Matematik Atölyesi – Oyun #7

Yargıç Tahterevalli

Masanın üzerinde 12 tane hediye paketi var. Paketlerin tamamı aynı büyüklükte ve aynı hediye kağıdıyla kaplanmış.

rectangular white and red gift box

Bu paketlerin 11’i aynı ağırlıkta iken 12. paketin ağırlığı diğerlerinden farklı.

Amaç: Farklı ağırlıktaki paketi bulan kişi olmak.

Ödül: 50.000.000 eski Türk lirası değerinde Oreo. (Çünkü Oreo dünyadaki en güzel şeydir.)

Araç: En fazla üç deneme hakkı ve ölçüm yapmak için kullanılabilecek bir tahterevalli.

istockphoto-684156036-612x612

Yargıç Tahterevalli 1.0.1

Oyunun bu versiyonunda ek olarak farklı kutunun diğerlerinden daha ağır veya hafif olup olmadığı bilgisi veriliyor.

Bu noktada kendinize biraz süre verin ve farklı kutunun daha ağır olduğu durum üzerine düşünün.

***

Düşünmeniz bittiyse buyurun cevaba:

Diyelim ki farklı kutu diğerlerinden daha ağır. O halde önce 12 kutu 4’erli gruplara ayrılır.

Birinci denemede herhangi iki grup tahterevallinin uçlarına bırakılır. Bu noktada iki ihtimal vardır:

a. Tahterevalli dengededir.

tahte
Eğer ağır kutu bu sekiz kutunun içinde olsaydı tahterevalli dengede duramazdı.

Gruplar birbirine eşittir. Bu da aranılan paketin üçüncü gruptaki dörtlüden biri olduğu anlamına gelir.

 

İkinci denemede bu dörtlü ikişerli olarak tahterevalliye koyulur.

tahte3
Ağır olan kutu soldakilerden birisidir.

Tahterevalli daha ağır olan tarafa doğru eğilir. 12. paket ağır taraftaki ikiliden biridir.

Üçüncü denemede bu ikili tahterevallinin uçlarına bırakılır.

tahte4
Soldaki kutu ağır olandır.

Tahterevalli yine eğilir. Burada ağır olan paket 12. pakettir.

b. Tahterevalli dengede değildir.

tahte2
Tahterevalli ağır kutunun bulunduğu tarafa doğru eğilir.

Bu da aranılan paketin ağır olan taraftaki dörtlünün içinde olduğu anlamına gelir. Çözümün geri kalanı a şıkkındaki gibidir. Ağır olan paket üç denemede bulunmuş olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Yargıç Tahterevalli 2.0.1

Bu versiyonda 12. paketin diğerlerine kıyasla daha ağır ya da hafif olup olmadığı bilinmiyor.

Ufak bir değişiklik gibi görünse de oyun bir önceki versiyona göre çok zor bir hale geldi.

O yüzden soruyu çözmeniz için size biraz süre tanıyorum. Cevabı bir sonraki yazıda paylaşacağım.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #6

Oreo Yerleştirme Oyunu – OYO

Ali ile Ayşe (evet, daha klişe isimler bulamadım) ne zaman kahve içmek için buluşsa yanlarında getirdikleri oreolarla bir oyun oynuyor. Oyunun amacı önlerindeki masanın üzerinde serdikleri peçeteye oreoları dizmektir. Bunu yaparken oreolar üst üste gelmemeli ve peçeteden taşmamalıdır. Peçeteye son oreoyu koyan oyunu kazanır.

Kurallar:

  • İki kişi sırayla ve her seferinde sadece bir tane oreoyu peçete üzerinde istediği yere koyar.
  • Peçete çember şeklindedir.
  • Oreolar üst üste binemez.
  • Oreolar peçetenin sınırının ötesine geçemez.
  • Peçeteye sığan son oreoyu koyan kişi oyunu kazanır.

Ali veya Ayşe’den biri için her seferinde oyunu kazanmasını sağlayan bir algoritma var mıdır?

Evet, OYO’da her zaman kazanmak için uygulanabilecek bir algoritma vardır. Fakat bu algoritma sadece oyunda ilk hamleyi yapan kişi için geçerlidir.

Kazanan Algoritma:

  • Oyunda ilk hamleyi yapan kişi ol.
  • İlk hamlede oreoyu peçetenin merkezine koy.
  • Sonraki hamlelerinde rakibin oreosunu nereye koyuyorsa o konumun merkezdeki oreoya göre simetrisini seç.
  • Eninde sonunda ikinci oyuncunun oreosunu koyacak yeri kalmayacak.

