Sayılar #12

Subitizing/altlandırma: Küçük bir gruptaki obje sayısını saymadan bilme yeteneğidir.

(Subitizing: Türkçe karşılığı “ani” olan Latince’deki “subitus” kelimesinden türetilmiştir.)

Gündelik hayatta altlandırmayı kullandığımız birçok durum vardır. 6’lı pakette soda aldığımızı farz edelim. Soda şişelerini buzdolabına nasıl dizersek dizelim şişe sayısının 6 olduğunu biliriz. Aslında bu bilgiye soda şişelerini saymamıza gerek kalmadan ulaşırız. Eğer soğuyan sodalardan birini içmeye karar verirsek, geriye 5 adet soda kaldığını bilgisine de yine sodaları saymadan ulaşabiliriz.

Hangi zarın kaç olduğunu üzerindeki noktaları saymadan biliyorsunuz.

Altlandırma için bir başka örneği tavla oyunundan verebiliriz. Diyelim ki attığımız zarlar 2 ile 5 geldi. Bu bilgiye ulaşırken harcadığımız süre neredeyse saniyenin onda birleri kadardır. Hatta, gelen zarların kaç olduğuna karar verirken harcanan süre tavla oyununu oynadıkça kısalabilir. Yani altlandırma, zamanla ve üzerine çalışıldığında gelişebilen bir yetenektir.

Kimi bilim insanlarının araştırmalarına göre 6 aylık bebekler 1, 2 ve hatta 3 kavramına görsel(3 defa zıplayan top) ve işitsel(3 defa alkışlamak) olarak sahiptir. Bir diğer deyişle insan doğduktan sonra sayı kavramını hızla geliştirmeye başlar.

Kebab Truck ve Altlandırma

Kebab Truck oyununda altlandırma; gelen müşteri gruplarının sayısında gizlenmiştir. Oyun oynandıkça daha yüksek skorlara ulaşılır. Bunun nedeni zamanla altlandırmanın gelişiyor olmasıdır.

Kebab Truck’ta müşterilerin aşağıdaki gibi geldiğini düşünelim:

Oyunda tecrübe kazandıkça bu durumda yapacağınız hamle, oyuna acemi iken yapacağınız hamlelerden çok daha farklı olur. Bunun en önemli nedeni, zamanla altlandırma yeteneğinizin gelişmiş olmasıdır.

Kebab Truck oyununun geliştirdiği bir başka yetenek ise basit aritmetik becerileridir. Bu beceriler sadece müşteri sayılarını toplama ve çıkarma ile sınır değildir. Skor sisteminin nasıl formüle edildiği çözülünce (gelen müşteri gruplarından maksimum skoru elde edebilmek için) çarpma işleminin de oyunun bir parçası olduğu anlaşılır.

Matematik Atölyesi – Sayılar #11

Çok uzun yıllar önce Mezopotamya…

Yerleşik hayata geçen birkaç yüz kişilik bir topluluk Badaklar köyünde tarımla uğraşarak yaşamını sürdürüyordu. Badaklar çok çalışkan insanlardan oluşuyordu. Bu köyde yaşayanların en çok güvendikleri iki şey tarlaları ve sahip oldukları koyunlardı.

Badaklar köyünde pazartesi sendromu…

Badaklar’da bir sürü koyun vardı. Yünleri sayesinde kışın soğuktan korunur, sütleri ve etleri sayesinde de karınları doyardı. Bu yüzden Badaklar köyünde koyunlarla ilgilenecek kişinin hem güvenilir hem de bilge olması gerekirdi.

Köyün önde gelenlerinden olan Zaylin, koyunlardan sorumluydu.

Zaylin ve koyunları.

Zaylin’in görevi koyunları her gün doğumunda Badaklar köyünün yakınındaki harikulade tepelerde otlamaya çıkarıp, güneş batmadan önce onların sağ salim geri dönmelerini sağlamaktı.

Tanrım! Bu kadar mı koyunum vardı?!

Badaklar, yaşadıkları zaman için ileri bir topluluk olmasına rağmen insanlığın geri kalanı gibi henüz sayıları keşfetmemişti.

