Amatör Matematikçi

Pierre de Fermat

Doğum: 1601, Fransa

Ölüm: 1665, Fransa

17. yüzyılın ilk yarısında matematiği ileri götüren kişilerden bahsederken iki isim diğerlerinden ön plana çıkar: Rene Descartes ve Pierre de Fermat. İşin garibi, bu iki isim de kendilerini matematikçi olarak görmemiştir.

1631’den ölümüne dek devlet için çalışan bir hukukçu olan Pierre de Fermat, birçokları tarafından insanlık tarihinin en önemli amatör matematikçisi olarak adlandırılır.

Matematik Dünyasına Giriş

Matematikle ilgili çalışmalarına 1620’lerin sonlarında başlayan Fermat’ın hayatı boyunca yapmayı en çok sevdiği şeylerden biri kendi yarattığı inanılmaz zorluktaki sayı teorimi problemlerinin çözümlerini ispatlamaktı.

Pierre de Fermat, 26 Nisan 1636’da Mersenne’e* yazdığı bir mektupla matematik dünyasında tanınır hale gelmişti. Mektubunda Galile’nin serbest düşme deneyi ve Apollonios’un konikleri gibi konulardan bahseden Fermat, kısa süre sonra birçok matematikçiyle yazışmaya başlamıştı. (*Mersenne’den bir başka yazıda bahsedeceğim. )

Matematiksel fizik üzerine düşünceleriyle ünlenen Fermat, hemen her mektubunda konuyu bir şekilde asıl ilgi duyduğu konu olan sayı teorisine getirmeye çalışıyordu. Mektuplarında yarattığı ve çözdüğü problemleri matematikçilerin de çözmesini isteyen Fermat’a matematikçiler çok ilgi göstermemişti. Birçoğuna göre Fermat’ın soruları bilinen tekniklerle çözülemeyecek kadar zordu. Bu sorular o kadar zordu ki, bazı matematikçiler ona sinir olmaya başlamıştı. Örneğin, Frenicle de Bessy bir mektubunda Fermat’a öfke kusmuş ve onun kendisiyle alay ettiğini iddia etmişti.

Son Teorem

Fermat’ın günümüzde en bilinen çalışması, Fermat’ın Son Teoremi ismiyle bilinen bir teoridir. Fermat, kendini bir matematikçi olarak görmediği için hiçbir yayım yapmamıştı. Hatta yaptığı çalışmaların bir kısmını, okuduğu kitapların kenarlarında kalan boşluklara yazarak sürdürmüştü.

Kitap kenarlarındaki boşluklarda yazanlardan biri de Fermat’ın Son Teoremi* idi.

* Fermat’ın Son Teoremi

“x, y ve z sıfırdan farklı tam sayı olsun.
xn + yn = zn
denkleminin n’nin 2’den büyük olduğu durumlarda bir çözümü yoktur.”

Fermat, teoreminin yanına bir de not düşmüştü:

“Harikulade bir ispat buldum, ama bu boşlukta ispatı sığdıracak kadar yer yok.”

Fermat’ın son teoremi, 1994’te İngiliz bir matematikçi olan Andrew Wiles tarafından ispatlandı. Yani Fermat’ın ortaya atmasından yaklaşık 358 yıl sonra!

Dışlanış

Fermat, 1643 ile 1654 yılları arasında matematikçilerle bağlantısını kaybetmişti. Buna sebep olarak aynı yıllar arasında yaşanan veba salgını ve yaşadığı yerde meydana gelen iç savaş bir dizi yıkıcı olaydan bahsedilebilir. Ama, asıl nedenler arasında en önemlisi Descartes ile ters düşmesiydi.

Zamanın Fransa’sında Descartes’in bilim dünyasında büyük bir ağırlığı vardı. Fermat, onun en değer verdiği çalışması olan La Geometrie ile ilgili negatif bir yorum yaparak Descartes’i karşısına almıştı. Kısa süre sonra Fermat’ın (haksız bir şekilde) maksimum-minimum-teğet* çalışmalarında yanlışlar bulunduğu öne sürmüştü.

Fermat’ın çalışmasının doğru olduğu ortaya çıkmasına rağmen Descartes tartışmaya devam etmiş ve Fermat’ın matematik bilgisinin yetersiz olduğunu iddia etmişti.

* Maksimum-Minimum-Teğet

Üniversitede matematik dersi aldıysanız türev ve integral işlemlerini muhakkak duymuşsunuzdur. Bu iki işlemin ortaya çıkışında önemli rollerden biri 17.yüzyılda yaşayan bir Fransız hukukçuya aittir.

