Sayılar #12

Subitizing/altlandırma: Küçük bir gruptaki obje sayısını saymadan bilme yeteneğidir.

(Subitizing: Türkçe karşılığı “ani” olan Latince’deki “subitus” kelimesinden türetilmiştir.)

Gündelik hayatta altlandırmayı kullandığımız birçok durum vardır. 6’lı pakette soda aldığımızı farz edelim. Soda şişelerini buzdolabına nasıl dizersek dizelim şişe sayısının 6 olduğunu biliriz. Aslında bu bilgiye soda şişelerini saymamıza gerek kalmadan ulaşırız. Eğer soğuyan sodalardan birini içmeye karar verirsek, geriye 5 adet soda kaldığını bilgisine de yine sodaları saymadan ulaşabiliriz.

Hangi zarın kaç olduğunu üzerindeki noktaları saymadan biliyorsunuz.

Altlandırma için bir başka örneği tavla oyunundan verebiliriz. Diyelim ki attığımız zarlar 2 ile 5 geldi. Bu bilgiye ulaşırken harcadığımız süre neredeyse saniyenin onda birleri kadardır. Hatta, gelen zarların kaç olduğuna karar verirken harcanan süre tavla oyununu oynadıkça kısalabilir. Yani altlandırma, zamanla ve üzerine çalışıldığında gelişebilen bir yetenektir.

Kimi bilim insanlarının araştırmalarına göre 6 aylık bebekler 1, 2 ve hatta 3 kavramına görsel(3 defa zıplayan top) ve işitsel(3 defa alkışlamak) olarak sahiptir. Bir diğer deyişle insan doğduktan sonra sayı kavramını hızla geliştirmeye başlar.

Kebab Truck ve Altlandırma

Kebab Truck oyununda altlandırma; gelen müşteri gruplarının sayısında gizlenmiştir. Oyun oynandıkça daha yüksek skorlara ulaşılır. Bunun nedeni zamanla altlandırmanın gelişiyor olmasıdır.

Kebab Truck’ta müşterilerin aşağıdaki gibi geldiğini düşünelim:

Oyunda tecrübe kazandıkça bu durumda yapacağınız hamle, oyuna acemi iken yapacağınız hamlelerden çok daha farklı olur. Bunun en önemli nedeni, zamanla altlandırma yeteneğinizin gelişmiş olmasıdır.

Kebab Truck oyununun geliştirdiği bir başka yetenek ise basit aritmetik becerileridir. Bu beceriler sadece müşteri sayılarını toplama ve çıkarma ile sınır değildir. Skor sisteminin nasıl formüle edildiği çözülünce (gelen müşteri gruplarından maksimum skoru elde edebilmek için) çarpma işleminin de oyunun bir parçası olduğu anlaşılır.

Matematik Atölyesi – Sayılar #11

Çok uzun yıllar önce Mezopotamya…

Yerleşik hayata geçen birkaç yüz kişilik bir topluluk Badaklar köyünde tarımla uğraşarak yaşamını sürdürüyordu. Badaklar çok çalışkan insanlardan oluşuyordu. Bu köyde yaşayanların en çok güvendikleri iki şey tarlaları ve sahip oldukları koyunlardı.

Badaklar köyünde pazartesi sendromu…

Badaklar’da bir sürü koyun vardı. Yünleri sayesinde kışın soğuktan korunur, sütleri ve etleri sayesinde de karınları doyardı. Bu yüzden Badaklar köyünde koyunlarla ilgilenecek kişinin hem güvenilir hem de bilge olması gerekirdi.

Köyün önde gelenlerinden olan Zaylin, koyunlardan sorumluydu.

Zaylin ve koyunları.

Zaylin’in görevi koyunları her gün doğumunda Badaklar köyünün yakınındaki harikulade tepelerde otlamaya çıkarıp, güneş batmadan önce onların sağ salim geri dönmelerini sağlamaktı.

Tanrım! Bu kadar mı koyunum vardı?!

Badaklar, yaşadıkları zaman için ileri bir topluluk olmasına rağmen insanlığın geri kalanı gibi henüz sayıları keşfetmemişti.