Bu noktada Zaylin için büyük bir sorun çıkıyordu: Her güne belli sayıda koyunla başlayan Zaylin, gün sonunda aynı sayıda koyunla köye dönüp dönmediğini nereden bilebilirdi? Yanlış anlamayın, Zaylin bilge biriydi. Fakat o da, yer yüzündeki herkes gibi saymayı bilmiyordu.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu noktada kendinizi Zaylin’in yerine koyun: Saymayı bilmediğiniz halde koyun kaybetmeden günü bitirdiğinizi nasıl bilebilirsiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Sayılar #10

Genç yaşta on tabanlı sistem, sayılar ve dört işlemle haşır neşir olmak için bir oyun:

Avrupa Şampiyonası

  • Oyun için gerekli olan materyaller 12 yüzlü zar, kağıt ve kalemden ibaret.
    IMG_6524
  • Oyun sürekli iki kişinin karşı karşıya gelmesiyle ilerler.
  • Oyuncular sırayla dörder defa 12 yüzlü zarı atar.
  • Gelen bir zarın rakam karşılığı şöyledir:
    20190129_135510
  • Oyuncular attıkları zarların karşılığı olan rakamlarla yazabilecekleri en büyük dört basamaklı sayıyı yazar.
  • Yazılan sayıların farkı sonucu belirler.

Puanlama

Büyük sayıyı yazan oyuncu:

  • Sayıların farkı dört basamaklı ise dört puan,
  • Sayıların farkı üç basamaklı ise üç puan,
  • Sayıların farkı iki basamaklı ise iki puan,
  • Sayıların farkı bir basamaklı ise bir puan

alır.

Eğer sayılar birbirine eşitse, her iki oyuncu da sıfır puan alır.

İki kişilik oyunda yedi puana ulaşan galip gelir.

Lig Düzeneği

Eğer ikiden fazla oyuncu varsa oyun lig usulü oynanabilir. Örneğin 20 kişilik bir sınıfta çekilişle 4’erli 5 grup ayarlanır. Gruplarda herkes birbiriyle birer maç yapar. Fakat bu maçlar ikili oyundaki gibi yedi puana ulaşana dek devam etmez; her maç tek denemeden sonra biter. Gruplarını ilk sırada bitirenlerden en yüksek puanı alan dördü yarı final ve final oynayarak şampiyonu belirler.

Dünya Kupası

İki oyuncu yine karşılıklı olarak 12 yüzlü zar atar. Fakat bu sefer zarları üçer defa atarlar.

Her oyuncu kendisine gelen üç sayıdan en büyük ve en küçük olanı birbirinden çıkarır.

Sonuç çiftse bu iki sayı çarpılır, tekse toplanır.

En büyük sayıya ulaşan oyuncu üç, diğeri sıfır puan alır..

Sayılar aynıysa her iki oyuncu da birer puan alır.

Avrupa şampiyonası oyununda olduğu gibi burada da oyun lig usulüne getirilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #6

Sokrates’in Dersi

Tarihin en önemli filozoflarından biri olarak görülen Platon’un matematiğe yaptığı katkılardan önceki yazılarda bahsetmiştim. Bu yazıda Platon’un MÖ 380’de yazdığı kitap olan Menon’u inceleyip irrasyonel sayıların varlığını başka bir yöntemle göstereceğim.

philosophydiscourse-cropped-425x259

Kitap, Menon’un Sokrates’e erdemin öğretilebilir olup olmadığını sormasıyla başlar ve sonuna dek bu ikisi arasındaki diyalogdan oluşur. Platon bu kitapta herhangi bir konuyu felsefi olarak nasıl ele almamız gerektiğini Sokrates’in ağzından anlatmaya çalışmış.

Bunu yaparken önemli bir matematik probleminden de bahsedilmiş. Şahsen kitabın özellikle bu bölümünün sadece öğrenciler değil, öğretmenlerce de okunması gerektiğini düşünüyorum.

Problem

Kitabın ortalarına doğru Sokrates Menon’un öğrencilerinden (öğrenciyi çocuk diye adlandıracağım) birine bazı sorular yöneltir. Sorular kare şeklinin neye benzediği, ne gibi özellikleri olduğu ve alanının nasıl bulunduğu üzerine başladıktan sonra sıra Sokrates’in asıl sormak istediğine gelir: Bir karenin alanının iki katı alana sahip karenin bir kenarının uzunluğu nedir?