Oyuna ilk başlayan oreosunu çemberin merkezine koyar.

İkinci oyuncu oreosunu nereye koyduysa bunu merkeze göre 180 derece çevirin ve oreonuzu oraya koyun.

Stratejisine sadık kaldığı takdirde eninde sonunda oyunu ilk oyuncu kazanır.

Düzgün Çokgen Peçeteler

Peçetenin şekli üçgen iken OYO’da aynı algoritma için farklı durumlar ortaya çıkar. Bunlardan biri ilk oreo üçgenin merkezine konulduğu durumdur. Eğer şeklin içine tek sayıda oreo sığıyorsa ilk oyuncu algoritmayı uygulayarak her zaman oyunu kazanır.

Fakat çift sayıda oreo sığarsa:

O halde oyunu ikinci oyuncu kazanır. Bu durumda ilk oyuncunun her oyunu kazanması için algoritmada ufak bir değişiklik yapılabilir. Oyuncu ilk hamlesinde oreoyu tam merkeze değil de herhangi bir köşeye biraz daha yakın koyabilir:

Üçgendeki durum beşgen şeklinde de aynen geçerlidir:

Görüldüğü üzere ilk oreo merkeze konduğunda kaybetme ihtimali var. Fakat merkezin hafif üzerine doğru konulursa oyunu ilk oyuncu kazanır:

Peki oyuna ilk başlayan olmadığınızda kazanmak için bir algoritma var mı?

Bunu peçetenin şeklini değiştirerek başarabilirsiniz. Oyunun peçetesi bir düzgün çokgen değil de aşağıdaki gibi olsun:

nankon1

Bu gibi durumlarda bir oyuncu hamlesini yaptıktan sonra geriye birer oreonun sığabileceği için iki ayrı boş alan bırakıyorsa oyunu kazanır:

Yukarıdaki gibi bir şekilde akıllı oynadığı takdirde ilk oyuncu her zaman kazanır.

Bu yüzden ikinci oyuncunun oyunu kazanması için oreosunu yerleştirdikten sonra peçete üzerinde birer oreonun sığacağı iki ayrık boşluk kalmalıdır. Bunu aşağıdaki gibi bir peçetenin üzerinde başarabilir:

Bu şekilde ilk oyuncu oreosunu nereye koyarsa koysun inisiyatif ikinci oyuncuda olur:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Eğer oreo yuvarlak değil de kare şeklinde olsaydı aynı algoritma işe yarar mıydı? Bunu üçgen ve çember peçeteler üzerinde deneyin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #5

Bana Karşı Hepiniz

Bu yazıda seninle bir oyun oynayacağım. Evet, sana diyorum doğru bildin. Yazının sonunda nerede durursan onu kazanacaksın.

Kurallar:

  • Oyuna sol üst köşeden başlanır.
  • Her hamlede gidilebilecek sadece dört yön var: Aşağı, yukarı, sağ ve sol.

    hepsis
    1000 Euro’dan bir adım atılacaksa bu ya sağındaki 1000 dolara, ya da aşağısındaki Iphone’a doğru olur. Çapraz gitmek serbest olmadığı için 1000 Euro’dan bir adım atarak kahveye geçilemez.
  • İkinci kural izlendiği takdirde istenildiği gibi hareket edilebilir. Yani aynı yere geri dönmek, istenilen yere istenildiği kadar gitmek serbest.
  • Her hamlede adım atmaya en son kaldığınız kutudan devam edilecek.
  • Benim görevim attığın adımlar sonrasında bazı kare/kareler seçip elemek. Eğer elediğim karelerden birinde isen oyunu kazanmış olacaksın.
  • Tekrar ediyorum, çapraz ve benzeri hareket yok. Sadece aşağı-yukarı ve sağ-sol yapılabilir.

Hazır olduğunda başlıyoruz. İyi şanslar.