Bu noktada Zaylin için büyük bir sorun çıkıyordu: Her güne belli sayıda koyunla başlayan Zaylin, gün sonunda aynı sayıda koyunla köye dönüp dönmediğini nereden bilebilirdi? Yanlış anlamayın, Zaylin bilge biriydi. Fakat o da, yer yüzündeki herkes gibi saymayı bilmiyordu.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu noktada kendinizi Zaylin’in yerine koyun: Saymayı bilmediğiniz halde koyun kaybetmeden günü bitirdiğinizi nasıl bilebilirsiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Sayılar #10

Genç yaşta on tabanlı sistem, sayılar ve dört işlemle haşır neşir olmak için bir oyun:

Avrupa Şampiyonası

  • Oyun için gerekli olan materyaller 12 yüzlü zar, kağıt ve kalemden ibaret.
    IMG_6524
  • Oyun sürekli iki kişinin karşı karşıya gelmesiyle ilerler.
  • Oyuncular sırayla dörder defa 12 yüzlü zarı atar.
  • Gelen bir zarın rakam karşılığı şöyledir:
    20190129_135510
  • Oyuncular attıkları zarların karşılığı olan rakamlarla yazabilecekleri en büyük dört basamaklı sayıyı yazar.
  • Yazılan sayıların farkı sonucu belirler.

Puanlama

Büyük sayıyı yazan oyuncu:

  • Sayıların farkı dört basamaklı ise dört puan,
  • Sayıların farkı üç basamaklı ise üç puan,
  • Sayıların farkı iki basamaklı ise iki puan,
  • Sayıların farkı bir basamaklı ise bir puan

alır.

Eğer sayılar birbirine eşitse, her iki oyuncu da sıfır puan alır.

İki kişilik oyunda yedi puana ulaşan galip gelir.

Lig Düzeneği

Eğer ikiden fazla oyuncu varsa oyun lig usulü oynanabilir. Örneğin 20 kişilik bir sınıfta çekilişle 4’erli 5 grup ayarlanır. Gruplarda herkes birbiriyle birer maç yapar. Fakat bu maçlar ikili oyundaki gibi yedi puana ulaşana dek devam etmez; her maç tek denemeden sonra biter. Gruplarını ilk sırada bitirenlerden en yüksek puanı alan dördü yarı final ve final oynayarak şampiyonu belirler.

Dünya Kupası

İki oyuncu yine karşılıklı olarak 12 yüzlü zar atar. Fakat bu sefer zarları üçer defa atarlar.

Her oyuncu kendisine gelen üç sayıdan en büyük ve en küçük olanı birbirinden çıkarır.

Sonuç çiftse bu iki sayı çarpılır, tekse toplanır.

En büyük sayıya ulaşan oyuncu üç, diğeri sıfır puan alır..

Sayılar aynıysa her iki oyuncu da birer puan alır.

Avrupa şampiyonası oyununda olduğu gibi burada da oyun lig usulüne getirilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Sayılar #9

Sihir

Matematiğin sayılar kısmında daha iyi olmak için kimine gereksiz görülen sorularla uğraşmak büyük fayda sağlar. Aslında bu tür soruların gereksiz diye tanımlanması kişinin sorudan korkmasından kaynaklanır.

Kişinin hissettiği şey bilmediğiniz bir sokak, cadde, şehir veya ülkede bulunmak gibidir. Konfor alanından uzaktır ve denemediği sürece kendi evi, sokağı, şehri, ülkesindeki kadar rahat hissedemeyecektir. Karşısına gelen bir soruyu gereksiz diye adlandırmak kişinin yaşadığı matematik korkusunun farklı bir şekilde dışa vurumudur.

O halde matematikte daha iyi olabilmek için şartlardan biri denemek/uğraşmaktır. Böylece kendi yönteminizi bulabilir, insanların şaşıracağı şeyleri başarabilirsiniz. Üzerinde durmam gereken bir nokta daha var: Eğer bir sihirbazın ne yaptığı çok açıksa o şovu bir daha kimse izlemek istemez. Sihir; başkaları yaptığınızı anlamadığında güzeldir.

Eşit Toplamlar

Elimizde 1 ile 50 arasında bulunan ve birbirinden farklı on sayı olsun. Bu sayıları beşerli öyle iki gruba ayıralım ki, grupların toplamı birbirine eşit olsun.

Örnek 1: Rastgele sayılarım: 2, 12, 23, 24, 30, 33, 39, 41, 44, 48.

Bu sayıları toplamları birbirine eşit olan iki gruba ayırmam lazım. Her grupta da beş sayı olmalı.