Kareyi karelemek diye bilinen bu sorudan daha önce de bahsetmiştim. Sokrates sorusunda karenin bir kenar uzunluğunu 2 birim olarak belirler ve karenin alanının 4 olduğunu çocuğa buldurtur. Sonra bu karenin alanının iki katı alana sahip bir karenin var olup olmadığını sorar. Çocuk Sokrates’e böyle bir karenin var olduğunu ve alanının 8 birim kare olduğunu söyler.

Sokrates bu karenin bir kenar uzunluğunu sorduğundaysa çocuk alan hesabında olduğu gibi ilk karenin bir kenarı uzunluğunun iki katını alır ve 4 cevabını verir. Fakat Sokrates 4 birimlik bir karenin alanını sorduğunda çocuk 16 birim kare der ve yanlışını fark eder.

Klasik Yunan Matematiği

Sokrates 8 birim karelik alanı olan bir kareyi çizdirmek için çocuğa sorularına devam eder. Bunu yaparken soruları çocuğa bir şekil çizdirtir. Problemin başındaki 2 birimlik kareden önce bir tane çizdiren Sokrates, sonra bu karenin sağına ve altına aynı kareden koydurur. Şekildeki sağ alt kısmı da doldurtan Sokrates bu dört karenin her birinin 4 birim karelik alana sahip olduğunu çocuğa buldurtur.

Sokrates’in bir sonraki sorusu şudur: “Bir karede çapraz köşeleri birleştirmek, karenin alanını iki eşit parçaya bölmek demek değil midir?”

Çocuğun evet cevabından sonra şekildeki dört karenin de köşegenlerini çizdiren Sokrates, bulunan şeklin alanının kaç olduğunu sorar:

8 birim kare cevabını veren çocuk, 4 birim karelik karenin iki katı alana sahip kareyi elde etmiş olur.

Pisagor teoremine göre bu karenin bir uzunluğu aşağıdaki gibi irrasyoneldir:

karepis

Sonuç

Sokrates çocuğa irrasyonel bir uzunluğu çizdirmesine rağmen uzunluğun ne kadar olduğunu dert etmez. Çünkü antik Yunanistan’da sayılar uzunluklarla gösterilirdi ve uzunluk bilindiği sürece onun ne anlama geldiği önemsenmezdi. Bu sonuç klasik Yunan matematiğine verilebilecek en güzel örneklerden biridir.

Pisagor ve onun öğrencileri tüm sayıların rasyonel olduğunu iddia ederken Sokrates gibi Yunan filozoflar irrasyonel sayıların varlığını bu tip yollarla gösteriyordu.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #5

Eşkenar Üçgen ve İrrasyonel Sayı

Bir önceki yazıda kafes noktalar sisteminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgenin çizmenin mümkün olup olmadığını sormuştum. Bu soruya vereceğiniz cevabı ispatlamanızı istemiştim.

İspat

Elimizde aşağıdaki gibi kenarları ikişer birim olan bir eşkenar üçgen olsun:

akuie2

Üçgenin köşelerinin kafes noktalar olduğunu kabul edelim. Bu demektir ki eşkenar üçgenin kenarları ve alanı rasyoneldir. Neden?

Çünkü Pick’in teoremine göre kafes noktalar sistemindeki bir çokgenin alanıyla nokta sayısı arasında direk bir ilişki vardır. Nokta sayısı hiçbir zaman irrasyonel olamayacağına göre (√3 tane nokta olamaz, değil mi?!) bu sistemdeki çokgenlerin alanları da rasyonel olmak zorundadır.

Bir üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. O halde eşkenar üçgende tabana ait olan yükseliği indirelim ve üçgenin iç açılarını belirtelim:

euake3

Artık elimizde iki tane birbirine eş dik üçgen var. Bu dik üçgenlerin hipotenüsleri 2, tabanları 1 birimdir. Yüksekliği Pisagor teoreminden çıkarabiliriz:

h2 + 12 = 22

h2 = 4 – 1

h2 = 3

h = √3.

Yükseklik irrasyonel çıktığı için üçgenin alanı da irrasyonel olacaktır:

1/2(2*√3) = √3.