Oyun

1. Aşağıdaki dokuz kare arasında hareket edeceksin. Başlangıç sol üst köşeden, yani 1000 Euro’nun olduğu yerden olacak şekilde 5 adım at.

hepsi

2. Hareketinden sonra 1000 euro’nun bulunduğu karede olamazsın. Şimdi bulunduğun yerden başlayarak tam 7 adım atacaksın. Attın mı? O halde bir sonraki maddeye geçebilirsin.

hepsi2

3. Adımlardan sonra 1000 doların üzerinde durmuyorsun; değil mi? Bu yüzden 1000 doları da oyundan çıkarıyorum. Oyunu biraz daha hızlandırıyor ve 11 adım atmanı istiyorum.

hepsi3

4. Bu sefer daha iddialı olacağım ve iki kutu seçeceğim: Durduğun yer araba anahtarı ve bir çanta dolusu paranın olduğu kutuların her ikisi de değil. Haklı olduğumu biliyorum ve aşağıdaki şekil üzerinde nerede duruyorsan oradan başlayıp 5 adım atmanı istirham ediyorum.

hepsi4

5. Adımların bittikten sonra Iphone ve 100 doları da eleyebilirim, çünkü biliyorum ki oralarda değilsin. Şimdi bulunduğun yerden sadece 1 adım atmanı istiyorum.

hepsi5

Sonuç: Kahve ve 500 doları eliyorum çünkü biliyorum ki şu an sıfırın üzerindesin. Üzgünüm ama kocaman bir sıfır kazandın.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu oyunu kim oynarsa oynasın, adımları nasıl atarsa atsın, her zaman sonuç bu olacak. Peki ama neden? Nasıl kendimden bu kadar eminim?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #4

Son Kalan Bisküvi

Küçük bir çocukken avcı&toplayıcı atalarımdan kalan genleri kullanmayı öğrenmiştim. Eğer benim gibi kalabalık bir ailede yer alıp, bunun üzerine bir de abur-cubur düşkünü bir çocukluk geçirdiyseniz çoğunlukla hızlı ve güçlü olanın yiyeceği kaptığını çok iyi biliyorsunuzdur. Üstelik kalabalık boş bir kalabalık değildi; yani rekabet de had safhadaydı.

İyi bir avcı sayılırdım. Sülalenin en küçüklerinden biri olmam nedeniyle yaşadığım fiziksel dezavantajları kurnazlık ve/veya çabuklukla telafi edebiliyordum.

Şimdi dönüp geriye bakınca keşke kurnazlığımı daha çok kullanabileceğim durumlar olsaydı diyorum.

püsküü
Püskevit de değil!

Çay Partisi

Çay demlendi, pötibörler de hazır. Bileğimi ısıtıyorum ki çaya banarken kırılma noktası gelmeden hızla pötibörü bardaktan çıkarabileyim… ve fakat… misafir geldi…

Elde kakaolu ve normal pötibör var. Siz de, misafir gelen arkadaşınız da kakaolu pötiböre kavuşmak için sabırsızsınız. Hepi topu dört tane kakaolu pötibör kalmış, bu yüzden paylaşmanın gereksiz olduğunu konusunda hemfikirsiniz. Pötibörler konusundaki kararı oynanacak oyunun galibi verecek.

IMG_5786

Kurallar:

  • Bisküviler sırayla alınacak.
  • Sırası gelen oyuncu ya sadece bir taraftan istediği kadar, ya da her iki taraftan aynı sayıda olmak şartıyla istediği kadar bisküvi alabilir.
  • En son bisküvileri alan oyunun galibidir.

Örnek: Ev sahibi vs. Misafir

Altı normal, dört tane de kakaolu pötibör var.

İlk misafir başladı ve kakaolu kısımdan bir tane aldı.

Sıra ev sahibinde. O da normal kısımdan bir tane almayı tercih ederken misafir her cins pötibörden de birer tane aldı.

Sırada olan ev sahibi normal pötibörden üç tane aldı.

IMG_5792

Misafir bir tane kakaolu aldı.

IMG_5793

Sıra ev sahibine geçince ortada her cinsten de birer tane bisküvi kaldığı görülüyor. Böylece ev sahibi her iki bisküviyi de alarak oyunu kazandı.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Verilen örnekte ilk başlayan olup olmamak kazanmayı etkiliyor mu?
  2. Örnekte hangi durumda misafirin oyunu kaybettiği anlaşılıyor? Bu noktada misafirin yapacağı hamlenin önemi var mı?
  3. Farklı sayılarla bisküvileri kullanarak her seferinde kazanmanızı sağlayan bir yöntem bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Bulmaca #3

Sihirli Baklavanın Hikayesi

Ekskalibur ismini çoğunuz duymuştur. Britanya kralı Arthur’un ünlü kılıcı olan Ekskalibur büyülü bir kılıçtı. Öyle ki onu kullan kişi insanüstü özelliklere sahip oluyordu. Ekskalibur bir mitoloji hikayesi olarak görülebilir.