Kısa süre sonra bunu becerebildim. Evet bu rastgele sayılardan iki grup çıkardım ve bu grupların toplamları birbirine eşit oldu:

48+41+33+24+2 = 148 = 44+39+30+23+12

Belki de bu sayıları bilerek seçtiğimi düşündünüz. Bu yüzden arkadaşlarımdan 1-50 arasında on tane sayı seçip bana yazmalarını istedim.

Örnek 2: İlk arkadaşımdan gelen rastgele sayılar: 34, 21, 7, 42, 22, 33, 13, 27, 20, 19.

IMG_6607

Bu sayıları da iki eşit gruba ayırabildim. Sonuç aşağıdaki gibi oldu:

34+33+13+20+19 = 119 = 21+22+27+42+7

Örnek 3: Bir başka arkadaşımdan şu sayıları aldım:

3, 9, 13, 19, 21, 27, 36, 33, 39, 45.

IMG_6609

Örnek 4: Son örneğimi bir üniversite arkadaşımdan aldığım on sayı oluşturuyor:

7, 10, 11, 14, 21, 23, 30, 33, 43, 49.

IMG_6608

Henüz ilk bakışta üçüncü ve dördüncü örnekteki istenilenin yapılamayacağını anladım. Yani bu sayılar toplamları birbirine eşit olan beşerli iki gruba ayrılamaz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. İlk iki örneği nasıl yaptığımı bilerek açıklamadım. Sizce nasıl bir yöntem izlemiş olabilirim?
  2. Peki ama nasıl oldu da üçüncü ve dördüncü örnekteki sayılarla ilgili sonucumu sadece saniyeler içerisinde verebildim?

İpucu: Sayıların kaç tanesinin tek veya çift olduğuna dikkat edin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Sayılar #8

Noktalı X-O-X

İki oyuncu karşılıklı x-o-x oyununun biraz farklı bir versiyonunu oynar.

Kurallar:

  • Oyuncular sırayla zar atar.
  • Boşluklara atılan zarda gelen sayı kadar nokta konulur.
  • Her boşluğun kapasitesi 9’dur.
  • Konulacak nokta sayısı kapasiteyi aşamaz. Bu durumda başka bir kareye oynanmalıdır.
  • Amaç yukarıdan aşağı, sağdan sola veya diyagonal bir şekilde üç kareyi doldurmaktır.

IMG_5600

Oyunun güzelliği karşınızdaki oyunucunun hem rakibiniz hem de yardımcınız olmasıdır.

Örnek Oyun

Sırasıyla ilk üç zardan 5, 6 ve 3 geliyor:

Dördüncü zar 1 geliyor ve ilk kare tamamen dolduruluyor.

Daha sonra sırayla 5-5-6-4 zarları geliyor ve ikinci kare de dolduruluyor.

Oyunun devamı aşağıdaki gibi gelişiyor ve kazanan belirleniyor.

İkili X-O-X

Oyunun bu versiyonunda zar yerine madeni para kullanılır. Oyuncular sırayla parayı atar.

Tura: 1

Yazı: 0

Kurallar:

  • Oyunun isminde geçen “ikili” kelimesi oyunun iki tabanlı sayı sisteminde oynandığını gösterir.
  • Bir kutuya ya tura & yazı (yazı & tura da aynı şeydir) ya da yazı & yazı sığar. Çünkü tura & tura 1+1=2 demektir ve iki tabancı sistemine göre kutularda 0 ya da 1 sayısı olabilir.
  • Oyun sonsuza dek sürmesin diye her kutu iki sonuç alacak kapasitededir.
  • Oyunun bu versiyonu bir nevi x-o-x oyununun 1-0-1’e çevrilmiş halidir. En önemli fark oyuncuların 1 ya da 0’ı seçmemesi.
  • 1 ya da 0’lar ile sağdan sola, yukarıdan aşağıya ya da diyagonal üçlü yapılması oyunu kazandırır.

IMG_5619

İlkinde olduğu gibi bu oyunda da rakip ile işbirliği yapılır.

Örnek Oyun

Sırasıyla ilk iki atışta da tura geliyor. Bir kareye iki tura sığamayacağı için oyuncular aşağıdaki şekilde oyuna başlıyor:

Oyunun devamı da gösterildiği gibi gidiyor ve galip belirleniyor.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Sayılar #7

Kendini Bilen Sayılar

Elimizde bir sayı olsun. Bu sayıda bulunan en soldaki rakam, sayının içinde bulunan 0 sayısını, onun yanındaki sayının içinde bulunan 1 sayısını, onun da yanındaki 2 sayısını… veriyorsa, bu tür sayılara “Kendini Bilen Sayılar” denir.