ÇELİŞKİ

Bu sonuç bir çelişkiyi gösterir. Çünkü Pick’in teoremine göre kafes noktalarda bulunan bir çokgenin alanı her zaman rasyonel olmalıdır. O halde bu eşkenar üçgen kafes noktalarda yer alamaz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Eşkenar üçgen dışında kafes noktalar sisteminde çizilemeyecek başka çokgenler bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #4

Kafes Noktalar

Kareli defterden bir sayfa hayal edin. Bu sayfada kenarları kaldırıp sadece köşeleri bırakalım. Yatay ve dikey yönde bulunan her iki nokta arasının tam olarak bir birim olduğunu varsaydığımızda elimizdeki şey noktalardan oluşan bir sisteme dönüşür. Bu sisteme kafes noktalar diyelim.

Kafes noktalar sistemindeki her nokta tam sayıdan oluşan bir sayı ikilisiyle ifade edilir:

latis3

Pick’in Teoremi: Çokgen alanı bulmak için alternatif bir yöntemdir.

Sistemdeki noktalar birleştirilerek çokgenler oluşturulabilir. Bu çokgenlerin alanlarını bulmak için Pick’in teoremi bize büyük kolaylık sağlar.

Teoreme göre çokgenin alanını bulabilmek için sadece iki bilgiye ihtiyacımız vardır: Çokgendeki kenarların üzerinde bulunan nokta sayısı ve eğer varsa çokgenin iç tarafında kalan nokta sayısı.

Kenarlardaki nokta sayısı k ile, iç tarafta kalan nokta sayısını ise i ile gösterirsek Pick’in teoremine göre çokgenin alanı şöyle bulunur:

Alan = i + (k/2) – 1

Örnek 1: Üçgen.

üçge

Eğer şekildeki gibi bir üçgene sahipsek, kenardaki nokta sayısı k=4 olur. Üçgenin iç kısmında hiç nokta olmadığı için i=0’dır. Pick’in formülünü uygularsak üçgenin alanını buluruz:

Alan = 0 + (4/2) – 1

= 0 + 2 – 1

= 1 birim kare.

Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Taban 1, yükseklik 2 birim olduğu için üçgenin alanı (2*1)/2 = 1 birim kare olur.

Örnek 2: Kare.

karre

Şekilde k=12, i=4’tür. O halde çokgenin alanı;

4 + (12/2) – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 birim kare.

Karenin alanı bir kenarının karesidir. Bir kenar 3 birim olduğu için karenin alanı 3*3 = 9 birim karedir.

Kare ve üçgen örneklerine bakınca teoremin gereksiz olduğunu düşünebilirsiniz. O halde gelin çokgenlerimizi biraz daha karmaşık şekilde çizelim.

Örnek 3: Çokgen.

3788_1

Şimdi Pick’in teoreminin gücünü görebiliriz. Eğer teoremi bilmiyorsak mecburen bu çokgeni başka çokgenlere parçalayıp onların alanlarını tek tek bulmamız gerekir. Fakat Pick’in teoremiyle sadece nokta sayarak alanı bulabiliriz.

Çokgende k=12, i=72 olduğuna göre alan:

Alan = 72 + (12/2) – 1 = 72 + 6 – 1 = 77 birim kare olur.

Eşkenar Üçgen

Şu ana dek yaptıklarımızın sayılar değil geometriyle ilişkisi olduğu görülüyor. Fakat tek bir soruyla bunu değiştireceğim.

Soru: Kafes noktalar düzleminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgen çizmek mümkün müdür?

Örneğin tabanı iki birim olan bir eşkenar üçgen çizmeye çalışalım:

ekui

Şekilde görüldüğü üzere bunu yaptığımda üçgenin iki köşesi noktalar üzerinde kalmasına rağmen üçüncü köşe boşluktadır.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki bunun çizilebilecek her eşkenar üçgen için böyle olup olmadığını ispatıyla açıklayabilir misiniz?

İspatı bir sonraki yazıda açıklayacağım.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Sayılar #9

Sihir

Matematiğin sayılar kısmında daha iyi olmak için kimine gereksiz görülen sorularla uğraşmak büyük fayda sağlar. Aslında bu tür soruların gereksiz diye tanımlanması kişinin sorudan korkmasından kaynaklanır.