7043641

Bu yazıda da tahminen daha önce hiç duymadığınız bir mitolojik hikayeden bahsedeceğim: Matematikçi Serkan’ın sihirli baklavasından!

Şanssız Baba

“Serkan” ismi görece yeni bir isimdir. Bu yüzden Serkan’ın Sihirli Baklavası hikayesinin 2700 yıllık bir tarihinin olması sizi şaşırtabilir.

Medeniyetin beşiği Mardin’de dünyaya gelen Serkan’ın babası zamanının en ünlü baklava ustasıydı. Fakat Serkan’ın doğumundan hemen sonra büyük bir badire atlatmıştı: Yaptığı baklavadan sekiz kişinin zehirlenmesi, Serkan’ın babasının büyük bir travma yaşamasına neden olmuştu. Olaydan sonra sürekli zehirlenen insanları kabuslarında gören Serkan’ın babası, bir daha baklava yapmamaya yemin etmişti.

247505
MS. 2018 – Baklava ustası Nadir Güllü

Sihirli Baklavanın Doğuşu

Yıllar bu yeminle geçmişti. Kunduracılık yaparak ailesine yardımcı olan Serkan bir yandan da üniversite giriş sınavına hazırlanıyordu. Sınavdan bir hafta önce okuldaki rehber öğretmeni sınavda zihin açıklığı versin diye herkese olips şeker dağıtmıştı. Fakat Serkan çok sevdiği portakallı olips yerine naneli olips alabilmişti.

indir (4)

Portakallı olips alamamanın üzüntüsüyle eve dönen Serkan’a moral vermek isteyen babası ona bir sürpriz hazırlamıştı:

“Oğlum! Bir defaya mahsus yeminimi bozdum ve senin için sihirli bir baklava yaptım. Bu baklavayı yedikten sonra karşında hiç bir soru dayanamayacak ve Boğaziçi senin, Odtü benim, hangi üniversiteyi istersen ona gidebileceksin.

IMG_5708
Sihirli Baklava

Fakat sihirli baklavayı hak ettiğini bana ispat etmen gerekiyor. Bunun için sana bir bulmaca hazırladım.

  • Baklava dört kutunun birinde.
    madobak
  • Sınav gününe dek her gün kutulardan sadece birini seçme şansın var.
  • Her gün baklavayı başka bir kutuya koyacağım.
  • Baklavayı sadece bir önceki gün bulunduğu kutuya komşu kutulardan birine koyabilirim. Yani örneğin baklava 1 numaralı kutudaysa ertesi gün komşu olduğu tek kutu olan 2 numaraya geçebilir. Eğer 2 numaralı kutudaysa ertesi gün komşu olduğu 1 ya da 3 numaralı kutudan birine geçebilir.”
    maddo

Mitolojide bulunan en gerçekçi hikaye olan Serkan’ın sihirli baklavası, 2700 yıl sonra bile kulaktan kulağa aktarılmaya devam ediyor.

Sorular

  • Serkan’ın sihirli baklavasını nasıl bulabilirsiniz?
  • Baklavayı kesin olarak bulmak için bir yöntem üretebilir misiniz?
  • Bu yöntem kutu sayısı 5 olduğunda işe yarar mı? Peki ya n tane kutu olduğunda?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Oyun #3

Çikolata Kutusu

Yeni bir işe girişen arkadaşıma hayırlı olsun ziyaretine eli boş gitmemek için özenle aldığım fakat evde çay&kahve ile hunharca giriştiğim çikolata kutusundan geriye neler kalmış diye bakarken bir şey dikkatimi çekti: Neden aynı tip çikolatalar birbirlerine komşu değil?

IMG_5219

Komşu Olmanın Şartı

Aynı çikolatadan iki veya daha fazlası birbirlerine komşu olmaması aşağı-yukarı, sağ-sol ve çapraz kutularda bulunmamaları anlamına gelir.

çoko
Çikolatanın ikizi işaretli kutulara konulamaz.

Bu koşulu sağlayan kutulara “uygun çikolata yoğunluklu” diyelim. Ya da kısaca “U.Ç.Y.”

