Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #3

Vaşak – Kar Ayakkabılı Tavşan Savaşı

Kuzey Amerika’da vaşakların temel besin kaynağı bu coğrafyaya özgü olan kar ayakkabılı tavşanlardır. İki yaşam türü arasında av-avcı ilişkisi varsa, o türlerin nüfusları arasında bir ilişki bulunur. Örneğin bir bölgede vaşak sayısı fazla ise vaşakların temel besin kaynağı oldukları için o bölgede kar ayakkabılı tavşan sayısının da (en azından bir zamanlar) fazla olması gerekir. Eğer aynı bölgede vaşak sayısı azalıyorsa bunun nedenlerinden birini bölgede bulunan kar ayakkabılı tavşan sayısının azlığına bağlamak mantıklıdır.

Vaşak ve kar ayakkabılı tavşan nüfusları arasında direk bir ilişki olup olmadığını araştıran bilim insanları harikulade sonuçlarla karşılaşmıştı:

  • Vaşak nüfusunun en yüksek olduğu durumda kar ayakkabılı tavşan nüfusu dibi görür.
  • Zamanla besin kaynağı azalan vaşak nüfusu da düşmeye başlar.
  • Vaşak nüfusunun azalması kar ayakkabılı tavşanların çoğalmasına yol açar.
  • Kar ayakkabılı tavşan nüfusu zirve noktasına ulaşıncaya dek artarken, vaşak nüfusu en düşük seviyesine dek ilerler.
  • Artık yeterince tavşan bulabilen vaşak nüfusu tekrar artmaya başladığında kar ayakkabılı tavşan nüfusu da azalma eğilimine geçer.
Figure_45_06_01
1845-1935 yılları arasında kar ayakkabılı tavşan (kırmızı) ve vaşak (mavi) nüfusu.

Bu bir döngüdür. Bilim insanlarının vardığı sonuca göre vaşak ve kar ayakkabılı tavşan sayılarının döngüsü 8 ile 11 yıl arasındadır. Bu ve benzeri döngüler çevrebilimin hala çözemediği sırlarla doludur. Av-avcı ilişkisinin yanı sıra çevrenin (sıcaklık, diğer yırtıcı hayvanlar vb.) etkisi olduğu bilinse de vaşak ve kar ayakkabılı tavşan döngülerinin neden tam olarak bu zaman aralığında gerçekleştiği sorusu henüz kesinkes cevaplanmış değil.

Periyodik Canlılar

Nüfusta yaşanan döngüler canlı türlerinin varlıklarını sürdürmeleri için çok önemlidir. Örneğin kimi canlı türleri fiziksel dezavantajlarını ortadan kaldırmak için evrilmiştir. Sadece belirli zaman aralıklarında ortaya çıkıp yeni yavrular üretirler. Yani periyodik şekilde avcılarıyla karşı karşıya gelirler. Gelin bu tür canlılara periyodik canlılar diyelim.

Diyelim ki A canlısı her 10 yılda bir çiftleşmek için ortaya çıkıyor olsun.

Soru: A’nın avcılarından olan periyodik B canlısı kaç yılda bir ortaya çıkarsa A’ya denk gelir?

A her 10 yılda bir ortaya çıkıyorsa, avcı 10’u kalansız bölen bir sayı kadar döngüye sahip olduğunda A ile aynı döneme denk gelir.

10 sayısını kalansız bölen sayılar 1, 2, 5 ve 10’dur.

  • Eğer avcı 1 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/1 = 10) onuncu döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 2 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/2 = 5) beşinci döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 5 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/5 = 2) ikinci döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 10 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/10 = 1) ilk döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.

A için kötü haberler burada bitmiyor. Bir canlının A ile aynı zamana denk gelmesi için illa 10’a tam bölünmesi gerekmez. 10 ile ortak kata sahip olması da yeterlidir. Örneğin 6 ile 10 yıllık döngüler (6 ile 10’a bölünen en küçük sayı 30’dur) 30 senede bir aynı döneme denk gelir.

Sonuçta 10 yıl, av olan A canlısının varoluşu için en uygun döngü değildir.

Peki doğada periyodik diyebileceğimiz canlılardan bulmak mümkün müdür?

Ağustos Böceği

Ağustos böceklerinin kimi türlerinin 7, 13 ve 17 yılda bir toprak üstüne çıkıp çiftleştiği bilinir. Yani bu tür ağustos böcekleri periyodik canlılardır. Döngüleri ise 7, 13 ve 17 yıldır.

indir (10)

7, 13 ve 17 özel sayılardır. Çünkü asaldırlar. Sadece kendilerine ve 1’e tam bölünürler.