IMG_5522

Örnek 1:

1210 sayısı kendini bilen bir sayıdır. Sayıdaki rakamları en soldan başlayıp ayırırsak:

1 = Sayıda 1 tane 0 rakamı bulunduğunu,

2 = Sayıda 2 tane 1 rakamı bulunduğunu,

1 = Sayıda 1 tane 2 rakamı bulunduğunu,

0 = Sayıda hiç 3 rakamı bulunmadığını gösterir.

IMG_5521

Örnek 2:

10 kendini bilen bir sayı mıdır?

1 = Sayıda 1 tane 0 var demektir. Bu doğru.

0 = Sayıda 0 tane 1 var demektir ki bu yanlış.

IMG_5525

Maalesef 10 sayısı kendini bilmezlerdendir!

Örnek 3:

141110 sayısı kendini bilen bir sayı değildir. Çünkü:

1 = Sayıda 1 tane 0 rakamı bulunduğunu,

4 = Sayıda 4 tane 1 rakamı bulunduğunu verir ki bunlar doğrudur. Fakat soldan üçüncü rakam olan 1, sayıda 1 tane 2 rakamı bulunduğunu söyler. Bu doğru değildir. Ayrıca soldan dördüncü rakam da 1’dir. Bu da sayıda 1 tane 3 rakamı olduğunu söyler ki bunun doğru olmadığı apaçık ortadadır.

IMG_5527

Seç ve Ele

Elimizde aşağıdaki gibi bir kare bulunsun:

IMG_5550

  1. Bir sayı seç. Sayıyı yuvarlak içine al ve sayının bulunduğu satır ve sütunda kalan sayıları ele.
  2. Kalan sayılardan birini seç. İlk adımdaki işlemi tekrarla.
  3. Yine kalan sayılardan birini seçip ilk adımdaki işlemi tekrarla.
  4. Geriye açıkta bir tek sayı kalır. Onu da yuvarlak içine al.
    IMG_5557
  5. Yuvarlak içindeki sayıların toplamı 10 yapar.
    IMG_5558

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  • 10 basamaklı kendini bilen bir sayı yazılabilir mi?
  • Seç ve Ele oyunundaki karenin içindeki sayılar nasıl bir algoritmaya göre dizilmiş?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Sayılar #6

Dikkat! Birazdan okuyacağınız yazıda sanal reklam uygulaması yoktur. Direk reklama giriyor, ne sanalı…

En Çok Milkinis’i Kim Nasıl Alır?

  • 8 öğrencinin bulunduğu bir sınıf.
  • Herkesin en çok sevdiği tatlı Milkinis.
  • Sınıfa toplam 6 tane Milkinis getiriliyor.

Oyunun Kuralları:

  • A-B-C gruplarına sırayla 1-2-3 adet Milkinis bırakılıyor.
  • Her öğrenci sırayla A-B-C gruplarından birini seçecek.
  • Seçilen grupta kişi başına eşit sayıda Milkinis alınır.
  • Öğrencilerin tek amacı en çok Milkinis’i alabilmek.
  • Her öğrenci sırası geldiğinde kendisine en çok Milkinis düşen grubu seçmek zorunda.

Soru: Kazanmak için gereken kaçıncı sırada seçmek gerekir?

Yöntemin İşleyişi

Normalde 8 kişiye 6 Milkinis eşit olarak paylaştırılacak olsa, kişi başına 6/8, yani 0,75 tane Milkinis gelirdi. Fakat oyunumuz matematiği daha iyi bilenin daha çok Milkinis alması üzerine kurulu.

IMG_4917

Oyuna başlarken durum budur. İlk öğrenci A’yı seçerse 1, B’yi seçerse 2, C’yi seçerse 3 Milkinis alıyor. Tabi ki öğrencinin seçimi C olur.

IMG_4918

İkinci öğrenci A’yı seçerse 1, B’yi seçerse 2, C’yi seçerse 3/2 (yani 1,5) tane Milkinis alır. Öğrenci B’yi seçer.

