta Sperner bu kurallar çerçevesinde her zaman tek sayıda 1-2-3 üçgenleri olacağını söyler.

Bu yüzden de üçgen istilası hiçbir zaman beraber bitmez.

Çıkmaz Sokak

Sperner üçgeninde 1 ve 2 arasında kalan kenarlar kapı, kalan tüm kenarlar ise duvar olsun. Bir 1-2 kapısından başlanan yürüyüşte karşılaşılan tüm kapılar kullanılmak zorundadır:

Bu durumda üçgenin dışından başlayan bir yürüyüş iki şekilde bitebilir:

  1. Büyük üçgenin içinde bulunan bir 1-2-3 üçgeninde:

    Sol kenarda üç tane 1-2 kapısından başlanan yürüyüşlerin hepsi 1-2-3 üçgenlerinde bitmiştir.

  2. Büyük üçgenin dışında:

    Sol üstteki kapıdan başlayan yürüyüş üçgenin dışında bitmiştir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #11

Lahana

1967’de M. S. Paterson ile J. H. Conway’ın yarattığı iki kişilik bir oyun olan lahanayı oynamak için kağıt ve kalemden başka bir şeye ihtiyacınız yoktur.

  • Oyuna başlarken kağıt üzerine rastgele üç adet nokta koyulur:20190429_140440.jpg
  • Oyuncular sırayla bir noktadan diğerine (veya bir noktadan yine kendisine) giden bir eğri çizer. Çizilen eğrinin üzerine bir de nokta konur:
  • Çizilen eğriler birbirini kesemez.

    20190429_140912.jpg
    Çizgilerin kesişmesi yasaktır.
  • Bir noktaya bağlı üç tane eğri varsa, o nokta artık ölüdür: Yani o noktaya başka bir eğri bağlanamaz:
    Soldaki resim ihlal içerirken sağdaki resimde A, B ve E noktaları “ölü”dür. Çünkü bu noktaların her biri üç çizgiye sahiptir.
  • Son eğriyi çizen oyunu kazanır.

Brüksel Lahanası

Lahananın bir başka versiyonu olan Brüksel Lahanası’nda başlangıçta konulan noktaların ufak çizgileri vardır. Bu noktalar ve üzerinde bulunan çizgiler istenilen sayıda seçilebilir. Örneğin birinde 3, diğerinde 4 çizgi olan iki noktayla oyuna başlayalım:

20190429_141609.jpg

Brüksel Lahanası’nda da oyuncular sırayla birer eğri çizer (her çizilen eğrinin üzerine yeni bir nokta ve iki küçük çizgi konur). Bu sefer eğriler noktalarda bulunan ufak çizgiler arasındadır:

20190429_141659.jpg

Yine bir önceki oyunda olduğu gibi çizilen eğriler birbirini kesemez ve yine en son eğriyi çizen oyunu kazanır:

En sağdakinde çizgiler kesiştiği için ihlal vardır.

Euler ve Lahana

Euler ile bu basit görünümlü oyunların ne alakası var diyebilirsiniz. Euler karakteristiğinden daha önceki yazılarımda bahsetmiştim.

Euler der ki:

Bir düzlemde (kağıt üzerinde) V tane nokta ve bu noktalar arasında birbirini kesmeyen E tane çizgi olsun. Bu nokta ve çizgilerin çerçevelediği yüzlerin sayısı da F olsun (tüm kağıdın da bir yüz olduğunu unutmayın). O halde:

V – E + F = 2 olur.

Yani nokta sayısıyla yüz sayısını toplayıp bundan çizgi sayısını çıkarırsan cevap her zaman 2 olur.

Bitmiş bir Brüksel Lahanası oyununu ele alın. Nokta, çizgi ve yüz sayılarını belirleyin:

Euler’in formülüne sayıları yerleştirin:

Euler her defasında haklı çıkacak!