Ağustos böceğinin döngüsünün bu asal sayılara nasıl evrildiğini bilmiyoruz. Fakat bildiğimiz bir şey var ki o da asal sayı döngülerinin varlıklarına yaptığı katkıdır.

Örnek: Periyodik bir canlının besin kaynaklarından biri 13 yıl döngülü ağustos böcekleri olsun. Eğer bu canlının kendi döngüsü 5 yıl ise ağustos böceğiyle karşılaşması ancak (13*5 = 65) 65 yılda bir olur. 13 asal bir sayı olduğu için herhangi bir canlının ağustos böceğiyle karşılaşması için 13’ün katlarından biri kadar yaşaması gerekir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #2

Eratosthenes Kalburu

Eratosthenes (kabul etmeliyim ki ismini her andığımda “tost” yapmak istiyorum) Dünya’nın çevresini ölçerken bir yandan da matematikle uğraşmıştı. Aslında antik Yunan bilim insanları matematiğin en köklü dalı olan sayı teorisiyle tahmin edildiğinden daha fazla uğraşmıştı. Örneğin geometri konularında sürekli adını zikrettiğim Öklid’in yazdığı Elementler aslında içerisinde sayı teorisiyle ilgili çok önemli bilgiler barındırır.

Eratosthenes, sanki yaptıkları yetmezmiş gibi, asal sayıları belirlemek için bir yöntem icat etmişti. Eratosthenes Kalburu ismi verilen bu yöntemi öğrenmek çok basittir. Fakat yöntem biraz ağır ilerler ve uygulaması sabır gerektirir.

IMG_6051

2’den 100’e kadar olan sayılardan hangilerinin asal olduğunu Eratosthenes’in yöntemiyle gösterelim. (Neden 1’i hesaba katmadığımız başka bir yazının konusu.)

Sayı listesinin en başından başlanır. 2, en küçük asal sayıdır. Yöntem şöyle ilerler:

  1. Bir asal sayı bulana dek listede ilerle.
  2. Bir asal sayıyla karşılaşınca dur ve onun karesini al.
  3. Listede asal sayının karesine git ve oradan itibaren asal sayının katı olan sayıları listeden ele.

2’den sonra gelen sayılardan 2’nin karesi 4 yapar. 4 sayısından başlayarak listede 2’nin katı olan tüm sayıları eliyorum. Geriye kalan liste şudur:

Şimdi sıradaki sayı 3. Bu da bir asal sayıdır. O halde 3’ün karesi olan 9’dan itibaren 3’ün katı olan diğer tüm sayılar listeden elenir.

Bir sonraki sayı olan 4 elenmiştir. (2’nin katı olduğu için) 4 atlanır ve elenmeyen sayılardan ilk gelene bakılır: 5. 5’in karesi 25’den itibaren 5’in katları listeden elenir.

Sonraki asal 7’dir. 7*7=49. O halde 49’dan itibaren 7’nin katları listeden elenir.

Bir sonraki asal sayı 11’dir. 11’in karesi 121 yapar ki bu sayı listenin dışında kalır. O halde listede elenmemiş olan sayıların hepsi asaldır.

IMG_6061

Olimpiyatlarda Yeni Bir Oyun: Çemberde Yürüyüş

Oyun 1:

  • Bir çember çizin ve çemberin üzerine eşit aralıklarla 8 tane nokta koyun.
  • Tepeden başlayarak noktalar arasında adım atacaksınız. Önce bir noktalık adımlarla başlayın. Yani her adımınız sizi komşu noktaya götürsün.
  • Bu yöntemle tüm noktalara uğramış oldunuz.

Oyun 2:

  • Çemberin üzerinde yine 8 nokta ile başlayın.
  • Bu sefer başlangıçtan itibaren birer nokta atlayarak yürüyün. Yanı adım büyüklüğünüz 2 olsun.
  • Bu yöntemle noktaların sadece yarısına ulaşılabildiğini görebilirsiniz.

Oyun 3-4-5-6-7:

Aynı çemberde adım sayısını sırayla 3, 4, 5, 6 ve 7 yapın.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kaç adımlık yürüyüşlerde tüm noktaları gezmiş oldunuz? Bu adım sayıları neye benziyor?
  2. Buradan genel bir kanıya varabilir misiniz?
  3. Nokta sayısını 9, 10, 11 yapınca karşınıza ne çıkıyor?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #1

Zamanı Bilmek

İnsanlar saati icat etmeden önce zamanı nasıl tutuyordu?

İlk akla gelen şey güneşin doğuş ve batışını ele almış olduklarıdır: Yani gün sayısı. Fakat özellikle tarım devriminden sonra yılın hangi zamanında havanın nasıl olduğunu bilme ihtiyacı gibi yeni ihtiyaçlar, insanları bir günden daha uzun süren döngü arayışına itti. Yine en yakın olay şey gökyüzündeydi: Ay’ın belli zamanlarda belli şekillere girdiğini fark eden insanlar bu döngünün 29 gün sürdüğünü hesaplamıştı.