IMG_4919

Üçüncü öğrenci A’yı seçerse 1, B’yi seçerse 2/2 (yani 1), C’yi seçerse 3/2 (yani 1,5) tane Milkinis alır. Bu öğrenci C’yi seçer. Böylece birinci ve üçüncü öğrencide kişi başına 3/2 (yani 1,5) tane Milkinis olur.

IMG_4920

Dördüncü öğrenci A’yı seçerse 1, B’yi seçerse 2/2 (yani 1), C’yi seçerse 3/3 (yani 1) adet Milkinis alır. Kısaca dördüncü öğrenci neyi seçerse seçsin 1 tane Milkinis alacaktır.

img_49211.jpg

Diyelim ki dördüncü öğrenci B’yi seçti. O halde beşinci A’yı seçerse 1, B’yi seçerse 2/3 (yani 0,66), C’yi seçerse 3/3 (yani 1) tane Milkinis alacak.

IMG_4922

Bu sefer beşinci öğrencinin C’yi seçtiğini varsayalım. O halde altıncı öğrenci A’yı seçerse 1, B’yi seçerse 2/3 (yani 0,66), C’yi seçerse 3/4 (yani 0,75) tane Milkinis alır. Altıncı öğrenci en çok Milkinis alacağı A’yı seçer.

IMG_4923

Yedinci öğrenci A’yı seçerse 1/2 (yani 0,5), B’yi seçerse 2/3 (yani 0,66), C’yi seçerse 3/4 (yani 0,75) tane Milkinis alır. Öğrenci en çok Milkinis alacağı C’yi tercih eder.

IMG_4926

Sekizinci ve son öğrenci A’yı seçerse 1/2 (yani 0,5), B’yi seçerse 2/3 (yani 0,66), C’yi seçerse 3/5 (yani 0,60) tane Milkinis alır. Öğrenci B’yi seçer.

IMG_4927

Sonuçta 1,3, 5 ve 7. öğrenciler C’yi, 2,4 ve 8. öğrenciler B’yi, 6. öğrenciyse A’yı seçmiştir.

IMG_4928

Önemli Sorular

  1. Seçerken hangi sırada olmak en çok Milkinis almayı garantiler?
  2. Neden kesirli sayıların ondalıklı değerlerini de verme gereği hissettim? Bunu yaparken düşüncem neydi? (Cevabı yazının devamında.)
  3. Bir Milkinis’in içinde 4 parçalık çikolata olduğunu ilk resimde göstermiştim. O halde oyundaki öğrenciler en az kaç parça Milkinis alır?

Ondalıklı Sayıların Tarihi

Okulda kesirli sayıların özellikleri ve onlarla nasıl işlem yapıldığı öğretildikten sonra bir de ondalıklı sayılardan bahsedilir. Peki nedir bu ondalıklı sayılar?

Aslında her ikisi de (kesirli ve ondalıklı sayılardan bahsediyorum) aynı şeyi ifade etmek için kullanılır. Yani bir şeyi göstermek için (Milkinis mesela) iki farklı sembol ve sistem icat edilmiştir. Neden?

Örneğin ondalıklı sayılarla karşılaştırma yapmak (0,66 Milkinis’in 0,60’dan daha fazla olduğunu görmek), kesirli sayılarla karşılaştırma yapmaktan (2/3 Milkinis’in 3/5’den daha fazla olduğunu görmekten) daha kolay. Ayrıca özellikle büyük sayıları yazarken kesir yerine ondalık kullanmak daha az zaman kaybı demektir.

Kesirli sayıların en az 4000 yıllık bir geçmişi olduğundan bahsetmiştim. Ondalıklı sayıların kullanımıysa kesirli sayılara göre çok daha yenidir. David E. Smith’in History of Mathematics isimli kitabında bir rahip olan Christopher Clavius’un (1537-1612) “Tabula Sinuum” ismini verdiği bir tablodan bahsedilir. Clavius tablosunda usturlap aletiyle yaptığı ölçümlerde karşılaştığı değerleri ondalıklı sayılar şeklinde yazmıştı. Tabula Sinuum ondalıklı sayıların sistemli olarak kullanıldığı ilk yerdi.

Usturlap: Eski bir ölçüm aleti. Yunanca bir kelime olan ve “yıldız-yakalar” anlamına gelen astrolabon’dan türemiştir. Eski zamanlarda gök cisimlerinin yüksekliğini hesaplamak için kullanılan bir gözlem aletidir.

pellos

Bu resim, 1492’de Francesco Pellos’un yazdığı aritmetik kitabından alınmıştır. Yuvarlak içine aldığım sayı 5836943’ün 10’da 1’i olarak 583694,3’ü gösteriyor. Bir ondalıklı sayının ilk kullanıldığı yer burası olmasına rağmen ondalıklı sayı kavramını tam olarak açıklayan ilk kişi Clavius olarak bilinir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi Özel Dosya: İşlem Önceliği

Neden İşlem Önceliği Var?