Kişinin hissettiği şey bilmediğiniz bir sokak, cadde, şehir veya ülkede bulunmak gibidir. Konfor alanından uzaktır ve denemediği sürece kendi evi, sokağı, şehri, ülkesindeki kadar rahat hissedemeyecektir. Karşısına gelen bir soruyu gereksiz diye adlandırmak kişinin yaşadığı matematik korkusunun farklı bir şekilde dışa vurumudur.

O halde matematikte daha iyi olabilmek için şartlardan biri denemek/uğraşmaktır. Böylece kendi yönteminizi bulabilir, insanların şaşıracağı şeyleri başarabilirsiniz. Üzerinde durmam gereken bir nokta daha var: Eğer bir sihirbazın ne yaptığı çok açıksa o şovu bir daha kimse izlemek istemez. Sihir; başkaları yaptığınızı anlamadığında güzeldir.

Eşit Toplamlar

Elimizde 1 ile 50 arasında bulunan ve birbirinden farklı on sayı olsun. Bu sayıları beşerli öyle iki gruba ayıralım ki, grupların toplamı birbirine eşit olsun.

Örnek 1: Rastgele sayılarım: 2, 12, 23, 24, 30, 33, 39, 41, 44, 48.

Bu sayıları toplamları birbirine eşit olan iki gruba ayırmam lazım. Her grupta da beş sayı olmalı.

Kısa süre sonra bunu becerebildim. Evet bu rastgele sayılardan iki grup çıkardım ve bu grupların toplamları birbirine eşit oldu:

48+41+33+24+2 = 148 = 44+39+30+23+12

Belki de bu sayıları bilerek seçtiğimi düşündünüz. Bu yüzden arkadaşlarımdan 1-50 arasında on tane sayı seçip bana yazmalarını istedim.

Örnek 2: İlk arkadaşımdan gelen rastgele sayılar: 34, 21, 7, 42, 22, 33, 13, 27, 20, 19.

IMG_6607

Bu sayıları da iki eşit gruba ayırabildim. Sonuç aşağıdaki gibi oldu:

34+33+13+20+19 = 119 = 21+22+27+42+7

Örnek 3: Bir başka arkadaşımdan şu sayıları aldım:

3, 9, 13, 19, 21, 27, 36, 33, 39, 45.

IMG_6609

Örnek 4: Son örneğimi bir üniversite arkadaşımdan aldığım on sayı oluşturuyor:

7, 10, 11, 14, 21, 23, 30, 33, 43, 49.

IMG_6608

Henüz ilk bakışta üçüncü ve dördüncü örnekteki istenilenin yapılamayacağını anladım. Yani bu sayılar toplamları birbirine eşit olan beşerli iki gruba ayrılamaz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. İlk iki örneği nasıl yaptığımı bilerek açıklamadım. Sizce nasıl bir yöntem izlemiş olabilirim?
  2. Peki ama nasıl oldu da üçüncü ve dördüncü örnekteki sayılarla ilgili sonucumu sadece saniyeler içerisinde verebildim?

İpucu: Sayıların kaç tanesinin tek veya çift olduğuna dikkat edin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #3

Vaşak – Kar Ayakkabılı Tavşan Savaşı

Kuzey Amerika’da vaşakların temel besin kaynağı bu coğrafyaya özgü olan kar ayakkabılı tavşanlardır. İki yaşam türü arasında av-avcı ilişkisi varsa, o türlerin nüfusları arasında bir ilişki bulunur. Örneğin bir bölgede vaşak sayısı fazla ise vaşakların temel besin kaynağı oldukları için o bölgede kar ayakkabılı tavşan sayısının da (en azından bir zamanlar) fazla olması gerekir. Eğer aynı bölgede vaşak sayısı azalıyorsa bunun nedenlerinden birini bölgede bulunan kar ayakkabılı tavşan sayısının azlığına bağlamak mantıklıdır.

Vaşak ve kar ayakkabılı tavşan nüfusları arasında direk bir ilişki olup olmadığını araştıran bilim insanları harikulade sonuçlarla karşılaşmıştı:

  • Vaşak nüfusunun en yüksek olduğu durumda kar ayakkabılı tavşan nüfusu dibi görür.
  • Zamanla besin kaynağı azalan vaşak nüfusu da düşmeye başlar.
  • Vaşak nüfusunun azalması kar ayakkabılı tavşanların çoğalmasına yol açar.
  • Kar ayakkabılı tavşan nüfusu zirve noktasına ulaşıncaya dek artarken, vaşak nüfusu en düşük seviyesine dek ilerler.
  • Artık yeterince tavşan bulabilen vaşak nüfusu tekrar artmaya başladığında kar ayakkabılı tavşan nüfusu da azalma eğilimine geçer.