Soru 1: Elinizde dört farklı çikolata ve her çeşit çikolatadan yedişer tane olduğu bir durumda U.Ç.Y.’ye sahip olunabilir mi?

Soru 2: Kutunun U.Ç.Y. olması için en az kaç tane farklı çikolataya ihtiyaç vardır?

Soru 3: Eğer kutu aşağıdaki gibi iki satırlı olsaydı, U.Ç.Y. için en az kaç tane farklı çikolataya ihtiyaç gerekir?

IMG_5228

Soru 4: Elimizde dört farklı çikolata ve her çikolata çeşidinden dokuzar tane olsaydı, U.Ç.Y.’ye sahip bir kutu yapabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Oyun #2

Problem çözme becerisini (benim her ne kadar hoşuma gitseler de) yaş-havuz-işçi vb. problemlerle kazandırmaya çalışıyoruz. Bu anlayış maalesef öğrencilerin sadece sonuca odaklanmasına ve neredeyse hiç düşünmeden hareket etmesine yol açıyor. Bunu vurgulamaya devam edeceğim: Matematik öğrenmek için düşünmek farzdır.

Karşılaştığı 100 yaş probleminin tamamını çözen bir öğrenciyle ilgili kesin olarak bilinen iki şey vardır; bu öğrenci harikulade bir taklit refleksine ve aritmetik yapma kabiliyetine sahiptir.

Taklit etmek bir noktaya kadar büyük yarar sağlasa da, orijinal bir problemle karşılaşıldığında çözüm yolu üretmenize yardımcı olamaz.

Boşluk Yarışı

Strateji geliştirmek; problem çözme yetisini doğrudan olumlu bir şekilde etkiler. Bunun için en başta aritmetiği bir kenara bırakıp düşünmeyi ve strateji geliştirmeyi ön plana çıkaran sorularla uğraşmak gerekir.

Bu tür oyunların&soruların matematikle bir alakası yokmuş gibi görünse de aslında ilişki tahmin edemeyeceğiniz kadar yakındır. Bir matematik sorusunun cevabı gayet tabii ki bir paragraf olabilir.

Boşluk yarışı

İki kişilik bu oyun için kağıt ve kalemden başka bir şeye ihtiyacınız yok. Oyuncular en son iki kutu boş kalana dek sırayla X işareti koyar. İlk oyuncu sona kalan kareler yan yanaysa oyunu kazanır, değilse oyunu ikinci oyuncu kazanmış olur.

Oyunla ilgili düşünülecek çok şey var:

  • İlk başlayan olmak avantaj sağlar mı?
  • Kare sayısı önemli mi?
  • Sırayla bir yerine ikişer X koymak oyunu nasıl etkiler?
  • İlk oyuncunun kazanma şansını artırmak için izleyebileceği bir strateji var mıdır?
  • İkinci oyuncunun kazanma şansını artırmak için izleyebileceği bir strateji var mıdır?
  • Belli hamle sayısından sonra oyunu kimin kazanacağını tahmin etmek mümkün müdür?

Örnek

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Oyun #1

Sayı Çemberi

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Dünyanın birçok ülkesinde basamak sistemi, ya da diğer deyişle on tabanlı sayı sistemi, yukarıdaki sembollerle gösterilir. Bu, o kadar harika bir sistemdir ki, semboller değişse bile on rakamdan oluşan sayı sistemi dünyanın her yerinde aynıdır. Yani sistem uluslararasıdır.

On tabanlı sayı sisteminde sayıları yazmayı, onlarla işlem yapmayı bilmek her insanın vazifesidir. Çünkü sayıları ve onların ne ifade ettiğini anlamadan modern hayatta bir günü tamamlamak imkansızdır.

2125555555 size ne çağrıştırıyor?

Peki  ya 212 555 55 55?

Aynı şeyi yazarken sadece araya boşluklar koymak dahi bize çok başka bir anlam ifade ediyor. 2125555555 herhangi bir sayı olabilecekken, hemen herkes 212 555 55 55’i ilk görüşte bir telefon numarasına benzetir.

Hayatımız için bu kadar önemli bir yer teşkil eden sayıları daha iyi anlayabilmeleri için çocuklara bazı oyunlar oynatılabilir.

Sayı çemberi oyunu da bu amaçla yaratılmış bir oyundur. Bu oyunda gereken tek şey boş bir kağıt ve kalemdir.

Oyunun birçok farklı versiyonu yapılabilir.