“… misal 2+3-15*3/5=? işleminde neden soldan sağa işlem yapamıyoruz?” (Meali: Neden önce çarpma/bölmeyi yapmamız gerekiyor?)

Dün akşam bir arkadaşımdan gelen bu mesaj aslında çok önemli bir soruna parmak basıyor.

2018’de yapılan üniversite giriş sınavının matematik sonuçları felaketti. Ösym’nin açıklamasına göre öğrenciler 40 matematik sorusunun 4’üne dahi doğru cevap verememişti. Bunun sebebi türev, integral, logaritma vb. konularda eksik kalmak değil. Çocukların büyük kısmı en temel matematik bilgilerinden yoksun olarak üniversiteye girecek yaşa geliyor. İşin kötüsü bu senelerdir devam eden bir süreç ve şu an için durdurulabilecek gibi görünmüyor…

Genel durumu belirtip kaçmak yok. Bu soruna bir çözüm bulmamız gerekiyor. Hele ki biz öğretmenler olarak tek işimiz bu olmalı.

Sorun Nerede?

İşlem önceliği olmasa, soldan sağa gider ve aşağıdaki şekilde sonuca ulaşırdık:

2+3-15*3/5

5-15*3/5

-10*3/5

-30/5

-6.

Fakat işlem önceliğini bilenler cevabın;

2+3-15*3/5

5-45/5

5-9

-4 olduğunu biliyor.

Aradaki farkı göstermek için yapılacak en iyi şey matematik dilini kullanmaktır. Evet, matematik bir dildir. Bu dilin alfabesi ise rakamlar ve sembollerdir. Seneler ilerledikçe dilin alfabesi giderek genişler. Öğrenilen her yeni sembol bize yepyeni şeyler anlatır. Bu yüzden (karmaşık ya da basit) gördüğünüz her matematiksel ifadenin anlattığı bir hikaye vardır.

Kanımca çocuklardaki sıkıntı işlem yapmakta değil, işlemde geçen sembollerin ne anlatmak istediğini anlamakta. Özellikle cebirle uğraşılırken maalesef anlatılmak istenen göz ardı edilip direk sonuç bulmaya odaklanılıyor. (Sonuca odaklı gitme dediğimizde öğrenciye anlatılmaya çalışılan da budur.)

Küçükken gördüğüm her matematiksel ifade için kendimce hikayeler uydururdum. Şimdi arkadaşımın verdiği işlemi görünce aklımda beliren hikayeyi sizle paylaşıyorum.

Poşet Hikayesi

Bu hikayeyi hafta sonlarında değerli saatlerimi süpermarkette çaldığı yetmezmiş gibi “neden hepsini bir poşete koydun?” diye beni azarlayan tüm büyüklerime borçluyum.

Solda: Paket domates. Sağda: Adet domates.

Çocuğunuzla beraber süpermarkete gittiniz. Neden böyle şeyler aldığınızı bilmiyorum ama alışverişi bitirdiniz ve 2 kavun, 3 karpuz ve (bir kasasında 15, bir paketinde ise 5 domates bulunan) 3 kasa paket domates ile ödeme işlemini hallettiniz. Çocukluktan alıştığınız üzere her poşete sadece 1 ürün koyuyorsunuz (1 kavun ya da 1 karpuz ya da 1 paket domates). Kavun ve karpuzları kendiniz, paket domatesleri ise çocuğunuz taşıyor. Bu durumda süpermarketten çıkarken aklınızdan hesap yapmaya başladınız: Sizin taşıdığınız poşet sayısı mı daha fazla yoksa çocuğunuzun taşıdığı mı?

Sizin poşet sayınız:                                           Çocuğun poşet sayısı:

Kavundan -> 2                                                   1 kasada 15 domates, 3 kasada: 15*3 domates
                             
Karpuzdan -> 3                                                  1 pakette 5 domates

2+3 poşet                                                            15*3/5 poşet

O halde;

Sizin poşet sayınız – Çocuğun poşet sayısı = 2+3-15*3/5

olur.