Figure_45_06_01
1845-1935 yılları arasında kar ayakkabılı tavşan (kırmızı) ve vaşak (mavi) nüfusu.

Bu bir döngüdür. Bilim insanlarının vardığı sonuca göre vaşak ve kar ayakkabılı tavşan sayılarının döngüsü 8 ile 11 yıl arasındadır. Bu ve benzeri döngüler çevrebilimin hala çözemediği sırlarla doludur. Av-avcı ilişkisinin yanı sıra çevrenin (sıcaklık, diğer yırtıcı hayvanlar vb.) etkisi olduğu bilinse de vaşak ve kar ayakkabılı tavşan döngülerinin neden tam olarak bu zaman aralığında gerçekleştiği sorusu henüz kesinkes cevaplanmış değil.

Periyodik Canlılar

Nüfusta yaşanan döngüler canlı türlerinin varlıklarını sürdürmeleri için çok önemlidir. Örneğin kimi canlı türleri fiziksel dezavantajlarını ortadan kaldırmak için evrilmiştir. Sadece belirli zaman aralıklarında ortaya çıkıp yeni yavrular üretirler. Yani periyodik şekilde avcılarıyla karşı karşıya gelirler. Gelin bu tür canlılara periyodik canlılar diyelim.

Diyelim ki A canlısı her 10 yılda bir çiftleşmek için ortaya çıkıyor olsun.

Soru: A’nın avcılarından olan periyodik B canlısı kaç yılda bir ortaya çıkarsa A’ya denk gelir?

A her 10 yılda bir ortaya çıkıyorsa, avcı 10’u kalansız bölen bir sayı kadar döngüye sahip olduğunda A ile aynı döneme denk gelir.

10 sayısını kalansız bölen sayılar 1, 2, 5 ve 10’dur.

  • Eğer avcı 1 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/1 = 10) onuncu döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 2 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/2 = 5) beşinci döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 5 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/5 = 2) ikinci döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 10 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/10 = 1) ilk döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.

A için kötü haberler burada bitmiyor. Bir canlının A ile aynı zamana denk gelmesi için illa 10’a tam bölünmesi gerekmez. 10 ile ortak kata sahip olması da yeterlidir. Örneğin 6 ile 10 yıllık döngüler (6 ile 10’a bölünen en küçük sayı 30’dur) 30 senede bir aynı döneme denk gelir.

Sonuçta 10 yıl, av olan A canlısının varoluşu için en uygun döngü değildir.

Peki doğada periyodik diyebileceğimiz canlılardan bulmak mümkün müdür?

Ağustos Böceği

Ağustos böceklerinin kimi türlerinin 7, 13 ve 17 yılda bir toprak üstüne çıkıp çiftleştiği bilinir. Yani bu tür ağustos böcekleri periyodik canlılardır. Döngüleri ise 7, 13 ve 17 yıldır.

indir (10)

7, 13 ve 17 özel sayılardır. Çünkü asaldırlar. Sadece kendilerine ve 1’e tam bölünürler.

Ağustos böceğinin döngüsünün bu asal sayılara nasıl evrildiğini bilmiyoruz. Fakat bildiğimiz bir şey var ki o da asal sayı döngülerinin varlıklarına yaptığı katkıdır.

Örnek: Periyodik bir canlının besin kaynaklarından biri 13 yıl döngülü ağustos böcekleri olsun. Eğer bu canlının kendi döngüsü 5 yıl ise ağustos böceğiyle karşılaşması ancak (13*5 = 65) 65 yılda bir olur. 13 asal bir sayı olduğu için herhangi bir canlının ağustos böceğiyle karşılaşması için 13’ün katlarından biri kadar yaşaması gerekir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #2

Eratosthenes Kalburu

Eratosthenes (kabul etmeliyim ki ismini her andığımda “tost” yapmak istiyorum) Dünya’nın çevresini ölçerken bir yandan da matematikle uğraşmıştı. Aslında antik Yunan bilim insanları matematiğin en köklü dalı olan sayı teorisiyle tahmin edildiğinden daha fazla uğraşmıştı. Örneğin geometri konularında sürekli adını zikrettiğim Öklid’in yazdığı Elementler aslında içerisinde sayı teorisiyle ilgili çok önemli bilgiler barındırır.