Sayı Çemberi 1.0.0

  • Bir kağıda çember çizilir.
  • Çemberin üzerine 4 adet kutu yerleştirilir.
  • Bu kutuların içine 0, 1, 2, 3 rakamlarından biri oyuncu tarafından sırayla yazılır.
  • Amaç komşu olan kutulardaki rakamların farkının tek sayı olmasıdır.

Örnek

Sayı Çemberi 1.0.1

  • Bir çember üzerine yine 4 adet kutu çizilir.
  • Bu sefer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamları kutulara yazılacaktır.
  • Oyuncuya zorluk çıkarmak için başlangıçta rakamlardan ikisi kutulara yazılır.
  • Rakamların hepsini yazmak için toplam 10 adet kutuya ihtiyaç olduğundan, oyuncu ihtiyaç duyduğu yerde çembere yeni bir kutu ekleyebilir.
  • Amaç yine komşu kutuların farkının tek olmasıdır.

Örnek

4 ve 7 rakamları şekildeki gibi yerleştirilsin.

IMG_5152

Oyuncu bu durumda boş kutulara ne yazılırsa yazılsın kuralın bozulacağını fark eder. Eğer alttaki kutuya 5 rakamını yazsa, 5-4=1 tek olmasına rağmen 7-5=2 çift çıkar. Bunu engellemek için oyuncu kutu/kutular eklemek zorundadır. Oyuncunun stratejisi adım adım aşağıda gösterildiği şekilde ilerleyebilir.

Sayı Çemberi 2.0.0

Çember üzerinde 5 kutu varken 1, 3, 5, 8, 9 rakamları ile çember oluşturulabilir mi?

IMG_5176

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Sayı çemberi oyununun farklı versiyonlarına Sayı Çemberi 1.0.0, Sayı Çemberi 1.0.1  ve Sayı Çemberi 2.0.0 isimlerini vermiştim. Bu sayılar neyi ifade ediyor? Sayı Çemberi 2.0.1 nasıl olabilir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Bulmaca #2

Küçüklüğümde izlediğim filmlerden bir “en iyi 10” listesi yapsam Zor Ölüm (Die Hard) üçlemesindeki (dörtleme olduğunu biliyorum. Hatıralarımın bozulmasından korktuğum için 2007’de çıkan son filmi izlemedim.) filmlerin tamamı listeye girerdi.

Serinin üçüncü ve son (evet inat ediyorum) filminde çılgın Alman teröristimiz Simon Gruber, ana karakterlerimiz John McClane ve Zeus Carver’a bir bulmaca bırakmıştı. Film boyunca sosyopat teröristimiz Simon, McClane&Carver ikilisine acı çektirmeyi başarmıştı. İkilinin en zorda kaldığı anlardan biri olan bu bulmaca, tüm seride en sevdiğim sahnedir.

die-hard-vengeance-laptop

İlgili sahne için tıklayın… ya da önce soruyu kendiniz çözmeye çalışın, video bir yere kaçmıyor.

Simon diyor ki…

“Çantanın içinde zaman ayarlı bir bomba var. Bombayı durdurmak için tek şansınız 5 ve 3 litrelik su şişelerini kullanarak 4 litre su elde etmeniz. Eğer doldurduğunuz su tam 4 litre gelmezse çantadaki terazi bunu fark edecek ve geri sayım durmayacak.”

dayhard

Eğik Bilardo Masası

Bir önceki yazıda nokta ve çizgilerin bulmaca çözerken nasıl yardımcı olduğundan bahsetmiştim. Çok ilginç ama bu bulmacada da grafik çizerek hızlı bir şekilde sonuca ulaşılabiliyor. Önce uygulayacağımız yöntem için bazı kurallar koymamız gerekiyor.

Kurallar

  • Noktalar şişelerdeki su miktarını (litre bazında), çizgiler ise kazanılan&kaybedilen su miktarını göstersin.
  • Noktaları gösterirken sayı ikilileri kullanalım. İlk sayı 5 litrelik şişedeki miktarı, ikinci sayı 3 litrelik şişedeki miktarı ifade etsin.
  • Örneğin elimizdeki şişelerde hiç su olmaması (0,0) noktasıyla ifade edilir.
  • (1,2) noktası 5 litrelik şişede 1 litre, 3 litrelik şişede 2 litre su var anlamına gelir.