Bu işlem yapılırken 2+3=5 sizin taşıdığınız poşet sayısını ifade eder. Hemen yanındaymış gibi görünen 15, hikayede görüldüğü üzere bir kasada bulunan domates sayısıdır.

İlkokulda toplama çıkarma yapılırken öğretilen şeyi hatırladınız mı?

ELMA SAYISI İLE ARMUT SAYISI TOPLANMAZ/ÇIKARILMAZ.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Sayılar #5

İngilizce’de “fraction” kesir demektir. Kelimenin kökeni Latince’de kırmak anlamına gelen “fractio”dur. Gelin kesirli sayılarla işlem yapmaya başlarken kırmak yerine katlamak fiilini kullanalım.

Kağıtla Kesirler

Kesirli sayılarla dört işlem, sadece A4 kağıdı kullanılarak gösterilebilir.

Boş bir A4 kağıdını ikiye katlayıp katlama çizgisinden keselim. Eğer kağıdın tamamına 1 dersek, katlanmış hali bize iki tane 1/2 verir. Sonra parçalardan birini tekrar ikiye katlayıp keselim. Tekrar aynı işlemi yapalım. Sonuçta elimizde olan parçalarla çıkarımlar yapmaya çalışalım.

Toplama

b’deki (1/2)+(1/2) ile c’deki (1/2)+(1/4+1/4)’ün birbirine eşit olduğu ve toplamlarının 1 yaptığı fotoğraflarda görülüyor. Buradan b’deki ikinci 1/2’nin (1/4)+(1/4)’e eşit olduğu çıkarımı yapılabilir. Yani elimizde

1/2=(1/4)+(1/4)

var. Bu eşitliğin sağ tarafını b’deki 1/2’lerin yerine yazdığımız takdirdeyse

1=(1/4)+(1/4)+(1/4)+(1/4)

sonucuna ulaşılır.

Çıkarma

Eğer 1/2=(1/4)+(1/4) eşitliğinin her iki tarafından da 1/4 çıkarılırsa elde;

(1/2)-(1/4)=(1/4)+(1/4)-(1/4)

(1/2)-(1/4)=(1/4)

olur.

Çarpma

Yine bir A4 kağıdını 1 olarak kabul edelim. Bu sefer kağıdı sadece katlayıp, katlanılan yerlerin bıraktığı izleri kullanacağız.

Diyelim ki (1/2) x (3/4) işleminin sonucunu bulacağız.

IMG_4514

 

O halde kağıdı önce ilk kesre bakarak ikiye katlayalım.

 

IMG_4515

 

Daha sonra katlanmış kağıdı ikinci kesre bakarak dörde katlayalım.

 

IMG_4519

 

İkinci kesir 3/4 olduğu için 3 parçayı işaretleyelim ve kağıdı tamamen açalım.

 

 

IMG_4520

 

Eldeki kağıtta 8 parçanın 3’ü işaretlenmiştir. O halde (1/2)x(3/4)=3/8 olur.

 

 

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kağıt yöntemini kullanarak 1/8 ve 1/32 sayıları arasındaki bağlantıyı gösteren eşitlikleri bulun.
  2. (1/8) – (1/32) işleminin cevabını bulun.

Oyun

Hiç bir kaybınızın olmayacağı bir şans oyunu hayal edin. Bu oyuna başlarken size 128.000 lira ve üçer kırmızı ve siyah renkte oyun kağıtları veriliyor. Oyunun kurallarına göre her kart çekildiğinde elinizdeki paranın yarısını yatırmak zorundasınız. Ayrıca kırmızı kart çekmek yatırdığınız paranın iki katını verirken siyah kart çekmekse yatırdığınız parayı kaybettiriyor.

Kartları çektikten sonra elinizdeki para 128.000 liranın üzerindeyse, kar sizin oluyor.

Soru ise şu: Kartları hangi sırayla dizmek gerekir?

Cevabınızı neden belirterek verin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Sayılar #4

Sayılarla ilgili önceki yazılarda bahsettiğim bir şeyi tekrarlamak istiyorum: Sayılar maalesef hafife alınıyor. Halbuki çok kolay olduğu düşünülen sayılar konusuyla ilgili bilinenler binlerce yıllık çalışmanın ürünüdür ve bu bilgiler insanlık tarihiyle karşılaştırılınca çok yakın zamanda tamamlanmıştır.