Eratosthenes, sanki yaptıkları yetmezmiş gibi, asal sayıları belirlemek için bir yöntem icat etmişti. Eratosthenes Kalburu ismi verilen bu yöntemi öğrenmek çok basittir. Fakat yöntem biraz ağır ilerler ve uygulaması sabır gerektirir.

IMG_6051

2’den 100’e kadar olan sayılardan hangilerinin asal olduğunu Eratosthenes’in yöntemiyle gösterelim. (Neden 1’i hesaba katmadığımız başka bir yazının konusu.)

Sayı listesinin en başından başlanır. 2, en küçük asal sayıdır. Yöntem şöyle ilerler:

  1. Bir asal sayı bulana dek listede ilerle.
  2. Bir asal sayıyla karşılaşınca dur ve onun karesini al.
  3. Listede asal sayının karesine git ve oradan itibaren asal sayının katı olan sayıları listeden ele.

2’den sonra gelen sayılardan 2’nin karesi 4 yapar. 4 sayısından başlayarak listede 2’nin katı olan tüm sayıları eliyorum. Geriye kalan liste şudur:

Şimdi sıradaki sayı 3. Bu da bir asal sayıdır. O halde 3’ün karesi olan 9’dan itibaren 3’ün katı olan diğer tüm sayılar listeden elenir.

Bir sonraki sayı olan 4 elenmiştir. (2’nin katı olduğu için) 4 atlanır ve elenmeyen sayılardan ilk gelene bakılır: 5. 5’in karesi 25’den itibaren 5’in katları listeden elenir.

Sonraki asal 7’dir. 7*7=49. O halde 49’dan itibaren 7’nin katları listeden elenir.

Bir sonraki asal sayı 11’dir. 11’in karesi 121 yapar ki bu sayı listenin dışında kalır. O halde listede elenmemiş olan sayıların hepsi asaldır.

IMG_6061

Olimpiyatlarda Yeni Bir Oyun: Çemberde Yürüyüş

Oyun 1:

  • Bir çember çizin ve çemberin üzerine eşit aralıklarla 8 tane nokta koyun.
  • Tepeden başlayarak noktalar arasında adım atacaksınız. Önce bir noktalık adımlarla başlayın. Yani her adımınız sizi komşu noktaya götürsün.
  • Bu yöntemle tüm noktalara uğramış oldunuz.

Oyun 2:

  • Çemberin üzerinde yine 8 nokta ile başlayın.
  • Bu sefer başlangıçtan itibaren birer nokta atlayarak yürüyün. Yanı adım büyüklüğünüz 2 olsun.
  • Bu yöntemle noktaların sadece yarısına ulaşılabildiğini görebilirsiniz.

Oyun 3-4-5-6-7:

Aynı çemberde adım sayısını sırayla 3, 4, 5, 6 ve 7 yapın.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kaç adımlık yürüyüşlerde tüm noktaları gezmiş oldunuz? Bu adım sayıları neye benziyor?
  2. Buradan genel bir kanıya varabilir misiniz?
  3. Nokta sayısını 9, 10, 11 yapınca karşınıza ne çıkıyor?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #1

Zamanı Bilmek

İnsanlar saati icat etmeden önce zamanı nasıl tutuyordu?

İlk akla gelen şey güneşin doğuş ve batışını ele almış olduklarıdır: Yani gün sayısı. Fakat özellikle tarım devriminden sonra yılın hangi zamanında havanın nasıl olduğunu bilme ihtiyacı gibi yeni ihtiyaçlar, insanları bir günden daha uzun süren döngü arayışına itti. Yine en yakın olay şey gökyüzündeydi: Ay’ın belli zamanlarda belli şekillere girdiğini fark eden insanlar bu döngünün 29 gün sürdüğünü hesaplamıştı.

Ayın-Evreleri-NelerdirNasıl-Oluşur

O halde 1 ay 29 gündü.