Dört Renk

Yine bitmiş bir Brüksel Lahanası’nı ele alın. Bu sefer dört farklı renkte kaleme ihtiyacınız olacak:

Bitmiş oyun üzerindeki alanları komşu olanlar farklı renkte olacak şekilde boyarsanız dört rengin yeterli olacağını göreceksiniz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Lahana oyununu 3 nokta ile en fazla kaç el oynayabilirsiniz?
  2. Lahanayı kazanmak için bir strateji bulabilir misiniz?
  3. Brüksel lahanasında üçer dikeni olan iki nokta ile en fazla kaç el oyun sürdürülebilir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #10

Oreo’yu Kurtarmak

6 yaş ve üzeri herkesin oynayabileceği iki kişilik bir oyun olan Oreo’yu Kurtarmak için gerekenler:

  • Bir karenin içine çizilmiş 9 küçük kare:
    20190317_200302
  • Küçük karelerin bir aygıtı uzunluğunda 24 adet kibrit.
  • Kibritlerle oluşturulmuş 9 tane kare:
    20190317_200651
  • Her karede bir Oreo:
    20190317_200631

Kurallar:

  1. Her oyuncu sıra kendisine geldiğinde bir tane kibrit kaldırabilir.
  2. Bir Oreo’nun kurtulması için dört bir yanındaki kibritlerin kaldırılması gerekir:

    Sol üstteki Oreo’nun alınması için etrafındaki dört kibritin de kaldırılması gerekir.

  3. Oreo’nun etrafındaki son kibriti alan oyuncu Oreo’yu kurtarmış sayılır.

Amaç: En çok Oreo’yu kurtarmak.

Hücum-Savunma

Hücum Stratejisi: Bir Oreo’yu kurtarabilmek için etrafındaki son kibriti almanız gerekir.

Savunma Stratejisi: Bir Oreo’nun etrafında iki tane kibrit varsa, hamlenizi başka bir Oreo’nun etrafında yapmanız gerekir. Aksi takdirde Oreo’nun etrafında tek bir kibrit kalır ve rakibiniz o kibriti kaldırarak Oreo’yu kurtarmış olur.

Başlangıçta her iki oyuncunun da savunma stratejisini benimsemesi en mantıklısıdır. Fakat bir noktada oyunculardan biri savunma yapamayacak duruma gelir:

20190317_200536

Buradan sonra oyun aşağıdaki gibi devam edebilir:

Bu örnek oyunun sonunda ilk oyuncu Oreo’ların 6’sını, ikinci oyuncuysa sadece 3’ünü kurtarmış olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Oyunu her seferinde kazandıracak bir yöntem bulabilir misiniz?
  2. Bir oyuncu tek hamlede en fazla kaç Oreo kurtarabilir? Cevabınızı bir oyun örneğinde gösterin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #9

Ne demek “beraber bitti”?!

Tarihin gelmiş geçmiş en basit ve güzel oyunu olarak gördüğüm futbolda sevmediğim tek şey bir maçın berabere bitmesidir. Her ne kadar kazanan olmayan durumlar yaşansa da sezon sonunda şampiyonluğu sadece bir takım alır. Yani nihai sonuçta beraberlik yoktur ki böyle olması çok doğal. Zaten beraberlik kavramı oyun oynamanın amacına ters değil mi? Yoksa bunu bir tek ben mi düşünüyorum?!

zidane-juve
Pek berabere kalmak istiyorlarmış gibi bir görüntü yok sanki.

Daha önce de bahsetmiştim: Ben bir oyun-severim. Fakat bir oyunun berabere bitmesini hiçbir zaman kabul edemedim. Bu yüzden örneğin küçükken x-o-x oyununu sonucunda beraberlik mümkün olduğu için hiç severek oynamazdım. Hatta öyle ki oyun berabere bitmesin diye bilerek yanlış hamleler yapardım.