O halde grafiğimiz şu şekilde olur.

dayhard1

Sorunun Çözümü

Çizdiğim bu grafiğe eğik bilardo masası dememin bir nedeni var: Noktalar arası hareket tıpkı bir bilardo topunun masada yaptığı hareket gibidir. Bir yön seçeriz ve topu oraya doğru göndeririz. Doğal olarak top ancak masanın bir kenarına ulaştığında tam yansıma yaparak yoluna devam eder.

Örneğin (0,0) noktasından gidilebilecek iki yön vardır; (0,3) ya da (5,0). Biz topu (0,3) yönüne gönderirsek aradaki (0,1) ve (0,2) noktalarını geçmiş oluruz. Yansıma, doğrultu üzerindeki son nokta olan (0,3)’te gerçekleşir gelince ve top (3,3)’e doğru devam eder.

Çözüme başlarken önce 5 litrelik (bundan sonra büyük şişe diyelim) şişeyi dolduralım. Bu, (5,0) noktasından başlamak anlamına gelir. Büyük şişedeki suyun 3 litresini diğer şişeye dolduralım dersek, bu da topu (5,0) noktasından (2,3) noktası doğrultusuna doğru vurmak anlamına gelir.

dayhard2

Buradan itibaren top tam yansımayla (2,0) noktasına doğru gider.

(2,0) noktasına gelen top, (0,2)’ye doğru yansır. Oradan da (5,2) noktasına ilerler.

(5,2)’den yansıyan top, (4,3)’e doğru gider. Artık durabiliriz çünkü (4,3) noktası büyük şişede 4 litre su olduğunu ifade eder.

dayhard7

 

Yanda görülen yol, 4 litre suya ulaşmak için yapılması gerekenleri tek tek anlatır:

  • Büyük şişeyi doldur.
  • 3 litresini diğer şişeye boşalt.
  • Küçük şişeyi boşalt.
  • Büyük şişede kalan 2 litre suyu diğer şişeye dök.
  • 5 litrelik şişeyi doldur ve ondan küçük şişede kalan 1 litrelik boşluğa su dök.
  • Böylece büyük şişede 4, diğerinde 3 litre su kalmış olur.

 

Eğer John McClane ve Zeus Carver grafik çizmeyi bilseydi, bulmacayı çok daha kısa sürede çözerlerdi. Oturduğum yerden Zor Ölüm’deki ikiliyi eleştirmek kolay tabi ki. Çok iyi biliyorum ki gerçek bir bomba ile karşı karşıya kalan ben olsaydım, öbür dünyaya erken yaşta göç etmiştim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Simon diyor ki…

  1. “4 litreyi elde etmek için ikinci bir yol daha var mı?”
  2. “1 dakika içinde bu iki şişeyle 1 litre su elde etmenin iki farklı yolunu bulun.”
  3. “6 ve 15 litrelik şişelerle 5 litre su elde etmek mümkün müdür? Her iki ihtimali de ispatla.”

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

 

Matematik Atölyesi: Bulmaca #1

Nehir Geçme Bulmacası

Evine dönerken yanında bir kurt, bir keçi ve biraz da lahana bulunduran çiftçinin karşısına bir nehir çıkar. Nehrin kenarında gördüğü kayık çiftçinin her seferde kurt, keçi ya da lahanadan birini yanına almasına izin verecek büyüklüktedir.

Problem ise şudur: Eğer yalnız kalırlarsa kurt keçiyi, keçi ise lahanayı yiyecektir. Bu durumda çiftçi ne yapmalıdır? (Not: Nehrin karşısına yüzerek geçmek mümkün değildir.)

farmer-wolf-goat-cabbage

Cevap

keçiik

Bu üçlü arasında sadece kurt ile lahananın yalnız kalmasında sorun yoktur. O halde önce keçi karşıya geçilir.

lahank

Geri dönülür kurt veya lahanadan biri alınır. (Biz lahanayı aldığımızı düşünelim.) Lahana karşıya bırakılınca keçi ile yalnız kalmaması için keçi geri götürülür ve nehrin sol tarafına bırakılır.

kurtk

Bu sefer kurt kayığa alınır ve nehrin sağ tarafına götürülür. Böylece nehrin sağ tarafında kurt ile lahana kalmış olur ki bunda bir sorun yoktur.

hepsik

En son hamlede keçi karşıya geçirilir ve problem çözülmüş olur.