Üzerinde biraz düşünüldüğünde 29 sayısının farklı olduğu görülebilir. Örneğin 29’u tam sayı parçaları şeklinde yazmaya çalışalım:

1 tane 29. Bu tam sayıdır.

2 tane 14,5. Bu tam sayı değildir.

 

3 tane 9,666… Bu da tam sayı değil.

4, 5, 6, 7, … 28’e kadar olan sayılar 29’u tam sayı parçalarına ayıramaz.

IMG_6013

29’un içerisinde 29 tane 1 bulunur. O halde 29 sayısı sadece 1 ve 29 olarak parçalanabilir.

Bu tür sayılara “asal sayılar” denir. Bir diğer deyişle sadece kendisi ve 1’e kalansız bölünebilen sayılardır.

Bugün bir ay derken 30 günü düşünmemizin nedenlerinden biri 30’un 29’a göre çok daha kullanışlı bir sayı olmasıdır. Çünkü 30 asal bir sayı değildir. 2, 3, 5, 6(2*3), 10(2*5) ve 15(3*5)’e tam olarak bölünebilir.

Asal Sayılar ve Şifreleme

30’un bir başka özelliğiyse 2, 3 ve 5 sayılarının çarpımı olmasından gelir. Asal sayıların tanımı izlendiğinde bu üç sayının da asal olduğu görülebilir. O halde asal olmayan bir sayıyı o sayıdan küçük olan asalların çarpımı şeklinde yazabiliriz.

Hatta bunu bir adım ileri daha götürelim: Her sayının asal çarpanlar olarak sadece ama sadece bir tane gösterimi vardır. Ayrıca aynı asal çarpanlarla gösterilebilen farklı sayılar yoktur.

Sayılarda bulunan bu özellik günümüzde büyük bir öneme sahiptir. Diyelim ki internet bankacılığı şifresi belirleyeceğim. Banka şifre oluşturmam için sadece sayı kullanmama izin veriyor. Öyle bir sayı seçmek istiyorum ki, oluşturması ve hatırlaması çok kolay ama tahmin edilmesi çok zor olsun. İşte bu noktada bir sayının sadece bir tane asal çarpan gösterimi olması işime yarar.

Kapak Fonksiyonu: Basitçe bir sayıyı türlü işlemlerden geçirip başka bir sayıya çevirme işidir. Bu işlemleri yapmak kolaydır fakat işlemlerin tersi çok zor veya imkansızdır. Çevrimiçi bilgilerin korunmasında çok yararlı bir yöntem olan kapak fonksiyonu bunu asal sayıların gizemini kullanarak başarır.

Biri büyük (6 basamaklı mesela) iki farklı asal sayıyı alıp hesap makinesiyle çarpmam neredeyse birkaç saniyemi alır. Elde ettiğim sayı, yani şifrem, sadece seçtiğim iki asal sayının çarpımıyla bulunabilir.

IMG_6039
1115035’i yaratmak çok kolay: Asal sayı 223007 ile asal sayı 5’i çarp.

O halde banka hesabıma girmeye çalışan biri seçtiğim şifreye ulaşabilmek için kullandığım asal sayıları bilmek zorundadır ki bunu başarmak gerçekten çok uzun zaman alır.

Peki neden?

Çünkü halen günümüzde herhangi bir sayının asal olup olmadığını gösteren bir genel yöntem yoktur. Bu yüzden de bir bilgiyi gizlemek için asal sayıların çarpımını kullanmak çok etkili bir yöntemdir.

Şifreyi Çözün

Alfabe ve asal sayıların çarpımları birleştirilerek bir şifreleme sistemi kurdum. Bu sisteme göre alfabedeki her harf aşağıda gösterildiği gibi bir sayıya tekabül ediyor.

IMG_6009

Yöntem:

  • 1-20 arası iki asal sayıyı rastgele seçtim.
  • Bu sayıları çarptım.
  • Çıkan sonucu tüm harflere ekledim.
  • Örneğin çıkan sonuç 15 olursa A harfi 1+15=16 sayısına denk gelir. Alfabedeki 16. harf M olduğu için şifremin içinde yer alan M harfleri aslında A demektir.

O halde aşağıdaki şifrede hangi asal sayıların çarpımını kullandığımı ve şifrenin ne dediğini çözün:

HUP DFZF VTĞP Ş VTRR

M. Serkan Kalaycıoğlu