Çözüm Hex

  • Dokuz tane düzgün altıgeni aşağıdaki gibi dizin:
    20190308_152834
  • Karşılıklı kenarlar aşağıdaki gibi kırmızı ve mavi olarak ayrılsın:
    rm
  • Oyunculardan biri kırmızı, diğeri mavi rengi seçsin.
  • Oyuna ilk başlayan yazı-tura ile belirlensin.
  • Oyuncular sırayla istediği boş kutuyu seçsin.

Amaç: Kırmızı kalemli oyuncu kırmızı, mavi kalemli oyuncu ise mavi kenarlar arasında bağlantı kurmaya çalışır. Bağlantıyı kuran oyunu kazanmış olur.

Hex’in x-o-x’den en önemli farkı şudur: Hex hiçbir zaman berabere bitmez.

Hex’de oyunculardan biri muhakkak oyunu kazanır.

Örnek: Kırmızı başlarken.

Hex’de beraberlik olması için çabalayalım. Bu; ne kırmızı ne de mavi kenarlar arasında bağlantı kurulmaması anlamına gelir.

Diyelim ki kırmızı ilk iki hamlesini aşağıdaki gibi yaptı:

20190308_152908.jpg

Mavi oyuncu bu durumda kırmızının bağlantıyı kurmaması için aşağıdaki tercihi yapmış olması gerekir:

20190308_152935.jpg

Kırmızı üçüncü tercihinde mavinin en altta kendine yol yapmasını engellemesi lazım. Fakat mavinin yolunu tamamlaması için iki tercihi vardır:

xx

Bu yüzden kırmızı hangi kutuyu seçerse seçsin mavinin diğer kutuyu seçmesiyle oyunu mavi kazanır:

İşin fenası kırmızı maviyi engellerse bu sefer kendi kırmızıdan kırmızıya bağlantı kurmuş oluyor. Bu da her ihtimalde oyunun berabere bitemeyeceğini gösteriyor.

20190308_153134

Rastgelelik

Hex oyunu kağıdımız aşağıdaki gibi numaralandırılmış olsun:

20190308_153150

5’er tane kırmızı ve mavi kağıdı karıştırıp sırayla çekelim. Denemem aşağıdaki gibi sonuçlandı:

20190308_153218

Bu rastgele Hex’de maviler kazanmıştır.

Oyundaki rastgelelik için numaraların farklı dizildiği bir oyun kağıdını kullanalım:

20190308_153240

Bu sefer sırayla çekilen kırmızı ve mavi kağıtlar aşağıdaki gibi dizilir:

20190308_153259

Bu rastgele Hex’i de kırmızılar kazanmıştır. Her halükarda oyunda bir kazanan vardır.

Biraz Tarih
Hex ilk olarak 1942’de Danimarkalı mimar Piet Hein tarafında bulunmuştu. 1948 civarında ünlü matematikçi John Nash’in de Hein’dan bağımsız olarak Hex’i bulduğu bilinir. Hex ismini ise oyunu piyasaya süren Parker Brothers vermişti.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Orijinal hex kağıdı 11’e 11 boyutlarındadır. Linkte bulunan kağıdın çıktısı üzerinde oyunu oynayabilirsiniz. Bunu yaparken kazanma stratejileri üzerine düşünmeye çalışın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #8

Yargıç Tahterevalli 2.0.1

Önceki yazının sonunda 12. kutunun ağırlığı bilinmiyor iken bu kutunun en fazla üç denemede nasıl bulunabileceğini sormuştum.

Çözüme yine 12 kutuyu 4’erli üç gruba ayırarak başlamamız gerekir. Fakat bu sefer hem gruplara hem de kutulara isim vermeliyiz:

20190304_155612

İlk denemede A ve B gruplarını tahterevallinin uçlarına bırakalım. İki ihtimal vardır:

İhtimal 1: Tahterevalli dengededir.

20190304_155726

Bu ihtimal A ve B’de aynı kutuların bulunduğunu gösterir.

O halde aradığımız kutu C’deki dört kutudan biridir.

İkinci denemede C’de kutuların üçüyle A’daki üç kutuyu tahterevallinin iki ucuna bırakalım. (Neden A’daki üç kutu? Aslında A ve B aynı kutulara sahip olduğu için hangi üç kutunun alınacağı önemsizdir. Ben sorunun çözümünü gösterirken kolaylık olsun diye A’den üç kutu seçtim. Yoksa hepsi B’den veya ikisi A’dan biri B’den de pek tabi seçilebilir.)

İkinci denemeden sonra yine iki ihtimalle karşı karşıya kalırız:

a. Tahterevalli dengededir.

20190304_155805
Aradığımız kutu: C4

Yani C’deki üç kutu, A’deki kutularla özdeştir. Bu da ikinci denemede seçmediğim C kutusunun aradığımız kutu olduğu anlamına gelir.

b. Tahterevalli dengede değildir. Bu ihtimalde aradığımız kutunun C’den seçtiğim üçlü arasında olduğunu anlarız. Ayrıca tahterevalli ya C ya da A tarafına doğru eğiktir. Bu sayede C’deki kutunun diğer kutulardan daha ağır olup olmadığını da öğreniriz.

Yani soru artık şuna dönmüştür: Üç kutunun iki tanesi aynı ağırlıktadır. Üçüncü kutunun diğerlerinden daha ağır ya da hafif olduğu biliniyorsa, üçüncü kutuyu nasıl buluruz?

Bunu herhangi iki kutuyu tahterevallinin iki ucuna koyarak tek seferde bulabiliriz.

Tahterevalli dengede ise aranılan kutu tahterevallide olmayandır:

20190304_160019
Cevap: C

Tahterevallide denge yoksa aranılan kutunun ağırlığı bilindiği için kutu bulunabilir. (Daha ağırsa ağır olan taraf, hafifse hafif olan taraftadır.)

İhtimal 2: Tahterevalli dengede değildir.

O halde aradığımız kutu A ya da B grupları içindedir. İşin zor kısmı burası; çünkü sekiz kutu içinden hangisinin farklı olduğunu sadece iki denemede bulmamız gerekiyor.

Bu ihtimalde ilk deneme sonucunda öğrendiğimiz bir başka şey ise A ya da B gruplarından birinin diğerinden daha ağır olduğudur. Çözümün geri kalanı için A’nın B’den daha ağır olduğunu farz edeceğim. (Bunu yazı-tura atarak belirledim. Yani B’nin daha ağır olduğunu seçsem bir şey değişmezdi.)

20190304_160109.jpg
A grubu B’den daha ağırken.

İkinci denemeyi yapmadan önce A ile B arasında bir kutuyu, B ile C arasında da 3 kutuyu yer değiştireceğim. Bu deneme sonucunda tahterevalli üç şekilde durabilir:

a. Tahterevalli dengede:

20190304_160141.jpg
Kutumuz B2, B3, B4’den biridir.

Tahterevallinin üzerindeki kutular birbirinin aynısıdır. O halde aradığımız kutu ilk denemeden sonra çıkardığımız üç B’nin içindedir. Ayrıca tahterevalli dengeye geldiği için aradığımız kutunun diğerlerinden daha hafif olduğunu da anlamış oluruz.

Üç kutudan ikisi aynı ağırlıkta, biri onlardan daha hafif. Tek denemede hafif kutuyu bulabiliriz ki bu da toplamda üç denemede kutuyu bulduk demektir.

b. Tahterevalli ilk denemedeki gibi duruyor:

20190304_160130.jpg
Kutumuz A1, A2, A3’den biridir.

O halde aradığımız kutu A’daki üçlüden biridir. Ayrıca kutunun diğerlerinden daha ağır olduğu da anlaşılmıştır.