Örneğin kesirli (konu başlıklarında rasyonel diye geçse de ben kesirli demeyi tercih ediyorum) sayılar bugün kullandığımız şekliyle 17. yüzyıl dek Avrupa’da kullanılmamıştı. Aslında insanlar çok uzun bir zaman boyunca kesirli sayıları sayı olarak değil, iki tam sayının birbirine oranı olarak düşünmüştü.

Rhind

Kesirli sayıları ilk kullanan uygarlıklardan biri antik Mısırlılardı. Yaklaşık 4000 yıl önce papirüs ağacından elde edilen kağıtlara bazı kayıtlar yapan antik Mısırlılar, tarihin en eski belgelerinden bazılarına imza atmıştı. Günümüze dek ulaşan en eski matematik belgelerden biri de milattan önce 1800 civarında yazıldığı düşünülen Rhind Papirüsü’dür. İçinde kesirli sayılarla ilgili harikulade bilgiler barındıran Rhind papirüsü sayesinde antik zamanlarda insanların nasıl düşündüklerini anlayabiliyoruz.

440px-Rhind_Mathematical_Papyrus
Rhind’den bir parça.

Rhind papirüsünün bize bahsettiği çok ilginç şeyler vardır. Bunlardan en popüler olanı antik Mısırlıların kesirleri bolca kullandığıdır. Fakat bunu yaparken birim kesir kavramına neredeyse takıntılı seviyede önem vermiş olan Mısırlılar, bu sayede binlerce yıl boyunca matematikçileri uğraştırmıştı.

mısırke

Antik Mısırlılar ağza benzer bir sembolle kesirleri gösteriyordu. Ağzın altında kalan sayı ise kesrin payda kısmıydı.

Birim Kesir: Payı 1 olan, yani 1/n şeklinde gösterilen kesirlerdir.

Rhind papirüsünde yer alan bir tablo, antik Mısırlıların kesirleri 1/n şeklinde yazabilmek için ne kadar çok uğraştığını gösteriyor.

2/n Tablosu

Rhind’deki tablo n’nin tek sayı olduğu durumlar için 2/n sayısını iki tane farklı birim kesirle yazmayı öğretiyor. Tablonun başlangıcı 2/3, bitişi ise 2/101’dir. Papirüse göre 2/3 kesri (1/2) + (1/6) toplamına eşittir. Tablonun geri kalanında 2/3k şeklindeki (yani paydası 3’ün katı olan) kesirlerin açılımları için (1/2k) + (1/6k) formülü uygulanmış.

Formülü 2/9 için denersek, 9=3k yani k=3 olur. Böylece 2/9 = (1/6) + (1/18) eşitliğine ulaşılır.

Rhind’deki tabloda sonraki sayı 2/5 = (1/3) + (1/15) olarak gösterilmiş. Bir önceki sayı gibi genelleştirildiğinde 2/5k şeklindeki sayıların açılımı (1/3k) + (1/15k) olmuş.

Kesir Çizgisi

Antik Mısır dışında Babilliler de kesirleri kullanmıştı. Fakat sembolleri o kadar karışıktı ki, hangi sayı tam hangi sayı kesirli ilk bakışta ayırt etmek imkansızdı.

babilke1215

Babil’de 60 tabanlı sayı sisteminde soldaki 12, sağdaki 15 sayısının sembolüdür. Fakat bu şekil aynı zamanda 12+(15/60) ve 720+15 anlamına da gelebilir. Babillilerin ondalık ve kesirli sayıları gösterirken sembol kullanmaması bu sorunlara neden olmuştu.

Milattan sonra 500’lere gelindiğindeyse Hint matematikçiler kesirli sayıları alt alta yazarak göstermeye başlamıştı. Kesir çizgisini çeken ise Müslüman matematikçiler olmuştu. Yani günümüzde kullandığımı kesirli sayı gösterimini Hint ve Müslüman bilim insanlarına borçluyuz.

hintke

Hintlerin 7/15 sayısını gösterişi.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Rhind papirüsünde bulunan bilgilere ek olarak şu soruları yanıtlamaya çalışın.

  1. Neden kesirlerin paydalarında çift sayılar dikkate alınmamış?
  2. 2/7 ve 2/11 için açılımları bulun.
  3. 11’den sonra ne oluyor?
  4. 3,5,7 ve 11 için kullanılan genel formülü bulun.

M. Serkan Kalaycıoğlu