Ayın-Evreleri-NelerdirNasıl-Oluşur

O halde 1 ay 29 gündü.

Üzerinde biraz düşünüldüğünde 29 sayısının farklı olduğu görülebilir. Örneğin 29’u tam sayı parçaları şeklinde yazmaya çalışalım:

1 tane 29. Bu tam sayıdır.

2 tane 14,5. Bu tam sayı değildir.

 

3 tane 9,666… Bu da tam sayı değil.

4, 5, 6, 7, … 28’e kadar olan sayılar 29’u tam sayı parçalarına ayıramaz.

IMG_6013

29’un içerisinde 29 tane 1 bulunur. O halde 29 sayısı sadece 1 ve 29 olarak parçalanabilir.

Bu tür sayılara “asal sayılar” denir. Bir diğer deyişle sadece kendisi ve 1’e kalansız bölünebilen sayılardır.

Bugün bir ay derken 30 günü düşünmemizin nedenlerinden biri 30’un 29’a göre çok daha kullanışlı bir sayı olmasıdır. Çünkü 30 asal bir sayı değildir. 2, 3, 5, 6(2*3), 10(2*5) ve 15(3*5)’e tam olarak bölünebilir.

Asal Sayılar ve Şifreleme

30’un bir başka özelliğiyse 2, 3 ve 5 sayılarının çarpımı olmasından gelir. Asal sayıların tanımı izlendiğinde bu üç sayının da asal olduğu görülebilir. O halde asal olmayan bir sayıyı o sayıdan küçük olan asalların çarpımı şeklinde yazabiliriz.

Hatta bunu bir adım ileri daha götürelim: Her sayının asal çarpanlar olarak sadece ama sadece bir tane gösterimi vardır. Ayrıca aynı asal çarpanlarla gösterilebilen farklı sayılar yoktur.

Sayılarda bulunan bu özellik günümüzde büyük bir öneme sahiptir. Diyelim ki internet bankacılığı şifresi belirleyeceğim. Banka şifre oluşturmam için sadece sayı kullanmama izin veriyor. Öyle bir sayı seçmek istiyorum ki, oluşturması ve hatırlaması çok kolay ama tahmin edilmesi çok zor olsun. İşte bu noktada bir sayının sadece bir tane asal çarpan gösterimi olması işime yarar.

Kapak Fonksiyonu: Basitçe bir sayıyı türlü işlemlerden geçirip başka bir sayıya çevirme işidir. Bu işlemleri yapmak kolaydır fakat işlemlerin tersi çok zor veya imkansızdır. Çevrimiçi bilgilerin korunmasında çok yararlı bir yöntem olan kapak fonksiyonu bunu asal sayıların gizemini kullanarak başarır.

Biri büyük (6 basamaklı mesela) iki farklı asal sayıyı alıp hesap makinesiyle çarpmam neredeyse birkaç saniyemi alır. Elde ettiğim sayı, yani şifrem, sadece seçtiğim iki asal sayının çarpımıyla bulunabilir.

IMG_6039
1115035’i yaratmak çok kolay: Asal sayı 223007 ile asal sayı 5’i çarp.

O halde banka hesabıma girmeye çalışan biri seçtiğim şifreye ulaşabilmek için kullandığım asal sayıları bilmek zorundadır ki bunu başarmak gerçekten çok uzun zaman alır.

Peki neden?

Çünkü halen günümüzde herhangi bir sayının asal olup olmadığını gösteren bir genel yöntem yoktur. Bu yüzden de bir bilgiyi gizlemek için asal sayıların çarpımını kullanmak çok etkili bir yöntemdir.

Şifreyi Çözün

Alfabe ve asal sayıların çarpımları birleştirilerek bir şifreleme sistemi kurdum. Bu sisteme göre alfabedeki her harf aşağıda gösterildiği gibi bir sayıya tekabül ediyor.

IMG_6009

Yöntem:

  • 1-20 arası iki asal sayıyı rastgele seçtim.
  • Bu sayıları çarptım.
  • Çıkan sonucu tüm harflere ekledim.
  • Örneğin çıkan sonuç 15 olursa A harfi 1+15=16 sayısına denk gelir. Alfabedeki 16. harf M olduğu için şifremin içinde yer alan M harfleri aslında A demektir.

O halde aşağıdaki şifrede hangi asal sayıların çarpımını kullandığımı ve şifrenin ne dediğini çözün:

HUP DFZF VTĞP Ş VTRR

M. Serkan Kalaycıoğlu