Basit bir örnek üzerinden Fermat’ın yöntemini size göstereceğim:

Diyelim ki, elimizde a uzunluğunda bir düz çizgi olsun:

Amacım, bu çizgi üzerinde bir nokta bulmak. Bu nokta çizgiyi öyle iki parçaya ayırmalı ki, parçaların uzunluklarının çarpımları en büyük (maksimum) olsun.

Diyelim ki parçaların uzunluklarından biri x olsun. O halde diğer parçanın uzunluğu a-x olur:

Cevap ise bu ikisinin çarpımıdır:

x . (a-x)

ax – x2

Peki bu x uzunluğunu nasıl bulabiliriz?

Bu noktada Fermat, harikulade bir yöntem keşfetmiştir. Fermat der ki, x uzunluğunu e kadar artıralım:

Fakat e, o kadar küçük olsun ki, biz onu sıfır olarak kabul edebilelim. Bir diğer deyişle e sayısı sonsuz küçüklükte olsun. Şimdi ax – x2 ifadesinde x gördüğümüz yere artık x+e yazabiliriz:

a(x+e) – (x+e)2

İfadeyi açalım:

ax + ea – x2 – 2xe – e2

Yani

ax – x2 = ax + ea – x2 – 2xe – e2

olur. Buradan da

ea = 2xe – e2

çıkar. Her ifadeyi e’ye bölersek geriye

a = 2x – e

sonucu kalır. Fermat bize en başta e’nin 0’a çok yakın olduğunu ve onu 0 kabul edebileceğimizi söylemişti. O halde

a = 2x

olur. Yani a çizgisi 2x uzunluktadır. O halde bu düz çizgi tam orta noktasından iki parçaya ayrılırsa, parçaların uzunlukları çarpımı maksimum olur.

Son Yılları

Descartes ile aralarında geçen olayın geride kalmasıyla birlikte Blaise Pascal ve Christiaan Huygens gibi önemli bilim insanlarıyla tekrar matematik yazışmalarına başlayan Fermat, bugün Pascal ile birlikte olasılık teorisinin kurucularından biri olarak anılır.

Fermat, sayı teorisinde zamanının çok ilerisindeydi. 17. yüzyılda neredeyse tek başına uğraş verdiği konular ölümünden çok sonra modern sayı teorisinde kendine yer bulmuştu. Tüm başarılarına rağmen bence Fermat’ı özetleyen unvan şudur: Tarihin en büyük amatör matematikçisi.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Yeni Garip Dünya

Janos Bolyai

Doğum: 1802 – Romanya

Ölüm: 1860 – Romanya

Transilvanya denilince bir çok kişinin aklına Kont Drakula’nın hikayesi gelir. Fakat benim için o bölgeyle özdeşleşmiş bir başka isim var: Janos Bolyai.

Suya Düşen Matematik Hayalleri

Macar matematikçi Farkas Bolyai’nin oğlu olan Janos Bolyai (bundan sonra Bolyai dediğimde oğuldan bahsetmiş olacağım) daha 5-6 yaşlarındayken büyük bir potansiyele sahip olduğunu göstermişti. Maddi olarak zorluklar yaşayan bir ailede büyüyen Bolyai’ye matematiği öğreten kişi babası Farkas idi. Bolyai, henüz 13 yaşındayken kalkülüs* konusuna hakim olmayı başarmıştı.

*Kalkülüs

Fonksiyon, limit, türev, integral, diziler, seriler vb. konuları içeren ve üniversitede ilk sene dersi olarak verilen matematik alt dalı.

1816’da oğlunun daha iyi bir eğitim almasını isteyen Farkas, eski arkadaşı ve matematik öğrendiği kişi olan Gauss*’dan oğlunu yanına almasını ve ona matematik öğretmesini istemişti fakat Gauss bunu reddetmişti. Bu, Bolyai’nin Gauss’dan aldığı en kötü haber olmayacaktı.

Gauss

*Gauss

Matematiğin prensi olarak da bilinen Alman matematikçi, astronom, fizikçi ve coğrafyacı.

Gauss’un yanına gidemeyince Bolyai için en iyi seçenek Viyana’da askeri mühendislik okuyup hayatını asker olarak sürdürmekti. Yedi yıllık okulu dört yılda bitiren Bolyai, 1823-34 yılları arasında orduda görev almıştı.

Yeni Bir Geometri

Farkas Bolyai, kariyerinin büyük bölümünü Öklid’in paralelliğini* ispatlamak için harcamış, fakat istediği sonuca bir türlü ulaşamamıştı. Küçüklüğünden itibaren babasının uğraşının farkında olan Bolyai de 1820’lerden itibaren bu konu üzerinde çalışmaya başlamıştı.