Bulmacada kurt yalnız kaldıklarında lahanayı da yiyor olsaydı, çözüm mümkün olmazdı. Fakat bunu anlayabilmek için tüm varyasyonları denememiz gerekecekti. Bu da boşa zaman ve enerji kaybı anlamına gelir. Yani bulmacada çözüme ulaşılmasına rağmen doğru bir yöntem bulmuş değiliz.

Peki bu tip bir soruyla uğraşırken işi kolaylaştıracak genel bir yöntem bulmak mümkün müdür?

Nehir Algoritması

Matematiğin görece yeni bir alanı olan çizge teorisinde bir cismin ne olduğu değil, nerede ve kimlerle bağlantılı olduğu önemlidir. Bu dalda noktalar cisimleri, çizgiler ise bağlantıları gösterir. O halde bulmacadaki keçi, kurt ve lahananın her birini nokta olarak gösterelim. Örneğin kurt yalnız kaldıkları takdirde keçiyi yediği için kurtla keçi arasında yeme ilişkisini ifade eden bir çizgi bulunsun.

Yani çizgilerle bağlanan noktalar bulmaca için tehlike arz eder. Çizilecek grafikte bir nokta ortadan kaybolduğunda, noktaya bağlı olan çizgiler de kaybolur.

bağlant

Bulmacaya göre her seferinde yanımıza üçlüden birini alabiliyoruz. Bunu yaparken hangisini seçeceğimize nokta-çizgi yöntemiyle şöyle karar veririz: Noktalardan hangisi kapatılırsa (o noktaya bağlı olan doğrular da kaybolacağı için) tüm grafikte çizgi kalmaz?

baglant

Eğer keçiyi gösteren nokta kapatılırsa, ona bağlı olan doğrular da yok sayılır. Geride sadece kurt ve lahanayı gösteren noktalar kaldığı için soruya buradan başlamak gerekir.

Yarattığımız algoritmanın bize söylediği başka bir şey daha var: Kayıkta en az silinen nokta sayısı kadar yer olmalıdır. Böylece çizilen grafik ne kadar karmaşık olursa olsun kayıkta yer durumuna bakarak sorunun çözümünün olup olmadığı hemen anlaşılabilir.

Peki nehir bulmacasındaki üçlüye bir de tavşan eklenirse ne olur?

İkinci Nehir Örneği

Diyelim ki çiftçinin yanındakiler kurt, keçi, lahana ve tavşan olsun. Yalnız kaldıkları takdirde keçi ve tavşanı kurt, lahanayı ise keçi ve tavşan yiyor. Bu durumda grafik şöyle olur:

dörtlü

Bulmacanın bir önceki versiyonunda sadece keçiyi gösteren noktayı kapamak grafikteki tüm çizgileri yok etmişti. Bu sefer dörtlünün her biri teker teker denenmesine rağmen hiçbir nokta tek başına grafikteki tüm çizgileri yok edemiyor.

  1. Tavşan noktası ve noktaya bağlı çizgiler kaldırılınca.
  2. Lahana noktası ve noktaya bağlı çizgiler kaldırılınca.
  3. Keçi noktası ve noktaya bağlı çizgiler kaldırılınca.
  4. Kurt noktası ve noktaya bağlı çizgiler kaldırılınca.

O halde iki noktayı kaldırmayı denemeliyiz. Örneğin;

dörtlü5

tavşan ve keçi noktaları ile noktalara bağlı çizgiler kaldırılınca grafik bu hale geliyor. Yani sonuca ulaşmak için ilk adımı başarıp kayıkta kaç kişilik yer olması gerektiğini bulduk: Kayıkta en az iki kişilik yer olunca bulmaca çözülebilir.

Başta basit bir bulmaca gibi görünen nehirden karşıya geçme sorusunu çizge teorisiyle birleştirince karşımıza önce grafikler çıktı. Bu grafikleri düşünerek bir algoritma yazdık ve karmaşık durumları hızlıca çözme yolunun nereden geçtiğini öğrenmiş olduk.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kurt-keçi-lahana-tavşan sorusunu çözün.
  2. Kurt-keçi-lahana-tavşan dörtlüsünün yanına havuç, kedi ve fare üçlüsünü ekleyelim. Havucu keçi, tavşan ve farenin, fareyi ise sadece kedinin yediğini varsayalım. Bu durumda her şeyi nehrin öteki tarafına geçirebilmek için kayığın boyutu en az kaç kişilik olmalıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu