Matematik Atölyesi: Taklit #2

Varsayalım İsmail

En sevdiğim Ferhan Şensoy karakterlerinden biridir “Varsayalım İsmail”. Bu yazıda da bazı varsayımlar üzerinden gideceğimiz için İsmail’in dünyasında yaşadığımızı varsayacağız. Öncelikle varsayalım tanıdığınız bir çocuğa matematik ödevinde yardımcı olmanız gerekiyor. Çocuğun da sürekli sorduğunu varsayalım. Ve son olarak varsayalım ki çocuk basit bir toplama işleminde takılmış olsun.

Soru: 2 + 2 = ?

Öncelikle çocuğa ne düşündüğünü sorduğunuzu ve cevap olarak 2 + 2 = 9 cevabını aldığınızı varsayalım. Hemen herkes bu durumda cevabın 9 değil 4 olduğunu belirtir. Çok soru soran çocuğun “neden 9 değil de 4?” dediğini varsayalım.

two-plus-two-equals-four-600x450

Yine neredeyse herkes bu soruyu cevaplarken örneklendirme yoluna gider. Bir cisimden ikişer tane alıp, hepsini bir araya getirip sayar: “1 elma, 2 elma, 3 elma, 4 elma! Demek 2 elma ile 2 elma 4 elma yapar.”

Çocuk, önüne somut örnek konmasına rağmen cevaptan memnun olmaz: “2 elma ile 2 elmayı topladığımız için 4 elma olur. Fakat bizim sorumuzda elmalar değil, 2 ile 2 toplanıyor.”

Çocuk haklıdır. Çünkü soru 2 elmayla 2 elmanın toplamı değildir. 2 ile 2’nin toplamıdır. Elma örneğinden vazgeçip başka örnekler vermeye çalışırken şunu fark edersiniz: Soruda mevzu bahis olan 2’ler soyuttur. Böylece çocuğa aslında doğada 2 sayısının sembolü gibi bir cismin bulunmadığını, doğada bulunan şeyleri sayıp kaydetme ihtiyacımızdan dolayı matematiksel sembollerin üretildiğini açıklarız. Yani sorudaki 2 + 2, evrende bulunan herhangi 4 şeyi matematiksel olarak gösterir.

Adsız

Son noktayı koymak için sayı doğrusundan da bahsederiz. Sayı doğrusu üzerinde artı sayıyla toplamanın doğru üzerinde sağa gitmek olduğunu belirtiriz. O halde 2+2, sayı doğrusu üzerinde “0’dan başlayıp sağa doğru 2 kere 2 aralık git” demektir. Artık çocuğun soracak bir sorusunun kalmayacağını düşünürken, korkulan olur ve yeni bir soru daha gelir. (Çocuğun zeki olduğunu varsaymış mıydık?)

2+2 hiç bir zaman 9 edemez mi?

Kısa cevap: Edebilir.

2+2=9 Olan Evren

Fikri direk kabul ederek başlayalım. Eğer 2+2=9 ise;

2+1=8,

2+0=7 olur. Yani 0=5 eşitliğini kabul etmiş oluyoruz. O halde:

0=5

1=6

2=7

3=8

4=9

5=10 olur. 0=5 olduğunu kabul ettiğimiz için 0 aynı zamanda 10’a da eşit olur. Biz saymaya devam edelim:

6=11 (1=6 olduğu için 1=11 de doğru olur.)

7=12 (2=7 olduğu için 2=12 de doğru olur.)

8=13 (3=8 olduğu için 3=13 de doğru olur.)

9=14 (4=9 olduğu için 4=14 de doğru olur.)

10=15.

Durduğumuz yer bize 0=5=10=15 eşitliğini veriyor. Diğer sayıları da inceleyince 0,1,2,3,4 sayılarına 5 ve 5’in katları eklendiğinde yeni sayıların 0,1,2,3,4’den birine eşit olduğu görülüyor. Peki bizim bildiğimiz şekildeki matematikte sayı doğrusu düz bir doğru iken, bu yeni garip dünyada sayı doğrusu hangi şekilde olur?

Sayı Çemberi

image1
2+2=9 olduğunda, sayılar iç içe çizilmiş çemberlerle gösterilebilir.

Eğer 2+2=9 eden bir sistemde yaşasaydık, sayı doğrusu yerine sayı çemberleri kullanmamız uygun olurdu. En içteki çemberde yarattığımız sistemin ilk sayıları olan 0,1,2,3 ve 4 bulunurdu. İkinci çemberde 5,6,7,8 ve 9, üçüncüde 10,11,12,13,14 … diye sonsuza dek devam eden çemberler çizilirdi.

Sonuç

Matematikte kullandığımız tüm işlemler için önceden belirlenmiş bazı evrensel kurallara uyarız. Bu sebeple matematik eğitiminde bir konuya başlarken önce ihtiyacımız olan kurallardan bahsederek, yapacağımız tüm işlemlerin hangi sınırlarda geçerli olduğunu gösteririz. İşte bu noktada çocukların soru sormalarına ve düşünmelerine müsamaha göstermemiz gerekir. Çünkü tanıttığımız kurallar için çizdiğimiz sınırlar her zaman tam olmayabilir(Başka bir yazıda bu konuyu daha derinden inceleyip, Gödel’in Eksiklik Teoremi’nden bahsedeceğim.).

Matematikte bir ifade ancak koyulan kurallar çerçevesinde doğrudur. Zaten biz de 2+2=9 diyebilmek için bazı kurallar koymuştuk. Bu kurallara göre 0’dan artı sonsuza doğru teker teker saymaya başladığımızda altıncı sayıyı tekrar sıfırlamış oluyoruz.

Bahsettiğimiz şey aslında önemli bir matematik dalı olan modüler aritmetiğin ta kendisidir!

Öğrencilerin hiç düşünmeden ve sorgulamadan verilen bilgileri taklit etmesi belki yanlışlarını aza indirger. Ama bu şekilde anlamadan devam edilmiş olur. Daha fenası, eğer bilgileri sorgulayan kimse olmasaydı insanlık bir adım dahi ileri gidemezdi. Matematiği anlamak için de soru sormaktan ve düşünmekten vazgeçmemek gerekir.

Yazının başında koyduğum linkte Varsayalım İsmail rüyasında bir kadına “dört tekerli menkul değeriyle” dolaşmak isteyip istemediğini soruyor. Kadın kendisini tanımadığını söyleyince İsmail şu cevabı veriyor: “Kim kimi ne kadar tanıyor hanımefendi?”. Sahi, kim gerçeğin ne olduğunu biliyor?

M. Serkan Kalaycıoğlu.

Matematik Atölyesi: Taklit #1

(TDK’ya göre taklit “Bir örneğe benzemeye veya benzetmeye çalışma” anlamına gelir. )

Quanta Magazine’de okuduğum bir yazı bana göre tüm eğitim felsefesinin hangi yönde olması gerektiğini anlatıyor. Kevin Hartnett’in 18 Ekim 2017 tarihinde yayınladığı yazının konusu Doğu Asya’da binlerce yıldır oynanan Go oyunuyla ilgili.

AlphaGo isimli, Go oyununu kendi başına oynayabilen bir bilgisayar programı yapan mühendisler, programın versiyonlarında iki farklı yöntem kullanmıştı. İlk yöntemde  programa 100.000 amatör Go müsabakasını yükleyen mühendisler, programın bu müsabakaları tek tek incelemesini sağlamıştı. Böylece oyuncuların stratejilerini çözerek oyunu öğrenen program en iyi Go oyuncusu unvanını almıştı. İkinci yöntemde ise programa sadece oyunun kuralları verilmişti. Böylece program kendi başına Go’yu öğrenip, oyunu oynarken kullanacağı stratejileri yine kendi bulabilecekti. 2017’de çıkarılan AlphaGo Zero isimli versiyon, sadece ikinci yöntemi kullanıyordu. AlphaGo Zero önce boş bir Go tahtasına rastgele şekilde taşları diziyor, sonra zamanla nasıl hamleler yapabileceğini anlamaya çalışıyordu.

indir
Go tahtası ve taşları.

AlphaGo Zero’nun çalıştırılmasından kısa bir süre sonra mühendisler inanılmaz bir sonuçla karşılaşmıştı. Program oyunu kendi kendine öğrenmekle kalmamış, sadece 3 günde yaptığı 4,9 milyon tane antrenmandan sonra binlerce yıldır insanların geliştiremediği stratejiler geliştirmişti. AlphaGo Zero ile programın bir önceki versiyonunu karşı karşıya getiren mühendisler, yeni programın 100 maçın tamamını kazandığını görmüştü. AlphaGo Zero, yapay zekanın ne denli güçlü olduğunu gösteren örneklerden sadece biri. Öyle ki AlphaGo’nun yaratıcılarına göre program maddelerin farklı özelliklerini oluşturan atomik kombinasyonları anlamamıza yardımcı olabilir.

Yeni programın anlattığı başka bir şey daha var. İnsanların stratejilerinden öğrenen, yani taklit eden program dünyanın en iyi Go oyuncusu olmuştu. Kendi kendine oyunu öğrenen, yani taklit etmeyen yeni program ise insanlardan öğrenen programı darmaduman ederek daha iyi olduğunu kanıtlamıştı. AlphaGo’nun bu gelişimi bize eğitimin işleyişi için harika bir örnek veriyor. Gücünün sınırlarını tarif bile edemediğimiz yapay zeka ilk yöntemde olduğu gibi taklit etmeye zorlandığında değil, düşünmesine ve kendi başına sonuç bulmasına izin verilen ikinci yöntem sayesinde potansiyelini daha açık bir şekilde ortaya koyuyor.

Matematik eğitiminde de en kolay yol, taklit etmekten geçer. Düşünmeden, sadece belli yöntemler izlenerek matematik soruları çözülebilir. Fakat bunun kimseye faydası olmaz, çünkü öğrenciler taklit yöntemi yüzünden kendi başlarına düşünmeyi öğrenemez. Bu şekilde matematik öğrenen öğrencilerin büyük kısmı yorum gerektiren problemlerde sıkıntı yaşar. Hatta bazı durumlarda problemdeki en ufak değişimde bile kitlenme yaşandığı görülür.

Bugün dünyanın geri kalanıyla mücadele edebilmek ve gelişmiş bir ülkede yaşayabilmek için mühendislere, yaratıcı insanlara, bilimle uğraşanlara çok ihtiyacımız var. Bir sonraki yazıda matematikte taklit ile özgür düşünce arasındaki farkı örneklerle açıklayacağım.

Go’nun ne olduğu hakkında bilgi edinmek için tıklayın.

M. Serkan Kalaycıoğlu