*Öklid’in paralelliği

Yunan matematikçi Öklid’in yazdığı Elementler isimli eserin ilk kitabında bulunan beşinci postulat. (Postulat: İspata gerek duyulmadan, doğruluğu kabul edilen.)

En basit haliyle: Birbirine paralel olan sonsuz iki doğru hiçbir zaman kesişmez.

Orduda görev yaptığı süre boyunca da her boş anını matematikle geçiren Bolyai, 3 Kasım 1823’de babasına yazdığı mektupta yeni bir geometri bulduğundan ilk kez bahsetmişti:

“…hiçlikten, yeni ve garip bir dünya yarattım.”

Bolyai bu mektuptan 1 yıl sonra Öklid-dışı geometri fikirlerini neredeyse tamamlamıştı. Farkas ilk başta oğlunun fikirlerine şüpheyle yaklaşmış olsa da 1830’da onun ne kadar büyük bir iş başardığını fark etmişti. Bu yüzden 1831’de basılacak kitabının giriş kısmında Bolyai’nin çalışmasına yer vermesini istemişti.

Farkas’ın kitabı Bolyai’nin 24 sayfalık ekiyle birlikte 20 Haziran 1831’de basılmıştı. Farkas, kitabını eski arkadaşı Gauss’a göndermiş ve oğlunun yazdığı bölümü okumasını ondan rica etmişti. Gauss, Bolyai’nin 24 sayfasını okuduktan sonra iki kişiye iki ayrı yorum yapmıştı…

Fikir

En basit haliyle Bolyai’nin geometrisi: Öklid’in beşinci postulatını yok say. Yani paralel doğruların da kesiştiği bir geometri hayal et.

Öklid geometrisine göre iki nokta arasındaki en kısa yol düz bir çizgi olurken, Bolyai’nin Öklid-dışı geometrisinde bu çizgi bir tür eğri olur. Konu hakkında daha fazlasını okumak için tıklayın.

Bolyai’nin fikri şöyle de açıklanabilir:

Öklid geometrisinde bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derece yapar. Fakat biz yuvarlak bir şekil üzerinde (örneğin Dünya üzerinde) bir üçgen çizdiğimizde, bu üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyük olabilir:

Bolyai’nin geometrisi (bugünkü adıyla hiperbolik veya Öklid-dışı geometri), yepyeni bir geometri idi.

Çöküş

Gauss, yakın bir arkadaşına “Genç geometrici Bolyai’yi birinci sınıf bir dahi olarak görüyorum.” demişti. Fakat, aynı zamanda Farkas’a yazdığı mektupta çok daha farklı bir tavır sergilemişti:

“…bu çalışmayı övmek bir bakıma kendimi övmek olur. Çünkü bu fikirlere 30-35 sene önce sahiptim.”

Bugün Gauss’un gerçekten Bolyai ile benzer fikirlere sahip olduğu 1824’te yazdığı bir mektup sayesinde biliniyor. Fakat bu, bahsettiği gibi 20li yaşlarında değil, 45 yaşından sonra fikirlerinin ortaya çıktığını gösteriyor. Gauss, özellikle bilim çevrelerinden alabileceği tepkilerden çekindiği için fikirlerini hiçbir zaman yayımlamamıştı.

Gauss’un çalışması hakkındaki yorumları, Bolyai’nin fikirlerinin matematik dünyasında fark edilmemesine yol açmıştı. Bolyai bu olaydan çok fazla etkilenmişti. Öyle ki zamanla sağlığı dahi kötüye gitmiş ve 1834’te ordu görevinden ayrılıp izole bir hayat sürmeye başlamıştı.

Paranoyalar

Bolyai, her şeye rağmen matematik üzerine çalışmayı sürdürüyordu. Fakat 1848’de eline geçen bir çalışma, neredeyse akıl sağlığını kaybetmesine neden olmuştu. Rus matematik Lobachevsky 1829’da yayımladığı çalışmasında Bolyai gibi Öklid-dışı bir geometriden bahsetmişti. Daha fenası, Gauss’un bu çalışmadan haberi vardı ve Lobachevsky’i övmüştü.

Bolyai, çalışmayı derinlemesine incelediği sırada aslında bunu yazan kişinin (yani Lobachevsky’nin) gerçek olmadığını, Gauss’un kendisiyle oyun oynadığını düşünüyordu. Çalışmalarının karşılığını bir türlü alamayan Bolyai, yavaş yavaş aklını kaybediyordu.