Yani ikisi aynı ağırlıkta, biri onlardan daha ağır üç kutudan ağır olanı bulmamız gerekir. Bunu tek denemede yapmamız mümkündür. Böylece toplamda üç denemede kutuyu bulmuş oluruz.

c. Tahterevalli ilk denemedeki durumun tersi şeklinde duruyor:

20190304_160207.jpg
Kutumuz A4 veya B1’den biridir.

O halde aradığımız kutu A ile B arasında değiştirilenlerden biridir. Fakat hangisinin daha ağır olduğunu bilemeyiz.

Bu durumda iki kutudan birini seçip, diğer 10 kutudan biriyle tahterevalliye koymalıyız. Eğer tahterevalli dengede ise aradığımız kutu seçmediğimiz kutudur. Eğer tahterevallide denge yoksa aradığımız kutu seçtiğimiz kutudur.

Aradığımız kutu A4 olsun:

20190304_160240

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #7

Yargıç Tahterevalli

Masanın üzerinde 12 tane hediye paketi var. Paketlerin tamamı aynı büyüklükte ve aynı hediye kağıdıyla kaplanmış.

rectangular white and red gift box

Bu paketlerin 11’i aynı ağırlıkta iken 12. paketin ağırlığı diğerlerinden farklı.

Amaç: Farklı ağırlıktaki paketi bulan kişi olmak.

Ödül: 50.000.000 eski Türk lirası değerinde Oreo. (Çünkü Oreo dünyadaki en güzel şeydir.)

Araç: En fazla üç deneme hakkı ve ölçüm yapmak için kullanılabilecek bir tahterevalli.

istockphoto-684156036-612x612

Yargıç Tahterevalli 1.0.1

Oyunun bu versiyonunda ek olarak farklı kutunun diğerlerinden daha ağır veya hafif olup olmadığı bilgisi veriliyor.

Bu noktada kendinize biraz süre verin ve farklı kutunun daha ağır olduğu durum üzerine düşünün.

***

Düşünmeniz bittiyse buyurun cevaba:

Diyelim ki farklı kutu diğerlerinden daha ağır. O halde önce 12 kutu 4’erli gruplara ayrılır.

Birinci denemede herhangi iki grup tahterevallinin uçlarına bırakılır. Bu noktada iki ihtimal vardır:

a. Tahterevalli dengededir.

tahte
Eğer ağır kutu bu sekiz kutunun içinde olsaydı tahterevalli dengede duramazdı.

Gruplar birbirine eşittir. Bu da aranılan paketin üçüncü gruptaki dörtlüden biri olduğu anlamına gelir.

 

İkinci denemede bu dörtlü ikişerli olarak tahterevalliye koyulur.

tahte3
Ağır olan kutu soldakilerden birisidir.

Tahterevalli daha ağır olan tarafa doğru eğilir. 12. paket ağır taraftaki ikiliden biridir.

Üçüncü denemede bu ikili tahterevallinin uçlarına bırakılır.

tahte4
Soldaki kutu ağır olandır.

Tahterevalli yine eğilir. Burada ağır olan paket 12. pakettir.

b. Tahterevalli dengede değildir.

tahte2
Tahterevalli ağır kutunun bulunduğu tarafa doğru eğilir.

Bu da aranılan paketin ağır olan taraftaki dörtlünün içinde olduğu anlamına gelir. Çözümün geri kalanı a şıkkındaki gibidir. Ağır olan paket üç denemede bulunmuş olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Yargıç Tahterevalli 2.0.1

Bu versiyonda 12. paketin diğerlerine kıyasla daha ağır ya da hafif olup olmadığı bilinmiyor.

Ufak bir değişiklik gibi görünse de oyun bir önceki versiyona göre çok zor bir hale geldi.

O yüzden soruyu çözmeniz için size biraz süre tanıyorum. Cevabı bir sonraki yazıda paylaşacağım.

M. Serkan Kalaycıoğlu