Hayatının son yıllarında matematik çalışmalarını durduran Bolyai, 1860’da yoksul bir şekilde hayatını kaybetmişti. Geriye 20.000 sayfaya varan matematik çalışması bırakmıştı. Bu çalışmalar halen Targu Mureş şehrindeki Bolyai-Teleki kütüphanesindedir.

Bugün Öklid-dışı geometrinin bir başka adı da Bolyai-Lobachevsky geometrisidir. Böylece Bolyai hak ettiği değeri öldükten sonra olsa da almıştır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Yedi Bilgenin Matematikçisi

Thales

Doğum: M.Ö. 624 (tahmini), Milet (Aydın’ın Didim ilçesi)

Ölüm: M. Ö. 547 (tahmini), Milet

Thales teoremi: Yarım çember üzerinde alınan bir noktadan, çemberin çapı hipotenüs olacak şekilde çizilen bir üçgende çember üzerindeki noktanın açısı 90 derecedir.

Lisede geometriden aşina olduğunuz bu teorem ile bilinen Thales, bir teoreme sığamayacak kadar büyük bir bilim insanıydı. İşin garibi, Thales’in bu teoremi büyük ihtimalle bulmamış olmasıdır. Peki, bilmemiz gereken Thales kimdir?

Thales, Yunanistan’ın yedi bilgesinden biri olmakla birlikte tarihte bilinen ilk doğal filozoftur.

Yunanistan’ın yedi bilgesi: Thales, Pittacus, Bias, Solon, Cleobulus, Myson ve Chilan’dan oluşan gruptur.

Doğal filozoftan kastedilen Thales’in birden çok bilim dalıyla (matematik, mühendislik ve astronomi ile) ilgilenmiş olmasıdır. Thales’in günümüze kalan yazılı herhangi bir çalışması yoktur. Onun hakkında bildiklerimiz ölümünden çok sonraları başkaları tarafından yazılmıştır. Bu da Thales ile ilgili bir dolu efsanenin ortaya çıkmasına neden olmuştur.

Söylentilere göre Thales, gençliğinde Mısır’ı ziyaret etmişti. Zamanın Mısır’ında geometri başta olmak üzere matematik ve mühendislik bilinen dünyanın zirvesindeydi. İşte Thales burada kendini matematik ve mühendislikte geliştirmiş ve beraberinde Yunanistan’a yeni geometri bilgileri götürmüştü. Yine söylentilere göre Thales Mısır’da bulunduğu sırada harikulade zekâsını kullanarak Piramitlerin boyunu, onların gölgesine bakarak hesaplamıştı.

Güneş ışınlarının yere 45 derecelik açıyla geldiği durumlarda herhangi bir cismin boyu, gölgesinin boyuna eşit olur. Thales’in kullandığı yöntemlerden birinin de bu olduğu iddia edilir.

Bir başka efsaneye göre astronomi çalışmaları da yapan Thales M.Ö. 585’te Güneş tutulması olacağını “tahmin etmişti”. Thales’in zamanında Ay tutulmasının zamanını doğru tahmin eden kişilerin olduğu bilinen bir gerçek. Ama Ay tutulması her yerden görünebilirken Güneş tutulmasının Dünya üzerinde sadece belli yerleri etkiliyor olması, olayın gerçekleşeceği tarih hakkında bir hesap yapmayı o zamanın astronomi ve matematik bilgisiyle neredeyse imkansız kılıyordu. Bugün bu olayın kesinliği üzerinde hâlâ soru işaretleri bulunmakla birlikte Thales’in büyük ihtimalle sadece bir tahmin yürüttüğü düşünülür.

Thales’in Güneş tutulmasının ne zaman olacağını bilecek (ya da tahmin edecek) kadar olağanüstü bir zekâya sahip olması bazılarına göre normal karşılanıyor. Sonuçta Thales Yunanistan’ın yedi bilgesinden biri olarak biliniyordu. Hatta Sokrates’in belirttiği üzere Thales bu prestijli grupta bulunan tek doğal filozoftu.

Kimi araştırmacılara göre Thales herşeyin sudan geldiğini düşünüyordu. Ona göre Dünya düz bir disk şeklindeydi ve sonsuz bir okyanusun üzerinde duruyordu. Meydana gelen depremler Dünya’nın bu okyanus üzerindeki hareketlerinden kaynaklıydı. Thales’in bu düşünceleri çok önemliydi, çünkü tarihte ilk defa dünyamız ve evren için doğaüstü hikayeler değil rasyonel sayılabilecek bir fikir ortaya konmuştu.